Constructions de modèles dynamiques pour étudier l'évolution d'un atelier de veaux de boucherie, en avenir aléatoire

(1)

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l’évolution d’un atelier de veaux de boucherie, en avenir

aléatoire

Francois Bonnieux

To cite this version:

Francois Bonnieux. Constructions de modèles dynamiques pour étudier l’évolution d’un atelier de veaux de boucherie, en avenir aléatoire. 1967, 63 p. �hal-01600348�

(2)

Station d'Economie Rurale 65, rue de Sa int Brieuc,

35 - RENNES

CONSTRUCTIONS DE MODELES DYNAMIQUES POUR ETUDIER L'EVOLUTION

D'UN ATELIER DE VEAUX DE BOUCHERIE, EN AVENIR ALEATOIRE

par

f. BONNIEUX

Agent Contractuel Scientifique

(3)

§ l - Introduction

l - position du problème

2 Les différentes décisions possibles 3 Critères de décision

4 Utilisation des chaines de Harkov en économie rurale

§ 2 - Formalisation du problème l Approche théorique 2 Application numérique

§ 3 - Généralités sur la programmation ~a.mi'l.~ l - Exposé de la méthode

2 - Principe d'optimalité de Bellman

§

4 -

)~odèles à revenus final

1 - Choix de la date de fin d'engraissement

2 Choix du plan d'alimentation et changement de plan en cours d'engraissement

3 - Vente dl_{un veau en cours} _{dten~raissement}

§ 5 - /.lodèles

à

revenus partiels

l - Décomposition du revenu final

2 - Modèles markoviens à revenus partiels

3 - Modèles markoviens à revenus partiels et décisions 4 - Vente d'un veau en cours d'engraissement - Problème de

remplacement.

(4)

l - Définitions et propriétés générales 2 Notions sur la théorie des gra~~es

3 - Analyse spectrale des matrices stochastiques

4 -

Comportement as)cmptotique

5

Bibliogra~~ie

Annexe 2 - Méthode du lissage exponentiel l - Introduction

2 - Principes généraux 3 - Exemples de modèles

4

Influence des différents paramètres dans le lissage exponentiel 5 - Bibliographie

(5)

/ § 1 - l N T R 0 DUC T ION /

1 - POSITION DU PROBLK{E

Depuis quelques années la. production intégrée de veaux de boucherie se développe dans l'Ouest de la France. Elle prend une

mpor-tance croissante et a de tr~s bonnes perspectives, aussi est-il devenu

très important de l'étudier. Elle est pratiquée en particulier par la coopérative d'Elle et Vire et par la Sicavem. Nous avons obtenu des ren-seignements statistiques auprès de ces deux firmes ce qui nous permet d'entreprendre cette étude. Il ne s'agit pour l'instant 'lue d'un début aussi ce qui suit est-il insuffisamment sJ~thétisé.

Plaçons nous donc dans le cadre décrit par F. BASSOULLET (1) celui d'une firme qui intêgre la production de veaux de boucherie. Nous considérons le système S des ateliers de production intégrés par la fir-me considérée. Les liaisons entre la firfir-me et les ateliers sont il. la fois

d'ordre technique et d'ordre économique.

La firme approvisionne les éleveurs en lots de V2aux d'une dizaine de jours, qu'elle se procure soit sur les marchés, soit dans les exploitations. Elle leur fournit les aliments ainsi que divers services (plan d'alimentation, assistance sanitaire, assistance technique). Enfin la firme se charge de la commercialisation des animaux, et du paiement des éleveurs. Les éleveurs sont donc astreints il. une discipline certaine.

Aussi précis que soient les plans d'alimentation, les indica-tions des conseillers ••• , le matériel biologique n'étant pas homogène, le comportement futur d'un lot donné de veaux ne peut pas être déterminé avec certitude: il est aléatoire. D'autre part les fluctuations des prix ne sont pas connu.::s d'avances, elles ne sont au nieux que prévisibles. Donc tout modèle, prétendant représenter l'évolution du système S au cours du temps doit être stochastique.

(6)

Nous désignons par période d'élevage d'un lot de veaux, tout son processus d'engraisse~entdepuis son installation dans l'atelier auquel il est affecté jusqu'à la date de son départ pour être

commercia-lisé. La longueur de la période est donc égale à la durée

d'engraisse-~ent. Dans le temps, le fonctionnement d'Q~ atelier - veaux se décrit

donc comme une succession de périodes convenable~entespacées pour per-mettre une désinfection des -locaux.

Le rôle de la fi~e est donc d'organiser les entrées du système S, la succession des périodes d'élevage pour chaque atelier, les sorties du système S en poursuivant certains objectifs compte tenu des contraintes.

2 - LES DIFFERENTES DECISIONS POSSIBLES

Les décisions qui interviennent pendant la période d'élevage d'un lot de veaux sont de deux sortes : celles qui concernent le plan d'alimentation et celles qui concernent l'arrêt de l'engraissement.

2-1 Décisions concernant le ulan d'alimentation

En général, la firme désire appliquer à tous les ateliers le nœme plan d'alimentation. Ceci serait bien sûr valable si tous les lots étaient identiques; malS il n'en est pas ainsi. Aussi allons nous consi-dérer quelques plans d'alimentations possibles, obtenus à partir de deux plans de référence. Par exe~ple donnons nous Q~ plan d'alimentation court et un plan d'alimentation long ; en faisant varier quelque peu chaque plan on obtient tout un jeu de plans, ce qui permet de faire face à tou-tes les situations pratiques.

Soit un lot de veaux que J!on sc propose d'élever ensemble, nous

choisissons un plan d'alimentation pour le lot après examen du lot, en

fonction de la durée d'engraissement souhaitée et du tJT!lC de veaux que l'on désire obtenir. A tout instant en examinant le lot on peut être =ené à changer de plan d'alimentation. Supposons par exemple que l'on adopte au départ un plan à démarra"e rapide (ce qUl doit permettre d'ob-tenir des veaux petits et lourds très appréciés sur le marché), si au bout

(7)

d'une quinzaine les veaux ont peu profité nous pouvons alors éventuelle-ment préférer un plan plus long. Ainsi la période d'élevage d'un lot

donne de veaux est marquée par fuie suite de décisions ~~ consistent

dans le choix d'un plan d' alimentation.

Lorsque les veaux sont élevés en batterie (alimentation au seau et logement en cases individuelles) on peut envisager

d'individua-liser le choix du plan dt alimentation (ce qui ne serait pas très réalis-te !) ce n'est pas possible dans le cas d'un êleva~ avec des

nourris-seurs automatiques (alimentation en auto-service et logement coll"ctif).

2-2 Décisions concernant l'arrêt de l'engraissement

Le choix de la date de vente du lot (ou d'une partie du lot dans le cas de grands lots) se fait suivant des critères donnés lorsque l'on a atteint les objectifs fixés. Dans un certain intervalle de temps, on doit choisir à chaque instant entre deux solutions : vendre ou ne pas

vendre.

Lorsqu'un VBau profite mal, on peut décider d'interrompre son engraissement afin de l'abattre au lieu de le conserver, ou encore

d;en faire soit un veau d'élevage, soit un gros bovin.

Ainsi au cours de la période d'engraissement d'un lot, on est amené après examen des veaux à prendre une des décisions suivantes

a) continuer l'engraissement en conservant le même plan d'alimentation b) continu"r l'engraissement en changeant de plan d'alimentation

c) vendre le lot

d) abattre certains veaux

e) faire de certains veaux des veaux d'élevage f) faire de certains veaux des gros bovins.

Le fonctionnement du système S est donc caractérise par une succession de décisions dont les effets sont immédiats et ont des

(8)

répercussions à plus long terme. Autrement dit, une nuite de situE-tions aléatoires est associée iL chaque décision.

3 CRITERES DE DECISION~

De la qualité du critère adopté dépend le fonctionnement du modèle, c'est-à-dire son em?loi. Ce choix est primordial mais varie suivent les situations considérées, il faut donc fixer le cadre dans lequel nous travaillons.

