Intégrales (complément pour 5/2)
Exercice 1 Soit f ∈C1(R+, R) telle que f (0) = 0 et pour tout x ∈ R+, f0(x) ∈ [0, 1]. Montrer que pour x > 0,
Zx 0 f (t)3dt 6 Z x 0 f (t) dt 2 .
Exercice 2 Soit f : R → R une fonction continue et T-périodique. Montrer qu’il existe un unique λ ∈ R tel que
Z +∞
1
λ −f (t)
t dt converge.
Exercice 3 Soit f ∈C0(R+, R) de limite nulle en +∞. Déterminer la nature de
Z +∞
1
f (2t) − f (t)
t dt.
Exercice 4 On pose pour n ∈ N∗, Hn= n X k=1 1 k et In= Zn 0 1 − t n n ln t dt. a) Montrer l’existence de γ ∈ R tel que Hn= ln n + γ + o(1).
b) Justifier l’existence de In, puis montrer que lim In=
Z+∞ 0 e−tln t dt. c) Montrer que γ = − Z+∞ 0 e−tln t dt. Exercice 5 Soit Γ : x 7→ Z +∞ 0 tx−1e−tdt. a) Déterminer le domaine de définition de Γ . b) Soit x > 0. Pour n ∈ N∗on pose Tn(x) =
Zn 0 tx−1 1 − t n n dt. Calculer Tn(x).
c) Montrer que Γ (x) = lim
n→+∞
nxn! x(x + 1) · · · (x + n).
Exercice 6 On considère l’intégrale I = Z+∞
0
sin t
t dt.
a) Justifier l’existence de cette intégrale. b) Pour tout n ∈ N on pose In=
Z π2
0
sin(2n + 1)t sin t dt.
Justifier l’existence de cette intégrale, puis montrer que la suite (In) est constante.
c) Déduire de la valeur de In, celle de I.
Indication. Utiliser l’intégrale Jn=
Z π2
0
sin(2n + 1)t
