Proposition de correction épreuve bac pro juin 2000 Page 1/3
Proposition de correction Bac Pro : EPREUVE E4 (France Métropolitaine 2000)
EPREUVE DE MATHEMATIQUES ET DE TRAITEMENT DES DONNEES
Exercice n°1 (7 points)
On considère deux lots de taurillons âgés de 15 mois dont les poids en kilogrammes sont repartis selon les tableaux ci-après. Groupe A : 462 432 477 460 460 458 485 445 463 462 462 462 448 459 471 493 481 459 455 461 463 467 446 Groupe B : 471 480 499 435 461 473 475 475 478 488 486 499 496 452 473 477 477 484 484 497 492 465 497
On donne ci-dessous le diagramme "tiges et feuilles" pour le groupe B ainsi que la moyenne 478,9 kg et l'écart-type 15,4 kg. 43 5 44 45 2 46 1 5 47 1 3 3 5 5 7 7 8 48 0 4 4 6 8 49 2 6 7 7 9 9
1. En prenant l'exemple du groupe B, représenter le diagramme "tiges et feuilles" pour le groupe A : on clase les données dans l’ordre croissant, le chiffre de la centaine et celui de la dizaine dans la colonne de gauche, celui de l’unité dans la colonne de droite. Si une données apparaît plusieurs fois, on la reporte plusieurs fois.
43 2 44 5 6 8 45 5 8 9 9 46 0 0 1 2 2 2 2 3 3 7 47 1 7 48 1 5 49 3
2. Calculer la moyenne et l'écart-type du groupe A. Les résultats seront donnés à 10-1 près :
On utilise le mode Stat de la calculatrice graphique : Moyenne des poids du groupe A : 462,2 kg et écart-type des poids du groupe A : 13,0 kg
3. Comparer les moyennes des deux groupes et interpréter le résultat. Comparaison des moyennes : 462,2 < 478,9.
La moyenne des poids du groupe A est inférieure à celle du groupe B. On dit que le poids moyen du groupe A est inférieur à celui du groupe B.
Proposition de correction épreuve bac pro juin 2000 Page 2/3 Exercice n°2 (13 points) :
Partie A :
Soit la fonction f définie sur l'intervalle I = [ 2 1 ;14] par f : x a f (x) = - 2 1 x + 2 ln x.
1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe (on donnera les valeurs à 10-2 près) : on utilise le mode Table de la calculatrice graphique. x 0,5 1 2 3 4 6 8 10 12 14 f (x) – 1,64 – 0,5 0,39 0,70 0,77 0,58 0,16 – 0,39 – 1,03 – 1,72 2. a) Déterminer la dérivée f ’ de f. Pour tout x de I,
x
x
x
f
2
2
1
1
2
1
2
1
)
(
'
=
−
×
+
×
=
−
+
. b) Montrer que f ’(x) est du signe de (- x + 4).Pour tout x de I,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
4
2
4
2
2
2
2
2
1
2
2
1
)
(
'
=
−
+
=
−
+
×
×
+
×
×
−
=
+
−
=
Pour tout x de I, 2x > 0 donc f ’(x) et (– x + 4) ont le même signe.
c) Préciser le sens de variation de f puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur I. Signe de f ’(x) :
f ’(x) = 0 équivaut à – x + 4 = 0 c’est-à-dire à x = 4.
f ’(x) > 0 équivaut à – x + 4 > 0 c’est-à-dire à x < 4 donc, f ’(x) > 0 pour tout x de [
2 1
; 4 [. f ’(x) < 0 équivaut à – x + 4 < 0 c’est-à-dire à x > 4 donc, f ’(x) < 0 pour tout x de ] 4 ; 14 ]. Sens de variations de f :
Compte tenu du signe de f ’(x), la fonction f est croissante sur [
2 1 ; 4 ] et décroissante sur [ 4 ; 14 ].. Tableau de variations de f : x 2 1 4 14 f ’(x) + 0 – Sens de variation de f f(4) = 0.78 f( 2 1 ) = – 1,64 f(14) = – 1,72.
3. L'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de la fonction f. Préciser laquelle convient en justifiant votre réponse.
Courbe (C1)
Proposition de correction épreuve bac pro juin 2000 Page 3/3 f(
2 1
) = – 1,64 Sur le graphique relatif à la courbe (C1), on lit : f(
2 1
) = – 0.5 donc la courbe (C1) n’est pas la représentation graphique de f . Sur le graphique relatif à la courbe (C2), on lit : f(
2 1
) = –3 donc la courbe (C2) n’est pas la représentation graphique de f .. Comme l'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de f , cette courbe est la courbe (C3).
Partie B :
La société DUGIGA fabrique et vend des micro-ordinateurs.
Son bénéfice B (en dizaines de milliers d'euros) peut s'exprimer en fonction du nombre x (en milliers) d'ordinateurs vendus selon la relation B (x) = -
2 1
x + 2 ln x.
1. a) Déduire de la partie A qu'il existe un nombre d'ordinateurs vendus pour lequel le bénéfice est maximal. B (x) = f (x) . Donc les variations de B sont celles de la fonction f de la partie A.
D’après la question 2 c) de la partie A, f (4) est la valeur maximale de f.
Il en résulte que le bénéfice est maximal lorsque le nombre d’ordinateurs vendus est égal à 4 milliers, c’est-à-dire à 4000. a) Calculer ce bénéfice maximal (à l'euro près).
La valeur maximale f(4) de f est environ égale à 0,77259.
Donc, le bénéfice maximal B (4) est environ égal à 0,77259 dizaine de milliers d’euros, c’est-à-dire 7725,9 euros. Donc, à l’euro près, le bénéfice maximal est 7726 euros.
2. Par lecture graphique, préciser le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent.
La société commence à gagner de l'argent dès que le bénéfice qu’elle réalise est positif.
Par lecture graphique, l’ordonnée f (x) d’un point d’abscisse x de la courbe (C3) est positive, dès que x est supérieur à environ 1,4.
Donc, le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent est environ égal à 1,4 milliers d’ordinateurs, c’est-à-dire 1400.
