Susceptibilité dynamique d'un metal antiferromagnétique itinérant.

SUSCEPTIBILITE DYNAMIQUE D'UN METAL ANTIFERROMAGNETIQUE ITINERANT

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

THESE DE DOCTORAT

La description de l'état de base d'un métal antiferromagnétique itinérant à polarisation longitudinale est obtenue utilisant un modèle du type Fedders-Martin. Le paramètre d'ordre est calculé en présence d'un champ magnétique extérieur et d'un champ d'anisotropie magnétique. La susceptibilité dynamique, pour un modèle à deux bandes, est obtenue à partir de la dérivée première des fonctions de Green à une particule définies en présence d'une sonde temporelle. L'étude des pôles de la susceptibilité dynamique nous donne la relation de dis-persion des ondes de spin. Nous étudions plus à fond la limite macroscopique et la limite du nombre d'onde

Q,

caractérisant l'onde de spin statique LSDW. Nous obtenons une bande de fréquences défendue, pour les ondes de spin, due au facteur d'anisotropie magnétique. Le champ magnétique constant modifiant les niveaux d'énergie uniparticulaires, la vitesse de phase des ondes de spin dé-pend de leur direction de propagation par rapport à la direction du champ h •

~ La relation de dispersion des modes couplés magnon-phonon est obtenue par l'in-termédiaire de l'intéraction électron-phonon et l'intéraction spin-orbitre. Les modes couplés onde Alfven-magnon sont obtenus à l'aide de la condition d'auto-cohér·~nce des équations de Maxwell. Nous proposons, en dernier, une expérience type qui permettrait de vérifier les prédictions théoriques et de déterminer l'énergie d'anisotropie magnétique.

par

Alain CAILLE, M. Sc.

Thèse soumise à la "Faculty of Graduate Studies and Research" pour l'obtention du Doctorat en Philosophie.

Département de Physique Université McGill

Montréal Y.ars 1971

l II III IV V VI VII VIII INTRODUCTION •••••••••••••••••••••••••••••• L'HAMILTONIEN DU SYSTEME ••••••••••••••••.• L'ETAT DE BASE ••••••••••••••••••••••••••.• LA REPONSE LINEAIRE •.••••••••••.••••••••.. LA SUSCEPTIBILITE DYNAMIQUE TRANSVERSE •••. LES ONDES DE SPIN •••••••.••••••••••••••••• INTERACTION MAGNON-PHONON ••••••.••••••••.. INTERACTION MAGNON-ONDE ALFVEN •••.•••••••• CONCLUS ION ••••••••••••••.••••••.•.•••••••• ANNEXE A

ANNEXE B

BIBLIOGRAPHIE ••••••.•••.•••••.••.•••.•••.• DESCRIPTION DES FIGURES •••••.••.••••••••..

1 14 27 51 67 77 95 105 109 I I I 114

La description de l'état de base d'un métal antiferromagné-tique itinérant à polarisation longitudinale est obtenue en utilisant un modèle du type Fedders-Martin. Le paramètre d'ordre est calculé en présence d'un champ magnétique extérieur et d'un champ d'anisotropie magnétique. La susceptibilité dynamique, pour un modèle à deux bandes, est obtenue à partir de la dérivée première des fonctions de Green à une particule définies en présence d'une sonde temporelle. L'étude des pôles de la susceptibilité dynamique nous donne la relation de dispersion des ondes de spin. Nous étudions plus à fond la limite macroscopique et la limite du nombre d'onde

Q,

caractérisant l'onde de spin statique LSDW. Nous obtenons une bande de fréquences défendues, pour les ondes de spin, due au facteur d'anisotropie magnétique. Le champ magnétique constant modifiant les niveaux d'énergie uniparti-culaires, la vitessL de phase des ondes de spin dépend de leur direction de propagation par rapport à la direction du champ h •

-0 La relation de dispersion des modes couplés magrl~n-phonon est obtenue par l'inter-médiaire de l'intéraction électron-phonon et l'intéraction spin-orbitre. Les modes couplés onde Alfven-magnon sont obtenus à l'aide de la condition d'autocohérence des équations de Maxwell. Nous proposons, en dernier, une expérience type qui permettrait de vérifier les prédictions théoriques et de déterminer l'énergie d'anisotropie oagnétique.

Pour comprendre l'origine de l'intéraction entre les moments magnétiques, nous partons d'un ensemble d'atomes tel que la distance atome-atome est infinie. Le potentiel d'intéraction interatomique électron-électron est du type coulombien entre des densités de charges électriques sur les atomes. Lorsque la distance atome-atome est réduite afin d'obtenir un solide, les orbitales atomiques des atomes voisins se recouvrent. Les électrons étant des fermions, la fonction d'onde totale, produit de la partie spatiale et de la partie de spin, est antisymétrique. Ceci est une manifestation du principe d'exclusion de Pauli. En plus de la répulsion coulombienne, les électrons de même spin subissent les forces d'échange. Si la réduction de l'énergie provenant des termes d'échange entre les électrons de même spin suffit pour compenser

l'augmentation d'énergie provenant du changement obligatoire de la partie spatiale de la fonction d'onde, l'état de base possède une orientation parallèle des spins voisins. Si cette condition n'est pas satisfaite, les spins voisins seront orientés en sens opposé.dans l'état fondamental. Cette diffé-rence d'énergie entre les deux configurations possible

Jt

= -

~

L

J (

KI -

~)

s( .