3-1 1!>'Pothèses de travail

a) Nous nous plaçons en courte période. Dans chaque atelier la technique d'élevage est constante, il s'agit de la technique en batterie. Nous n'analyserons qu'ultérieurement le passage à un élevage avec des nourr1s-seurs automn.tiqu2s et la croissanee des ateliers. Cependant nous montre-rons dans cette étude, en quoi le modèle sera différent.

b) Nous limitons notre 'U.11ivers économique

à

la firme ou :ç>lus exact~nlent au système S. Nous n'étudions pas la formation des prix, nous les

suppo-sons donnés, ou prévus suivant les ca.s. Plus tard nous supposerons que It2s décisions de la firme se heurtent aux réactions de ses cODcurre~ts

et nous étudierons ce nouveau problèl!!e en utilisant la théorie des

.12UX.

La commercialisation des veaux Étant facil", cette hypothèse limitative paraît justifiée.

3-2 Niveau d'emploi des critères de décision

Il serait satisfaisant pour l'esprit d'étudier globalement le système S en lui appliquant le critère choisi. Malheureusement cett2 attitude est inadéquate ii deux points de vue :

a) appliquer au système S un critère, donne une stratégie satisfaisante pour 12 système

S,

ce qui n'implique pas qu'elle le soit pour chaque atelier; aUSS1 certains éleveurs risquent d'Gtre lésés. Ce défaut peut être corrigé en prévoyant une caisse de compensation.

(9)

b) surtout appliquer au système S un critère, contraint 3: introduire

de très nombreuses variables • Le critère devient alors trop vaste (au sens où l'entend Lesourne page 29

(1».

Pour ces deux ralsons nous ,,-ppliquons le critère choisi à:

chaQue atelier, en vérifiant que les stretét:~ies déterminées ne sont p2.S

dangereuses pour le systèl!:e S. Lorsqu'elles le sont, il faut les modi-fier. Cette d~arche est assez sicrple, puisque la firme a autorité pour traiter des problèmes d'interdépendance des ateliers.

Comme nous nous plaçons au nlveau de l'atelier, il semble jus••

tifié de retenir comme critère la maximisation du revenu. Compte tenu des

statistiques dont nous disposons le revenu ~ maximiser est une marge brute obtenue en faisant la différence entr)f'~cetteet certaines dêpenses. La

recette est egale

a

la valeur àes veaux co:rr;mt?rcialises ; les dépens,:s comprennent la valeur d'achat des veCllX, la valeur de l'aliment consommé,

les frais vétérinaires et les frais de désinfection.

Si l'avenir êtait parfaitement connu il serait possible de caractériser chaque décision par le revenu actualisé qu'elle procure et de choisir celle pour laquelle le revenu actualisé est maximum. '1ais dans le meilleur des cas, l'avenir n'est 'l.ue prévisible aussi la valeur actuelle des revenus futurs engBIldrés par un:> décision est une variable aléatoire. Il n'est plus question de max~iserla valeur actuelle du

revenu, puisqu'une telle expression devient dénuée d2 sens.

Il est possible dt envisager de I!laxioiser l'es?~rance

mathéma-tique du revenu, cc qui revient à rendre maximum le revenu ~ue l'on tire-rait en moyenne dans une succession d'un grand nombre de pèriodes d'éle-vage. Raisonner en horizon infini est assez dangereux en courte période, sachant que chaClue année quatre lots au plus se succèdent dans le mêne atelier. D'autre part, on peut être amené en maximisant l'espérance du

revenu à adopter une strat~gie qui nous ruine en chemin. Nous eX&!llnerons

dans la suite l'application de ce critère, !!lais il importe de bien souli-gner dès à présent les dangers qu'il présente.

(10)

lot. Si ce critère est plus raisonnable que celui de l'espérance

mathé-IDr'lti'1ue~ i l n'en reste pas moins Q.u'un éleveur n'envisage pas en général

de s'arrêter au bout de trois I:lois. D'autre part étudier la succession d'un nombre déterminé de périodes d'élevage, en maximisant le revenu attendu pour toute cette durée est assez peu réaliste. En effet plus les revenus e§comptés sont éloignés dans le temps plus les prévisions

qui ont permis de les établir sont incertaines~ aussi faut-il les

péna-liser par rapport aux revenus attendus dans un avenir proche. En l'ab-sence de cette pénalisation nous aboutirions à des stratégies dont les

premières décisions seraient très sensibles à des revenus incertains

à long terme, aux dépens de revenus pres'lues certains dans le court tenne. Nous adapterons donc comme critère la maximis1ftion du revenu sur une période en tenant compte du coût de remplaceJ:!ent du lot de veau

(c'est-à-dire du prix d'achat du lot suivant). Pour calculer les revenus attendus nous utiliserons des rrévisions de prix faites p= la méthode du lissage exponentiel

(1).

4 -

UTILISATIon DES CY.AINES DE MARKOV El' ECONü!!IE RURIl.LE

La théorie des chaines de ?1arkov homogènes est très utili~ée (en particulier aux Etats-Unis) pour analyser des distributions, l~ur évolution dans le temps et faire ainsi des projections. Citons ~ ce propos quelques auteurs: Krenz, Bostwick, Clawson, Y.~~el •••(2).

Malheureusement on ne rencontre en pratique, 'lue bien rarell1l'lnt

des chaines homogènes. Aussi avons nous utilisé des chaines non homogènes

ce 'lui donne à cette étude une certaine originalité. Nous utilisons donc une base r.:arkovienne pour construire des modèÈ>s dynamiques en avenir

(1)

V01r l'&L~exe 2

(11)

aléatoire. Ces modèles nous permettront d'étudier l' évolution d' un ate-lier veaux et les différentes décisions pend~~t l~nsraissement. Notre principae source d'ins;>iration est le livre 'lue Howard a tiré de sa

thèse (1), où il a construit des modèles dynami'lues ,;: décisions multi-ples.

(12)

/ § 2 - FOffi·1ALISATION DU PROBLEl·r;;: /

l - APPROCHE THEORIQU-E

LorsQu'il s'agit de formaliser un problème en construisant

des modèles mathématiques, le but il. atteindre est de trouver une des-cription suffisamment réaliste qui permette toutefois l'utilisation des techniques d'analyse et de calcul dont or. dispose. Il y a donc deux

ex-cès à éviter: celui de fournir dèS solutions élaborées à des problèmes

simplifiés au point d'en ~rdre toute signification, celui de fournir

un modèle si compliqué qu~il ne soit :pas possible de sten servir. Un

bon modèle doit donc concilier le plus possible ces deux contraires.

Les modèles 'lue nous avons construits sent aléatoires et

peu-vent être facilement traitês sur ordinateur.

1-1 Cas d'uri seul veau so=s à un seul plan d'alimentation

Soit un veau de boucherie w € Q (ensemble des veaux de bou-cherie) soumis au pla~ d'alimentation P. Dans toute la suite, le temps

t est une variable à valeurs entières; l'unité de tem~s est le jour.

A tout instant t le veau west soit mort, soit vivant. S'il est vivant, il est parfaitement défini par son poids et sa qualité

mesu-rée à pa..ytir d'un certain noI:lbre de références. Dési!p1.ons le poids ~ar crl(t) et supposons que l'on mesure p-l références cr2(t), cr3(t) ••.cr (t).

p

Par exemple si l'on repère la conformation, l'état

d'engraisse-ment etJa couleur, nous avons p - 1= 3. Donc à tout instant t le veau w s'il est vivant est défini par la donnee du vecteur lil;!le à p composantes

•••• ex p

(13)

La valeur de et (t) nous rense1gne sur le comporteTIent du

veau w. A deux valeurs différentes de et (t) correspondent deux comporte-ments distincts. Cependant il n'est pas raisonnable en pratiQue de dis-tinguer deux comportements extrêmement voisins, donc deux valeurs de et (t) très peu différentes. Aussi à tout instant t, considérons une partition de RP en n-l parti<>s Ô2(t), ô~t), •• •• ô n (t) n RI' = \j i=2 Ô.

(t)

1 et Ô·1 (t)

nô.

_J (t) = si i of j

EÔi(t) nous dirons qu'il est dans l'état tels qu'à chaque instant le veau w soit Tous les

point~iieÔi

(t)

(2.'l:i.~n)

correspondent à des compor-tements voisins que nous ne diBtin~~eronsplus.

