L’interrogation

PC∗

Interrogation sur les espaces euclidiens

Exercice 1

Soit E un espace euclidien et (b1, . . . , bn) une base quelconque (non nécessairement orthonormée) de E.

a) (1 pt)Soit x ∈ E tel que pour tout k ∈ ~1, n, hbk|xi = 0. Montrer que x = 0E.

b) (1,5 pts)Soit (α1, . . . , αn) ∈ Rn. Montrer qu’il existe un unique vecteur x ∈ E tel que pour tout k ∈ ~1, n, hbk|xi = αk.

Exercice 2

(1,5 pts) Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rnun vecteur de norme 1 (pour le produit scalaire usuel). Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur Vect(a).

Exercice 3

(2 pts) Soit E un espace euclidien, H un sous-espace vectoriel de E, et x ∈ E. On pose H = x + H =nx + h  h∈H

o

. Montrer que inf

y∈H

k_{yk = kx − x1}k_{où x1est le projeté orthogonal de x sur H.}

Exercice 4

(1,5 pts) Soit E un espace euclidien, H un sous-espace vectoriel de E et (e1, . . . , en) une base orthonormée de E.

Pour tout k ∈ ~1, n on note e0kle projeté orthogonal de ek sur H. Montrer que n

X

k=1

k_e0

kk2= dim H (faire intervenir une base orthonormée de H).

Exercice 5

(2 pts) On munit Rn de sa structure euclidienne canonique, et on considère la matrice A ∈ Mn(R) d’une projection

orthogonale. Montrer qu’il existe des vecteurs unitaires X1, . . . , Xr dans Rntels que A = r

X

k=1

XkXkT.

Exercice 6

(1,5 pts) Soit E un espace euclidien et u ∈ S(E) un endomorphisme symétrique. Montrer que maxSp(u)= max

x,0E

h_{x | u(x)i} k_xk2 .

Exercice 7

Soit A ∈ Sn(R) une matrice symétrique, et λ1, . . . , λnses valeurs propres.

a) (1,5 pts)Montrer que n X i=1 n X j=1 a2_ij= n X i=1 λ2_i.

b) (1 pt)En déduire que si

χ

Exercice 8

On munit E = Rndu produit scalaire canonique, et on note K l’ensemble des matrices A ∈ Sn(R) telles que Sp(A) ⊂ [−1, 1].

a) (1,5 pts)Soit A ∈ Sn(R). Montrer que A ∈ K si et seulement si pour tout X ∈ E,

  hX | AXi   6 kXk 2_.

b) (1,5 pts)Soit A = (aij) ∈ K. Exprimer tr(ATA) à l’aide des aij et en déduire que n X i=1 n X j=1 a2_ij6_n.

c) (2 pts)Déduire des deux questions précédentes que K est une partie fermée et bornée de Mn(R).

d) (1,5 pts)Soit B ∈ On(R), et A = 1 2  B + BT. Montrer que hX | BXi   6 kXk 2_{, et en déduire que A ∈ K.}