Borne de Bézout

2.3 Borne de Bézout

Références :1 _{J.Y. Mérindol, Nombres et algèbre, EDP Sciences, 2006,} A. Szpirglas, Mathématiques L3, Pearson Education, 2009.

Leçons concernées : 144, 152.

Théorème 1. Soit k un corps infini et soit A, B P krX, Y s premiers entre eux de degrés totaux respectifs m et n. Alors si on note ZpAq l’ensemble des zéros de A, on a

Card_{pZpAq X ZpBqq § mn.}

Démonstration. Étape 1 : l’ensemble ZpAq X ZpBq est fini. On note RX “ resXpA, Bq et RY “ resYpA, Bq qui sont des polynômes non nuls, puisque A et B sont premiers entre eux, respectivement de krY s et krXs. Pour tout px, yq P ZpAq X ZpBq, on a RXpyq “ 0 puisque xétant une racine de ApX, yq et BpX, yq, ces deux polynômes ont un facteur commun. De même RYpxq “ 0 et donc

Card_{pZpAq X ZpBqq § deg R}Xdeg RY.

Étape 2 : majoration de deg RY. On écrit alors A “∞pi“0aipXqYiet B “∞qj“0bjpXqYj où deg ai § m´i et deg bj § n´j, et donc RX est le déterminant de la matrice de Sylvester suivante : C“ pci,jq1§i,j§p`q “ ¨ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˝ ap p0q bq p0q ... ... ... ... ... ap b0 ... a0 ... ... bq ... ... ... ... p0q a0 p0q b0 ˛ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‚ avec @j P r|1; q|s, ci,j “ " ap´pi´jq si 0 § i ´ j § p 0 sinon @j P r|q ` 1; p ` q|s, ci,j “ " bq´pi´pj´qqq si 0 § i ´ j ` q § q 0 sinon

1. adapté d’un développement rédigé de Harold Favreau et Lucien Grillet.

et donc pour tour P Sp`q, deg´"p q p`q π j“1 c _pjq,j¯“ q ÿ j“1 degpc _pjq,jq ` p`q_ÿ j“q`1 degpc <sub>pjq,j</sub>q § q ÿ j“1 ` m´ p ` pjq ´ j˘` p`q<sub>ÿ</sub> j“q`1 ` n` pjq ´ j˘ “ mq ´ pq ` np “ mn ` pm ´ pqpq ´ nq § mn.

En effet, si est tel qu’il existe j P r|1, p ` q|s tel que c pjq,j, alors le produit est nul et donc son degré est ´8. Sinon, on peut appliquer la majoration indiquée d’après l’expression de c _{pjq,j “ 0 dans le cas non nul et les majorations des degrés de a}i et bi. Un tel existe toujours car sinon RY serait nul ce que l’on a exclu par hypothèse. Ainsi, d’après la formule du déterminant, deg RY § mn.

Étape 3 : changement de variables. On sait que pour tout px, yq P ZpAqXZpBq, RXpyq “ 0. Ainsi, si toutes les abscisses des éléments de ZpAqXZpBq sont différentes on a le résultat souhaité. On va se ramener à ce cas par un changement de variables. On pose

“ "

x´ x1

y´ y1 | px, yq, px

1_{, y}1_{q P ZpAq X ZpBq, y ‰ y}1*

qui est un ensemble de cardinal fini, ainsi, comme k est infini il existe u P k˚_{z . On effectue} alors le changement de variables X1 _{“ X ` uY et Y}1 _{“ Y et on pose rApX}1_{, Y}1_{q “ ApX, Y q} et rBpX1, Y1q “ BpX, Y q. On considère alors la fonction

' : ZpAq X ZpBq Ñ Z `

resY1p rA, rBq ˘

px, yq ބ x_{` uy.}

La fonction ' est bien définie puisque si px, yq P ZpAqXZpBq, alors rA<sub>px`uy, yq “ Apx, yq “</sub> 0 et rBpx ` uy, yq “ Bpx, yq “ 0 et donc resY1p rA, rBqpx ` uyq “ 0. D’autre part, puisque uR , ' est injective. Ainsi

Card`ZpAq X ZpBq˘§ Card`Z`resY1p rA, rBq ˘˘

§ deg` rA˘deg` rB˘ “ degpAqdegpBq. Remarques. Le théorème de Bézout plus général affirme que sous de bonnes hypothèses le cardinal de l’ensemble des zéros communs comptés avec multiplicités est exactement mn.

On peut travailler sur un corps quelconque et même sur un anneau intègre, il suffit pour cela de considérer la clôture algébrique du corps des fractions de l’anneau.