A l'instant t,52 west mort nous dirons qu'il est dans l'état

El, si west vivant et S1 et(t)

E.• Nous determinerons n etats 1

défini par la donnée fe l'état dans lequel il se trouve. L'évolution du veau pendant son engraissement est décrite :par la donnée des états sucessifs par lesquels il passe.

A tout veau w E

n

et a tout instant t on f~it correspond):"e l'état du veau à l'instant t. Définissons la variable aléatoire entière

(w, t) 0 ...x (w, t) = 1 (1, 2 .••• n). L'évolution du veau w et de l' espacÇ S1 west dans du produit de l'état E. à 1 l'espace

n

l'instant t. On définit ainsi une application des temps d~~s l'ensemble fini

se décrit donc comme un processus stochastique à valeurs entièr"s, dont nous allons préciser la structure.

Dans la suite pour simplifier l'écriture, utilisons la notation x (t) au lieu de x

(w,

t). Dési~ons_{,,.• .}Dar _"1J~.. (s, t) la urobabilité de tran-_" sition de l'état E. i l'instant s â l'état E. à l'instant t. Nous pouvons

2 J

écrire

P.. (s, t) = Prob (x (t) = j /x (s) = i) 1J

(14)

Posons P (s,t) ~ PlI (s, t) P12 (s, t ••••• Pl n (s, t

~

P2l (s,t) 1'22 (s,t) •••• T'2n (s,t) 1

···,,···1

l'nI (s,t) ?n2 (s,t) ...··P_{nn (s,t)} 1 r -, ~ !p ..(s,q (l~ i . j.., n)

L

l.J ~ /

P (s,t) est la matrice des probabilités de transition de l'lllSt~~t s à l'instant t. P (s,t) est stocllastique donc:

p .. (s,t) ~ 1

lJ et (Vi,j) p •.- l.J (s,t) ? 0

D'autre part lorsqu'un veau est mort~ il ne ressuscite pas

donc les transitions de Ela tout état T<'_~j ,; Elsont inteydites ce qui

entraîne que :

Pl! (s,t) ~ l e t Plj (s,t) ~ 0 (Vj'; 1)

L'etat El est un état absorbant et on écrit

l

o

P (s,t) ~ '0_ (s,t) ~Ln • <> • • • • • • • • 0<> • <> • • • • • • • • • • • • • • • • • •<> • Il (s,t) P (s,t) ••••• n! ll2

Lorsque l'on considère la transition qui se produit de l'instant t à l'instant t+l, on simplifie l'écriture en posant

(Vi,j) P .• (t,tH) ~ p.. (t)

lJ - lJ

(15)

La loi aléatoire de l'évolution du veau après l'instant t.

sachant le passé avant t, ne dé:p€nd en fait que de l'état du vee.u fi.

l'instant t - cette évolution est donc marl:ovienne. La probabilité con-ditionnelle pour que le veau soit dans l'état E. à l'instant t+l. sachant

J

qu'il est dans l'état

E.

à l'instant t et c~~naissant de plus ses états

1

aux instants O. 1 .... t-l. est é~ale il. l) . • (t). Ce qui s'écrit:

" ·lJ Prob {x (t+l) = j 1 x (t)=i; = Prob

t

x(t+1) = j 1 L'évolution du veau x (t) = i}= p . . (t) - 1J

est donc décrite par une chaîne de

Hais P (t) dépend du temps. en effet Sl P (t) n'en dépendait

pas celà signifierait entre autre qu'un veau a les mêmes chances de crever quelque soit son âge. Donc la chaîne n'est pas homogène. A tout plan P correspond une chaîne particulière.

Exemple 1 - Considérons deux états (n = 2) El .- est mort

E_z = est vivant

le graphe associé

1

ff:)

(16)

La matrice de transition de l'instant t 'l. l'instant t+l s'écrit p (t) = 1

ptt)

o

1

l-p(tlj

p (t) est la probabilité pour 1" veau de crever dans la transition qUl a

lieu de 11_Lïstant

t à l'instant t+l, c'est-à-dire

p (t)

=

Prob

{x

(t+l) =

1 /

x

(t)

=

2}

Désignons par Il (t) la distribution de probabilité de la varia~ ble aléatoire

x

(t)

1

Il (t) = Il (t)

...

l.~ i~ n

Connaissant la distribution initiale II( 0), on détermine la distribution à tout instant ulterieur par :

n(t) = n(o) P (O,t)

et on calcule P (0,t) en appliquant la formule de Chapman Kolmogorov

P (O,t) = P (0) P (1)

....

P (t-l)

Si l'on connaît la distribution n(t) à l'instant t on déte=ine la dis-tribution à tout instant ultérieur t + h !Jar la même methode :

n (t + h)

=

n(t) P (t, t+h)

avec

(17)

Cette méthode nous permettra connaissant les matrices de tran-sition en une étape P (0), p(l) •.• P (t), et l'état initial du veau de determiner la distribution de probabilité de la variable x (t) à tout

instant ultérieur, ctest-a~dire en quelque sorte son état probable.

Exemple 2 - On considère 3 etats El' "2' E_{3 •} Le grap]le associé

A l'instant initial le veau est dans l'état E₂ donc x (0) = 2 avec la

probabilité l, ce ~ui don~e

!I(O) =(0,1,0)

Nous avons déterminé P

(0,84),

connaissant les matrices (p

(0),

P(l) .••

P (83) ;

r··- ~-1

il

0

_i

(0,84)

!

0,2

0,6

1 P =

0,2

₁ !

,

'0

1

0,3

a,L)

L_' et

n(84)

=

(0,2

0,6

0,2 )

ce qUl nous inàiq~e les chances du veau de se trouver dans l'un des états

El, _{E2 ,} E3au bout de

84

jours. Si à l'instant initial le veau est mort, au bout de

84

jours il l'est encore; nous le vérifions aisém0nt en calculant

n(84) ;

n(o) = (1 0 0) et

n(S4)=

(1

0 0)

(18)

1-2 Cas d'un lot de veam<: soumis au mêE2 p;Lan d'alimentation

On considère un lot L de m V2a= SOumlS au plan d' alimenta-tion P.

2 m

î

w •••••w

J

Les veaux sont de même race ~t sont élevés en batterie.

A tout instant on :::-epère l tétat du lot L cm CO!!l:ptant comb ien

il "':;7 a de veaux dans chaque état.

Le problèm'= que !lOUS devons résoudre est la è.étenninatioi1, connaissant l'état du lot à Q~ instant donné, de son état à toute date

ultérieure. Nous pourrions appliquer à chaque veau la méthode précédente. Elle nous ~rmettrait d'individualiser chaqu2 veau, mais ne serait pas

opérationnelle. D'ailleurs nous ne désirons pas suivre chaque veau, mais

:faire un jurement sur l'ensemble du lot. Aussi :Dréférons nous la méthode

très maniable suivante.

Si l'on répère l'état du lot à l'instant t par le vecteur ligne à u composantes

x

(t)

2 -,

()

..,n()i,

X t , .... ~_ t

où Xl (t) est égal au nombre de V2a= 'lUl sont dans l'état E. il: l'instant

l

t. On a :

n .

(Vt)i~l Xl(t) = m

X (t) mesure en quelque sorto la distribution des veaux entre les diffé-rents états. On vérifie d'ailleurs que lorsque m

=

l, X(t) = rr(t).

A toute date ultérieure t+h, l'état probable du lot, c'est-~ diré la distribution X (t+h) des vea= entre les différents états ",st donnée par

(19)

on retrouve lorsque ID = l, la formule

rr(t+h) = rr(t) x P (t, t+h)

cette ~éthode est donc d'emploi facile et très réaliste comme nous allons le voir dans l'exemple suivant:

Exemple 3 - On considere 3 états, comme dans l'exemple 2 et 30 vea.ux. On se donne l'état du lot formé par ces veaux au début de l' engraisse-ment, et on désire connaître l'état prohable du lot au bout de 84 jours.

On a :

x

(0) = (0, 18, 12)

Il

a

-,

,

1 1 (0,84)=10,2

0,6

1 P 0,2 1 1 1 1 [0,1 0,3 0,6

J

On calcule :

x

(84) = X (0) P (0,84) X (84) = (4,8 14,4 10,8)

on vérifie ~ue la somme des composantes de X (84) est bien 2~a~e à 30. La donnée de X (84) dsignifie qu'au bout de 84 jours la composition pro-bable du lot sera la suiv~~te

- 4,8 veaux seront dans l'état Eldonc morts - 14,4 veaux seront dans l'état E2

- 10,8 veaux seront dans l'état E₃

Ce Q.ui décrit bien le lot. Si l'on préfère on peut a la rigueur arrondir ce qUl donne

-

5 veaux rlorts

-

14 veaux en _E2

(20)

Lorsque les veaux sont élevés en auto-service cn ne peut

plus considerer que chaque veau est soumis au même pla~ d'alimentation.

Pour chaque veau, les matrices ptt) sont alors différentes et il est

i5possiblc de les déterminer. Puisqu'on ne connaît p~s les rations indi~

viduelles. On ne peut pas appliquer la méthode przcédente (1). On doit

donc considérer globalement le lot de veaux, ce 'lui nous conàuit à

l'étude d'un processus de Markov à plusieurs dimensions ..

2 - f\..PPLICATlœT iiŒŒRIQUE" (2)

Ne disposant pas de données suffisaw~cnt prêcis~s sur l'évo-lution de la qualitë en cours d'engraissement, nous nous sommes placés

dG.IlS le C3.S simple où l'état d'un veau vivant est détcIT'linê uniquement

par son poids. D'autre part toujours du fait de la nature des données,

nous considérons l'evolution du poids de quinze jours en quinze jours.

lJous avons défini dix états co..rnme l'indique le tableau suiv?..nt :

(1) à la rigueur 8n utilisant des normes moyennes, on obtiend.rait avec

cette méthode une approximation, peut êtrç bonne,ce que nous

montre-ront les applications.

(2) dans toute l'application numérique nous ne considEirons qu'un seul plan d alimentation.

(21)

]

~I

, _t

~--~~

i 1

°

14 42 56 70 : (~4 états

~.u

1

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-El veau veau ₁ veau

1

veau veau

mort :mort i mort mort mort mort mort .L(0,40)

1

-- ---E2 1 (0,43) (0,50) (0,70) (0,90) _(0,100) ₁

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E (43,1,6) (40,44) 1 _(50,54) _(70,7l,) _(90,94) _{,(100,105) (110,115 )} 3 24 (46,!'9) (44,48) (54,55) (74,78) (94,98) (105,110) (115,120 ) ~- --F _(49,52) _(i.8,52) _(58,62) _{(78,32 )} _(98,102)

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_{110,115) (120,125)} -"5

,

--i :86 (52,55) (52,56) (62,66) (82,86) (102,106)I(115,120) (125,130) - - 1 --E>/ (55,53) (56,60) (66,70) (86,90) (106, 110)!(120,125)

(130,1~5)1

Es

(58,61) 1(60,64) (70,74) (90,)4) (110,114 ) (125,130) (135,140)1

--"

;-_~"'641

1

(64,681

1 (74,78) (94,98) (114,118 (130,135) 1(140,145)

1_----1---1

ElO

(64~

00) 1(63+

~

(78+ 00)

i

i (98+ 00) 1 (118+ 00) i (135+ 00)

i

(145+00 ) i • 1 i , ! j • _{_.}•

Dans chaque case nous avons indiqué l'intervalle de ve.riation

du poids (ex]?rimé en kq;). Par exemple si un veau :pèse 93 l::r:: à l t instant

(22)

Des données provenant de 1 732 veaux nous ont perr.ns de calculer les matrices des probabilités de tran siti0" de Quinze jours

en qUl..nze jours :

---i

4-

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,1250 0,3750 0,5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,7647 0,2353 0 0 0 0 0 0,0313 0 0,0313 0,4062 0,3750 0,1562 0 0 0 0 0,0800 0 0 0,01.00 0,5200 0,2800 0,0800 0 0 0 p (0,14)= 0 0 0 0 0,1579 0,6842 0,1053 0,0526 0 0 0 0 0 0 0 0,3333 0,6667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

_-!

0 0 0 0 C 0 0 0,3333 0,3333 0,3334 0 1 0 0 0 0 0 0,5000 0 0 0 0,50001

o

0

--,

o

1

~

1

o

-

~

1 o

1

o

1

o

1

o

1

1

o

! _ '

-1_

0_, !' (42,56)= P (56,70)=

(24)

0,5000

0

0 0,5000

(1

o

0,2857

0,1~2'35

0,1429

0

o

0 0,3200 0,4800 0,2000

0

0 o

0,0690 0,0690 0,3448 0,1379

0

0 o

0 0,0435

0 0,1304 0,3913 0,4348

o

0

0 0,4444 0,3334

0 o

0

0 0,1000 0,8000 0,1000

1

o

i

() 1

o

i

o

1

o

0,22221

o

i

( ) 1

Ces estimations statistiques ét~~t faites, soit un lot de

112

veaux connaissant son état au début de l'engraissement, nous avons déter-miné son état probable de qUillze j ours en quinze j ours. On a :

x(o)=

ra

_~ 8

17

32 x(14)= X(O)

p(0,14)

x(28)~

x(14) ?(14,28)

X(42)=

z(28)

p(28,42)

X(56)= X(42) p(42,56)

X(70)= X(56) P(56,70)

X(34)= X(70) P(70,8!;)

d'où

25

19

6

o

3

x(14) = L3,0016

1,0002

1,0000

_-,

4,0016

30,~9S3 1,000~J

32,0002

27,99'30

9,0008

1,9993

,_.-X(2'3) = L4,001l

1,9996

1,0004

2,9997

29,9984

35,9995

23.0017

8,9998

1,9995

1,99981

_{-_.1}

(25)

x(42) = P;,OOI1

1,0004

7,9970

24,9998

40,9979

19.0074

7,9961

2,0005

1,9996

1,999]]

X(%)=

1},0OI1

2,9996

6,9984

22,,'3779

33,5685

18,2035 11,34')5

-3,9974

1,9997

0,999~

X(70)

= [4",0011

0,9997

1,9870

6,9766

24,8601

28,740823,1831

9,1572

10,0941

1,999.'[1

x(34

)=

_Q;:,001l

_0,9969

_0,9935

_4,9761

_13,9363

_{23,3312 22,9838 25,1567}

13,0892

2,034lJ

Donc connaissa..'1t 19état initial du lot, nous avons déterminé

son état probable aux inst~,ts ultérieurs.

Pour tester notre ~éthode, nous avons effectivement déterminé

l'état du lot de quinze jours en quinze .jours, nous avons trouvé

x(14)

.-

[-3

1

4

31

32

28

9

2

1

li -~

X(28)

₌

ni

1

3

30

36

23

9

2

..=.J

2'

X(42)

₌

i4

1

8

25

42

18

3

2

21

x(56)

₌

_[4:

₃

₇

23

34

le

11

9

2

Jl

)((70)

₌

14-

1-:_

1

2

7

25

29

23

9

10

_{._'}

21 X(84 )

₌

14

L2.~---

1

5

14

24

23

25

11 J!J

une simple comparalson montre 'lU'i l n'y a pratiquement pas de différence entre les résultats prévus et les résultats effectivement constatés0 Cet

exemple indi'lue donc 'lue notre formalisation est tout à fe.it adéquate et

extrêmement précise. Nous montrons du même coup qUè connaissant le poids

les différents veaux d'un lot au début de l'engraissemënt, ainsi 'lue le

plan d'alimentation, nous pouvons prévoir leur poids à toute date ultérieure. Ce résultat a d'ailleurs été annoncé par Van de Voorde (1).

(26)

i§

3 - GEllEHALI'I'ES SUR LA PHOGfW~'·1AI'ION DYNAlUQù"E

ï

l - EXPOSE DE LA ?1ETHODE

On peut dire que la prograI!'lllation dynamique s'occupe des pro-cessus de décisions à étapes. Exposons sa méthode dans le cas qui nous

intéresse.

L'évolution dans le temps du lot L est régie par l'équation de récurrence stochastique :

(1) X (t+l)= f [}:: (t), U(t),

t}]

ou X(t) est l'état â l'instant t et U(t) la décision !,r~se i l'instant t. Soient il l'espace des états et le [);(t] l'ense!!!ble des décisions possibles

à l'instant t si L est dans l'état X (t). Une suite

U

(0),

U

(1)

U

(t) •••• à.e décisions est appelée une stratégie. Connaissant une stra-tégie et l'état initial de L, les états ultérieurs sont déterminés pour l'équation (1). La suite X(O), X(l) ••. X (t) des états obtenus est la tra·· jectoire de L associée à U(O), U(l), .... U(t) .... Inversement toute

suite X(O), X(l), X(t) ... sera dite trajectoire possible si elle p8ut

être rêalisée par une stratér.;ie au moins. Le nCY.:!lbrc T d'étapes considérée

est appelée horizon.

Le problème est alors d0 rechercher pour un état initial donné

les straté~ies qUl w~ximisent un critère de la fo~e

+jv:

X

(tTj

'- T ._.J

où les v

t Œ(t), U(tl,j et VI'

G:

(tIJ sont des revenus. Lorsque VT!J«I'I] est nul on dit que le critère est à revenus partiels, lorsqu'au contraire seul VI' [-X(I'IJ subsiste on dit que le critère est à ravenu final.

(27)

Avant dtL,trodui~2 rigoureusem2nt la méthode illustrons la

par un exemple :

Exemple

4 -

On _{considèrç un seul veau et trois états possibles El , E2 , E3} (le premier état corres~ondantà u~ veau mort). L'horizon T vaut 90 jours,

on etudie l'évolution du veau dz 30 jours en 30 jours. On trace url I~!'a}?h.e

dont les s~cmets sont les états possibles du veau, les arcs repréeentant

les trwlsitions possibles. A chaque transition est attachée un revenu

par-tiel, à chaQ.ue état final est attaché u..~ revenu final. Il s'agit alors de chercher parmi tous les chemins menant de l'état iŒtial ~ l'un des êt~ts

final celui ou ceux qui maximisent le revenu total.

- _ . _ - .

@

1 1 1

~

~3 ' 1 t=o - 5

/ ,

1/

c

E . 2 ) ; - , - - - 1 - - - (

:~

.

o

1 1 1 /

~

3

~

2 t=30 t=Go 9

(28)

Considérons alors les différents états possibles au 60ièEle

jour, et affectons leurs un rE::venu t::p'ale au revenu maximum que l'on p-::ut

en tirer au cours de l'évolution future. Conservons alors les trajectoires

optim.ales du GOiènz: au 90ième jour :

O~

;@

~

16 _"'2[ 1 ..-/'/1

w/

la

3:

E t=60 t=90

On consid0re ensuite les états ?ossibles au 30i~me jour et on leur affecte

un

revenu égal au revenu

max==

que l' on ~ut en tir2r au c ours de l' évolution future

O&--@

j ;

l

_o~

~

r€'L

~

_K:9

1 . l 3 ® ! - - - - e t=30 t=6

f i se plaçant enfin au d"but du processus, on considère les tro.!lsitions possibles du temps t= a au tem:,?s t = 30 et on 12ur affecte le revenu maximœn que l • on peut en tirer au cours de l' évolution future

@-

-

5 H§l

®

14

>

®

(29)

Ce procédé ~~rmet d'obtenir:

a) à chaque installt et en cha'lue état, la ou les transitions optimales permettant de retirer un revenu ma.x:Unum de l'évolution futurè du veau. b) pour chaque instant et chaque état le revenu maximum que l'on peut

rèti-rcr de l'évolution future du veau

c) la ou les trajectoires optimales à partir de l'état initial

La trajectoire opti~e est ici

~&@-~

elle assure un revenu "rôbable de 14. On a ainsi trouvé la stratBr;ie optimale.

iious allons maintenant revenir

a

la formulation générale et énoncer un principe r;énéral

da

à Bell.!na..l1.

2 - PRINC IFE D' OPrI:IALITE DE BELI.'IAl'

La technique que nous avons employiie dans l'exemple précédent

est très générale. c'est le princip3 c10ptimalité

;Iune stratégie optïwAle est telle que, quels que soient l'état initial et la décision initiale, les décisions suivantes doi-\

~nt

constituer une straté3ic optimale par rapport à l'état ,resultant de la première décision.

1

Dans le cas particulier de l' exenple 4 il est très fac ile de

démontrer ce principe ~n utilisant u..'1 raisonnement par l'absurde. Hous ne le ferons pas, mais énonçons le principe sous une form~ parfaitement

(30)

Si une stratégie U(O), U(l), ••• U(1'-l) est optimale, il en est de même d8 la stratégie Ù(t), •••• ù(1'-l) pour l'état

initial

Xtt)

et le crit8re

V

1'_l rX(T-l),

U

(1'-1) ,

Posons Vm l

[X(l'-llÎ

= max

.l.- - - - , U(T-l)

et dÇunc façon générale:

V_{m _,}

_{... _}

[X (1'-1), (l'-lU + V

_-r

ex

(1')

i

pour t = O~ 7-1

Nous avons le th80rème suivant, très utile dans la suite, que nous

énon-çons sans démonstration :

(1)

on a :

Vt[};(t]= max vtlX(t), (tl1 + .... v

T_l [}: (1'-1), (1'-1)

i

U(

t) ...U(T-l)

~ (2) Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une stratêgie U(O) •••

~

U(T-l) soit maximale est que

Vt = 0, ••••• 'r-l

---

~ ~ (3) si ~~e stratégie U(O) •••• U(T-l) est maximale, la stratégie U(O) •••

~

U(T-l) est maximale (l'état initial étant inchangé) pour le critère

---

~~

Inversement si U(O) U(t-l) est maximale pour ce critère, elle peut se prolonger en une straté~ie optimale par le critère initial.

(31)

Remarque : D&~s le cas ou le critère est à mlnlmlSer~ on remplacera

par-tout max par mL~. C'est le cas o~ l'on cherche à minimiser le coût total de production.

(32)

/ § 1; - llODELES A REV3NU FINAL_ /

l - CHOIX DE LA DATE DE FIN D'ENGRAISSEMENT

Soit le lot L de m veaux ):louvant passer par les n états

:c:

_1•••

En' Les veaux sont engraissés »endant T jours de la date zéro à la date 1'.

Nous désirons choisir T de fagon 9:. naxÏJ:liser le revenu que l'on peut Htten-dre après avoir cO!n:'!1ercialisé ces veaux.

RemarQuons tout d'abord Que T n'est pas absolument quelconque. Compte tenu de nos objectifs, ,,-uant à la nature des veaux, nous prenons:

70 jours -'i

'r

~ 120 jours

La recette rapporté ~ar L, si on le vend

a

la date T dépend ~~iquement des

prix prévus et de l'état X(T). Les etats F. sont d'autre part liés au plan

- - 1 " '

-d'alimentation, donc aux 9.uantités d'alments consommés. On peut donc adopter,

en tenant compte du prix d'achat des veau.x et des autres frais, un revenu

moyen attendu à la date T pour chaque état. Soit Fl (T) le revenu moyen attendu pour un veau situé dans l'état I:. à la date T et vendu'" cette

- l

date. On considère le vecteur colonne, ci n composantes, des revenus r'\.oye.ns

attendus 3. la date 'i' :

FI

(ii'

F2 ('1') F ('1') =

_.-'

Le revenu attendu de la commercialisation de L à la date Test alors égale à :

v

_T ;X_{_}

(T")l

_{___} = X(T) x F(T)

(33)

ou en explicitant

V

T iX(T)1=_~ _j

Plaçons nous au d.ébut de

d'alimentation donné. Nous calculons

à 120 jours et nous choisissons T de

l'engraissement et supposons le ylan

r-- \1

VT LX(T~ pour T variant de 70 jours

façon à maJ:L~i5er le reV2nu attendu correspondant. Nous avons donc un critère à revenu rinal.

Aais en prati~ue S~ on vend le lot L à la date T, on est amené

à le remplacer à la date T + t (t est la durée de désinfection) • Cette

0 0

durée est fixée et peut var1.er suivant les cas de 10 à

15

jours ). I l faut donc que l'ensemble des deux opérations : vente du lot Là la date T et achat du lot suivant J. la date T + t , s'effectue dans

o

conditions. Introduisons le prix d'achat du lot euivant à la

les meilleur2s ·~t désignons le de la quantité Dar C (T+t ). Le - 0 V T définie par

critère adopté est alors l?

de..te T + t o • • ..l-' m:lX1.ml.Savlon C (T + t ) o

On tient compte de cette façon du

valeur de

·r

Qui rend maximum V__

- x

coût de remplacement du lot L. lorsque

date de

t est fixé et .'lue T varie de 70 à 120 jours. On choisit donc la o

vente correspondant à une

nous venons d'exposer cette méthode en nous plaçant au. debut de l'engraissement. Si on le désire on pourra décider du choix de T, en

se plaçant à toute date ultérieure, plaçons noue au bout de 70 jours d'en-f,raissement par exemple. On prend c~tte date co~~e nouvelle origine des

temps on a

o

jours ~ T ~ 50 jours

on connaît X (0) Î€tat du lot au bout de 70 jours d'engraiesementl, les cal-culs sont alors les mêmes. Cett~ deuxiè~e attitude est réaliste, car il n'est ,-,as raisonnable en génc;ral de vendre les veaux avunt 70 jours. L2S

(34)

calculs sont alors plus précis car on connaît avec certitude l'état du lot au bout de 70 .jours.

Nous avons donc déterminé la date de\<Onte du lot L en tenant

compte du coût de son remplacem~nt. Il n rest pas possible pour la mê:!!.e

néthode d'aller nlus de l'av~~t, c'est-~-dire de tenir compte de

l'évo-lution du lot suival"lt, de son rcrr.l~lac8!!!.ent ••• puisque nous ne connaissons !Jas à l'avance sa cOI:!position. :1al.e;ré tout, lorsque nous r:ossèderons de bonnes statistiques sur la com~osition du ch~~tel, nous pourrons prévoir

en probabilité la composition des lots futurs. Nous pourrons alors

intro-duire dans notre critère de décision plusieurs périodes d'élcvaee, en

donnant bien sûr une importance prépondérante au futur proch~.

2 - CHOIX DU PLAN D'ALIHE:lTATION ET CliANGEt-lENT DE PLAN EN COURS D'EN-.GRAI SSENEl'IT

Au dêbut de l'~ngraissement, nous devons choisir le pla'/'}.

d'ali-mentation parmi k plans possibles Pl , ?2 •.•• Pk. Pour faire ce choix nous les comparons en calculant : V'r pour chaque plan et pour différentes ve~eurs

de T. Nous obtenons pour le !llan Pi par Bxemple le vecteur :

î·rous pourrlons convenl.r alors d~ choisir le plan qui donne

à

Vm_... la valeur

naximum. Ce critèrz ::!st prou stable : les valeurs de V~_.... sont calculées â

partir de prévisions, cussi serl0ns nous amenés à préfé~er un plan qui

donne des ::-ésultats particulièrement élevés alors que !l0ur les autres valeurs ses résultats sont médiocres. Donc le critèr~ de choix doit tenir copptc de toutes :es composantes des vecteurs Vpi . Choisissons le critère

de la maximisation du carre de la norme enclidienne de VPi. Le J1lan

ado!'té est ';l.onc. celui 'lU1 mron.lll1Se :

st2ble

2

(35)

Si au bout d'un certain temps le comportement du lot n'est

~as celui 'lui est attendu, on peut être amené Èi chang<er de plan dt

ali-mentation. Pour le faire, en ~renant pour origine cette nouvelle date, on compare les différents pl~s possibles par la ~éthode précédente.

3 - VEI'IT!:: D'illl VEAU EN COURS D'ill!GRAISSEHENT

Il se peut ~utun veau isolé profite m~l, pour décider ou

non de le vendre, nous calculons le revenu (~ositif ou négatif) qu'il pourrait procurer aux instants ultérieurs pour différents plans d'alimen-tations. S'il s'avère 'lue la situation ne doive pas se redresser, on déci-de déci-de le vendre.

Pour déciderœ faire d·~ certains veaux soit des veaux d'élevage soit des gros bovins, on calcule de la même façon le revenu quiils pour-raient procurer pour différentes alternatives.

lIous venons de donner des méthodes sim~les pour décider du

choix du plan d ralimentation, de son changement, de la date d'arrêt de

1gengraissè~ent, de la vente d'un veau isolé. Nous nous sommes attachés

à maximiser le revenu en tenant compte du remnlacement des veaux, nous allons l2aintenant affiner nos méthodes 8n conservant le I!l.ême type de

(36)

l - DECOMPOSITION DU REVENU Y!NAL

Nous allons affiner les modèles ~récêde~ts après avoir montré comment décomposer le revenu final en une so~e de revenus partiels.

Nous considérons toujours le lot L, engraissé de l'instant z2ro

à l'inst8J."1t

·r

suivant une stratêgie quelconque. Si V

T

!X(T~

continue 3.

dési-gner le revenu rapporté par la vente de L à l'instant T si L est dans l'état X(T) ~ cet instant, on a

[~(TD=

m

V_T E p1 (O,T)

i=l

où p1 (O,T) est le _revenu final ra,porté _par le veau _w1

.

Or

1 ( ) ai (..~) _

p O,T = !-.

où ai (T) est le prix de vente de ce veau, al (0) son prlx d'achat et ou bl (O,T) comprend la valeur des aliments consommes ansi que les frais divers.

i

Decomposons p (O,T) en une somme de T termes

1 i l , ) i 1

p (O,T).- p (O,T) + p \1,2 + •••p (t,t+lh ••• +p (T-l,';')

1

P (t,t+1) t=o

pl(t,t+l) est le revenu partiel rapporté dans la transition qUl s'est effec-tuée de l'instant t à l'instant t+ l

(37)

b1(t,t+l) = valeur des aliments consommés et des frais divers de l'instant t à l'instant t+l.

En revenent au lot L, nous écrirons le revenu final sous la

forme d'urIe samme de T revenus ~artiels

r ---, ID !X(i')i =.1: ' - .;J 1=1 t-l 1: t=o t-l = 1: t=o lm .= l E ii=l r' lm

,

+ILI

_{~._.}

--,

1 pl (:;'-l,T) i ! - ' 1 P --, (t,tH) 1 .-" m 1: pi( )

i=l t, t+l est donc le revenu partiel rapporté par L dans la

transi-tion qUl a lieu de l'instant t il l'i.'1stant t+l.

2 - MODELES ;\1ARKOVIE.l'ifS A REVE!mS PARrIELS

2-1 Introduction théorique

:Nous ne nous posons pour l'instant que le problème du choix de la date d'arrêt de l'engraissement.

On considère l'êvolution d'un veau àe l'instant zéro ~

l'ins-tant T. Cette évolution est sounise comme nous l'avons vu à une chaîne de Harkov non homogi;ne de matrice de transition P (t) de l'instant t

à

l'ins~ tant t+l. A toute transition E.-tE.

1 J

l'instant t+l nous pouvons associer venons de le montrer. Désignons par

se produisant entre l'instant t et un revenu partiel r .. (t) cornne nous

lJ

v.(t) le revenu moyen ~rçu à partir

(38)

de l'L~stant t si le veau est dans l'état E. à l'instant t et par q. (t)

l l

le revenu partiel moyen perçu dans la transition qui se produit entre les instants et t+l si le veau est da"s l'état E. à l'instant t. On a :

l

n

r ..(t) p ..(t)

lJ lJ

Par ailleurs toujours S l le veau est dans l'état E. à l'instant

l

t, le revenu moyen perçu

a

partir de l'instant t+l est égal à : n

1: j"'l

v. (tH) 1 ) . . (t)

J ~lJ

On obtient la relation de récurrence

v. (t)

l v.(t+l)_J p .._lJ(t) + o.(t)

'-qUl s'écrit, en posant

vtt) '"

~l

(t)

L

et q (t)

sous la forme :

vtt) = v(t+l) n (t) + ~ (t)

Comme v (T) est nulle, nous avons une relation de récurrence rétrograde. Il est alors fac ile de calculer v (t) pour 0 ~t ~'r-l.

Si on considère le lot L, :?our chaque veau du lot on a la

(39)

2-2 - Application

En pratique connaissant l'état x(a) de L au début de

l'engrais<-sernent on déterminê T, en maxi.'!lisan.t le revenu attendu au bout de T jours donne par

r ~

R (a,T) = x'(a) v (a) !x(a) désigne la transposée de X (a)1

... + Xi (a) v.(a) + •••+

x"

(a) v

1 n

(a)

On calcule donc R (a,T) pour 7a jours.< T.~ 12a Jours et on choisit la valeur qU1 maxinise R (a,T).

On peut être amené il: considérer que l'état du lot au dÉibut de

l'engraissement n'cst pas significatif, au lieu de se ~lacer à la date

zero on se place alors à un i..l1stant t ultérieur. On calcule :

R (t,T) = X'(t) v(t)

lorsque T varie. On choisit de la In,"",e façon la valeur de T Clui maximise R (t,l').

Cette méthode pennet de programmer très simplement les ?ériodes :l'elevage.

2-3 Etude asynptotiaue (1)

On peut parfois admettre qu'a partir diune certaine durée

d'en-Graissement, l'évolution du veau est homogène dans le te!Il::;ls. Plaçons nous dans ce cas, et étudions le revenu lorsque la durée devient infinie.

Donc pour t ~ 7a jours, les matrices P (t) sont alors indépen-dantes du temps notons les P. Il en est de même des matrices des ,,"venus

r·- .

partiels R (t) = ir .. (t)l que l'on note R. Prenons pour nouvelle ong:me

; 1) .

des temps l'instant 7a joUrs.

Considérons l.L.'1 veau, s'il est

conque le revenu partiel moyen perçu dans

dans l'état E 1 la transition

a un instant

quel-suivante est

(40)

-pendant du temps~ et est égal à n q. = E r .. T.L . 1 j=l 1J ·1J On pose

Dé signons alors ]Jar v. (T)

- 1

sîtions SlicceSSlves si le veau part de récurrence

le revenu ~rçu au cours de T

tran-l'état E .. On & la relation de l V. 1 n ('1') = E j=l v. (T-l) p .. + q. J 1J 1 C'est-a-dire en posant

r-

~ vtT) = v l (T) ••••_, ,v_n (T)i _.-vtT) = v ('1'-1) P + q

avec v (0) =

o.

On obtient cette fois une relation de récurrence dirccte. v(T) = v(T-l) P + q

v(T-l) = v(T-2)

P

+ q

...

v(l) =

v(O)

P + q

v(c) = 0

s?où l'on déduit

l~

,.

('1' ) rj\_ll v = q + P .;- _{••• +} _P'" _; ... vtT) 1 + P + + l''1'-1 eu = q x _~ l'

Soit ilile pro.j'2cteur spectral associé

à

la valeur propN 1 de la matrice P. On a lim l?_l l+? + ••• + P-= T+ 00 T

(41)

Posons : g -i~_-!

"

Dl" ... g_~n

i

1= q Nous avons lil!l T.... ~ VIT) T = e; cg

est-à-dire que pour les Gr~~des valeurs de T

VIT) '" Tg

cette ralation nous permet donc de calculer le revenu attendu lorsque la

Œurée d'engraissemant est très ~rande. Soit le lot L, le revenu attendu

au bout d'une longue durée est donnée par:

R (O,T)

₌

X' ( 0) v (T)

(1)

=

T X' ( 0) g

r- ~

=

T !X!(O) ₆₁₊ _{... +} X~(O) g.+ ~ Xn(O)

~!

' 1

...

'

- '

Ceci nous donne des critères analogues à l'espérance mathématique. Il est d'autre part possible de décomposer v (T) suivant la nature de la ma-trice P, ce que nous ne ferons pas (2).

3 - ;·lODELES iiARKOVIENS A R"VE!'US PARTIELS ET DECISIONS

Plaçons nous maintenant dans le cas général et soient D!, •.. D

p les différentes décisions concernant le plan d'alimentation.

partiel correspond~~t.

l'instant t+ l sachant qu'on

Considérons tout d'abord un veau ~ Pij (t,k) désigne la pour que le veau étant dans l'état E.

à

l'instant t soit dans

1

applique la décision .Dio' r_ij (t,k)

E. à

J revenu probabilité l'état est le

(1) l'origine est prise au 70ème JOur, donc X(O) est l'état de L ~ cette date

(42)

On pose : r-- --, P(t,k}

=l~ij(t,k~!

et R( t,k) r-- 1 - 1r ij (t ,k)

i

(1 Ô ,J .:::n) E.-+ E. ~ J D_k est : Le revenu partiel moyen perçu dans la transition

l'instant t + l, lors~u'on applique la décision n E qi (t,k) = j=l r .. (t,k) p .. (t,k) ~J ~J

Si vi (t,T) désigne le max~mum du revenu partiel perçu de l'instant t à

IVinstant T, si le veau est dans l'état E._~ à IVinstant +

_v,

on a :

(a)v. (t,T) = ~ max li:

in

!

E 1j=l L v. (tH,T) D .•(t,k) .J -~J , (t,k)1 :

ce qui permet de calculer v. (t,T) pour tout t et tout T, sachant gue

~

v. (T,T) = O.

1

Si on se place au début de IVengraissement, on calcule v. ~

(O,T) pour 70 jours .~ T ~ 120 jours; et on détermine la valeur de k cor-respondante, donc la décision à appliquer. Il est très possible de trouver plusieurs solutions.

LorSQu'on considère le lot L, la méthode ~r6cédente n'est ~as généralisable ex-abrupto. On pourrait individualiser chaque veau et déter-miner autant de décisions grâce à la relation (a). Il serait alors bien difficile d'en choisir une. Nous ellons donc irrliquer une méthode donnant une décision globale pour le lot L.

Désignons par Q(t,k), le revenu partiel moyen perçu da~s la transition X(t) + X(t+l) de l'instant t à l'instant t+l si on applique la décision Dkà l'instant t.

r

(t+l) .. n

E i=l

(43)

Q (t,k) = = E j=l n E i=l E i=l r .. lJ n. E j=l (t,k) Xl (t) p .. (t,k) lJ r .. (t,k) p .. (t,k) lJ lJ n Xi = _E i=l (t) q. (t,k) l Q (t,k) = X' (t) q (t,k) en posant q (t,k) =

~l

(t,k) •••

~

(t,k)J

si

R

(t,T) désigr.e le maxlmUE du revenu partiel perçu de l'ins-tant t à l'instant T, On détermine D

k par R (t,T) = max

k

v. (t+l,T)

~(t+l)

+ Q

J

A chaque instant on obtient donc une décision commune à tous les veaux.

4 -

VENTE D'UN VEAU EN COURS D'ENGRAISSEHENT - PROBLEME DE REMPLACEMENT

La vente d'un veau qui profite mal en cours d'engraissement se décide comme dans le cas des modèles à revenu final. C'est dire en exaninant les revenus qu'il pourrait procurer en le conserv~~t. On agit de même pour décider de faire de certains veaux des gros bovins ou des veaux d'élevage.

Le problème de remplacement se traite lui aussi comme dans le cas des modèles à revenu final en introduisant le prix d'achat du lot sui-vant et en max~isant non plus simplement le revenu attendu, mais la diffé-rence entre celui-ci et le prlx d'achat du lot remplaçant.

(44)

/-~

6 -

CONCLUSION ET BIBLIOGRAPHIE

_~

lious avons construit des modèles dynaoiques originaux, d'emploi

facile puisqu'ils ne font a~pel qu'a des calculs itératifs. Ces modèles sont basés sur une hypothèse fondamentale: l'évolution d'un veau SOumlS .'i un plan d'alimentation déterminé, est régia par une chaîne de '·larkov non~

homogène. Cette hypothese simplificatrice s'est avérée parfaitement adéquat,

. , a conduit ~ ' . " . .

pu~squ elle nous a des resultats tres ~rec~s et r1goureux, comme nous l'a montré l'application n~~éri~ue du deuxième paragraphe. Ce qui nous no~~ tre du même coup qu'à un moment quelconque de l'êLevage d'un lot de veaux, connaissant son état et le plan d'alimentation auquel il est soumis, il

est possible de pr2voir nvec llile très bonne précision son état

a

tout ~~S~

tant ultérieur. Ces modèles à la fois simples et réalistes permettent donc une pro,e;rammation convenable d",s entrees et des sorties du système S.

Dws une etude ulterieure nous donnerons de nouvelles

applica-tions nuoériques pour de no::Jbr2ux plans d'alimentation. rour le faire il

nous sera nécessaire de collecter de nouvelles statistiques. Simultanément

nous affinerons nos modèles à ~artir de rech0rches purement Bathématiques

déja entreprises. Teus ces travaux nécessiteront un gros travail sur ordi-nateur.

Il nesure C!uc nous disposerons d2 résultats sur l'~levage des veaux ëll autcpservice, nous élaborerons des modèles s' appliQ.ual'1t à ce type

d'elevaEe. Des statistiques sur la composition du chaptel nous pernettront

alors d'utilis2r des critères prenant en compte la succc~ssion d'un grand

nombre de périodes d'elcvage.

:en

nous orientant de plus en plus vers des

études de sinulation nous étudierons la croiss8-Tlce des ateliers et la

con-currence entre les firmes

à

l'aide de la théorie des jeux.

Ilos recherches Se développeront donc sur trois plans a) Collacte et exploitation de statistiques

(45)

Démonstrations de theorènes - Constructions de nouveaux I:!odèles.

c) applications numériques - Contrôle de la ~ualité des 'modèles.

Dans chaqu2 direction elles nëcessitent de nonbreux calculs sur ordinateur.

Cette pre~ièr~ étude ne constitue donc qu'une introduction à

des travaux ulterieurs.

La bibliographi~donne des rÊ:i"érences méthodologiques et

quel-ques références sur l'utilisation des chaînes de Aarkov en economie rurale.

(1) F. Bessoullet "Contribution

s.

l'étude dG la rroduction intégrée de veaux de boucherÏ<," (Publication INP.A)

(2) Richard E. Bellman "Dynamic progra.I!lll!ing" Princeton University Press-1957

(3) R.E. Bellma..'1 et S.E. Dreyfus "Le. progra.=ation dynanique et ses appli~ cations" Dunod 1965

(4) Don Bostwick "Yield probabilitics as a l.larkov process" - Agr. Econ. Res. 14 (~) - avril 1962 ~.49-56.

(5) Churcrrm.2.."1 - Achoff - Arnoff "L'ltroduction to operations research" Hil2Y 1957

(6) "!arion Clawson "A;ing fa..=ers and agricultural policy" jour fa= Econ 45 (1) 1963 p.13-30.

(7) Ronald A. Ho·ward "D,'!lamic pro,,\ramning ô.lld Harkov processes" HE' Pre;ss 1960

(8) Don Kanel "Far!!! adjustel!!ents by age groups. Horth Central states 1950-: 1959" Jour farm ecol>1 45 (1) 1963 p.47-60.

(9) Ronald D. ICrenz "Projection du nombre; d'exploitations à l'aide de chai-nes de ,'!arkov" - i'cono!:1Ïe Rurale 64 (2) 1965 p.99-106. (10) J. Lesourne "Technique économiauG et gestion industrielle" Dù1l0D 1:;160

(11) t:. l'!alinvaud "1,i6t:,odes statistiques de l' 2con=étrie" Dunod 1964 (12) R. ::'ALLU de la BARRIERE Il Cours d'autonatiqu<" théorique" Dunod 1966

Ü3) Pontryagin - Bolstyanskii - Gamkrelidz,,, - i-lischenko - "The mathematical theory of optimal processes" L"ltcrsciencG Ne" York 1962.

(14) P. Rosenstiehl. A. Ghouila - Houri. "Les choix économiques décisions séquentielles et simulation" Dunod 1960

(15) G. V= de Voorde "La yroduction de veaux blancs" (publication de la

cowmission pour l'êtude dG l'ali~entation du bâtail - ~inistère belge de l'a~riculture).

(46)

ANNEXE l - INTRODUCTION A LA THEORIE DES CRAmES DE !liARKOV FINIES

Hous donnons dans cette annexe quelques éléLlents sur les cha't-nes de Harkov. Les propriétés sont enoncées sans diémonstration.

1 - DEFINITIONS ET PIlOPRIETES GENERALES

;1.-1 Définition des chaînes de '·larkov

Il s'agit de représenter par un modèle mathématique l'état d'un sJ'stème dépendant du temps et du hasard, nous supposons que le temps est â

valeurs entières et nous introduisons l'ensemble fini E, appelé espace des

états.

lat ion

Nous définissons les variables aléatoires X t

x

= 1

t

t E fi par la

re-si le système est dans

Markov finie la famille

priété de Markov :

l'état E.

à

l'instant t. Nous

J.

des variables aléatoires X t ,

appelons chaîne de

Qui vérifient la

pro-Propriété de Harkov :

Pour toute suite d'instants

... < t < t n on a [-- ~

r-I 1 P _IXt= 1 X tl= Xtn [= P 'X . 1 _JI

...

= _J n i t=l

,

!

_{L_}

__J

Ainsi la connalssance de l'état du système

â

l'instant t dé-n termine à elle seule la loi aléatoire de ce système après l'instant t

(47)

1-2 Matrices de transition

Soient deux instant s et t s ~ t

(s, t)

r;

='

_IX

- ,

Posons '!'J ••

-

P

=

• 1

-lJ 1 t J s 1 ₁

,- .-!

L'application (i,j) ~u.. (s,t) ainsi définie permet d'associer à notre

- 1,]

chaîne de Markov, pour deux instants s et t, lL.'1e ma.trice finie, dont la

terme de la ième ligne et de la jième colonne est ry~écisémentp .. (s,t)

- 1,]

c'est la matrice de transition entre les instrolts s et t. On remarque que:

u·. (s,t) >, 0

-1,] r

E

j Pij (s,t) = 1

On dit que la matrice P (s,t) est stochastique.

1-3 Fo~ule de Chapm&~ - Kolmogorov On démontre 'lue :

? (r,t) = P (r,s) x P (s,t)

1-4 Prouriêtê iœportante

Si n (t) dêsic;ne la distribution de probabilité de X

t on a

n

(t) = n(s) x P (s,t)

..1"'5 Chaines homogène~

une chaîne de Harkov est dite homogène si ? (s+h, t+h) = P (s, t )

(48)

Si nous posons :

p = P (0,1)

nous avons

P (O,t) = pt

2 - .~arIONS SUR L.l\. ~rtEORIE ;)35" GRAPHES

On appelle graph~ orient~ ou simplement graphe sur un

ensem-ble X toute application r de X dans l'ensemble des parties de X.

Les éléments de

X

sont appelés les sommets arc du graphe tout couple (x,y) de sommets tels que y lé l'origine et y l'extrémit6 de l'arc (x,y). Si

X

est

du graphe. On appelle E r(x); x est

appe-fini on représente ses éléments par des points d'~~ plan ct rest alors représenté par l'en-semble de ces arcs :

On appelle cBemin toute sillte x_o' xl, •••

'1<

de sOl!ll!lets tels que x

i+l E r (xi). Le n"",bre k;>- 0 est appelé la longueur du chemin. Un chemin de longueur non-nul peut être défini »ar la suite des arcs: (x ,

o XJ!,(XI, x2), ••• ,

('1<-1' '1<).

Le sommet X

o est dit origine du cilemin et le sommet

'1<

est dit son extrémité. Le chemin est dit élémentaire Sl

Xi

1

x_j pour i

1

j.

On appelle circuit tout chemin dont l'origine est confondue avec l'extrémité. Tout chemin de longueur nulle est un circuit. On appelle boucle un circuit de longueur 1.