~.

i>/

R. et R. représented les vecteurs du réseau cristallin -l. -J

S sont les opérateurs de spin. J(R. - R.) représente l'intér--l. -l.

action d'échange entre les spins aux points R. et R .• J ..

-l. - J l.J est positif pour une orientation parallèle des spins voisins. J .. est négatif pour une orientation antiparallèle. L'ordre

l.J

magnétique se manifeste pour une température inférieure à la température critique de Curie T (ferromagnétisme) ou celle

c de Néel T

N (antiferromagnétisme). La température critique (Tc ou T

N ) correspond à la température inférieure à laquelle les forces d'échange sont suffisamment fortes pour compenser les fluctuations thermiques des spins. Le signe de l'intégrale d'échange J .. dépend du solide étudié. Les substances

magné-l.J

tiques, satisfaisant les critères énoncés plus haut, sont dites du type classique.

Nous présentons maintenant une série de résultats expérimentaux qui tentent de clarifier la structure magnétique du chrome métallique. Pour une substance magnétique classique, dans la phase paramagnétique, la susceptibilité statique

satisfait la loi de Curie. Les fluctuations thermiques tentent à désorienter les moments magnétiques alignés par le champ magnétique de mesure tel que la susceptibilité diminue

-1 proportionnellement à l'inverse de la température (T ). La susceptibilité statique du chrome métallique dans sa phase

caractéristique de la présence de moments magnétiques local-isés. La diffraction élastique des neutrons polarisés[ 3] dans le chrome métallique, indique l'absence de moments magnétiques localisés au dessus de la température critique T

N = 310 K. Un autre résultat expérimental nous confirme l'absence de moments magnétiques dans la phase paramagnétique. Pour une substance classique, la transition de la phase

paramagnétique à une phase où les moments magnétiques sont orientés, s'accompagne d'une réduction importante de l'entropie associée au désordre des moments magnétiques dans la phase paramagnétique. Le nombre de configurations différentes dans la phase paramagnétique est ( 2S + 1 )N où S est le nombre quantique de spin et N le nombre de moments magnétiques

localisés. La phase ordonnée ne possédant qu'une configuration possible, la différence d'entropie entre la phase paramagné-tique et la phase ordonnée est :

11

S =

k.lm.

(.!l

5

of 1) AI

La diminution d'entropie, mesurée par Beaumont[ 4], pour le chrome métallique est 100 fois inférieure à celle prévue pour une substance possédant des moments magnétiques localisés. Nous voyons que l'ensemble des résultats expérimentaux exposés plus haut nous force à conèlure à l'absence de moments magnétiques localisés dans le chrome métallique, du moins dans la phase paramagnétique.

Les résultats expérimentaux obtenus de la

diffraction élastique des neutrons polarisés démontrent [ 5 la présence d'un ordre magnétique dans le chrome métallique pour une température inférieure.à la température de Néel T

N ( TN = 310 K ). Les maximums de densité de spin sont séparés entre eux par la distance

~[

3].

A

=

~Q

(1-1-5)

a est le paramètre du réseau et

ç

est de l'ordre de 1/25, augmentant lentement avec une diminution de la température. Les maximums de la densité de spin ne sont donc pas en corrélation spatiale avec le réseau cristallin. Pour une substance antiferromagnétique classique, la susceptibilité statique, au dessous de la température de transition T

N, prend la forme[ 6 ] décrite à la figure O.

~~

représente la sus-ceptibilité statique mesurée perpendiculairement à la direction d'orientation des spins dans la phase antiferromagnétique. ~H représente la susceptibilité mesurée dans la direction de l'orientation des spins. Aux très basses températures la sus-ceptibilité ~~ demeure constante puisque nous pouvons orienter la magnétisation avec un champ transverse. La susceptibilité

~N tend vers zéro à la température nulle; les spins étant gelés dans la configuration antiferromagnétique. La susceptibi-lité statique, mesurée[ 7 ] dans le chrome métallique pour T < T_N ' possède également le comportement indiqué à la figure O. Des résultats [6] et [7] nous concluons que le

pour T < T

N qui se manifeste même en l'absence de moments magnétiques.

Les seules autres composantes de la magnétisation, outre les moments localisés absents dans le chrome métallique, sont les électrons de conduction. La probabilité de présence des électrons s'étendant sur l'ensemble du solide d'une façon continue, la polarisation de spin est continue dans l'espace. Afin de reproduire la structure antiferromagnétique, nous supposons que la polarisation magnétique est régie par une forme harmonique telle une fonction sinusoidale. Nous obtenons ainsi une magnétisation totale nulle et une variation continue entre un maximum d'orientation positive et un maximum d'orien-tation en sens opposé. Nous obtenons ainsi une onde de densité de spin (SDW) possédant un vecteur d'onde Q

=

La mesure de la réduction de la chaleur spécifique

électroniqu~ passant de la phase paramagnétique T > T_N

à la phase antiferromagnétique T < T

N nous renseigne sur le mécanisme qui donne naissance à l'onde de spin statique (SDW). La chaleur spécifique électronique est proportionnelle au nombre d'états situés près de la surface de Fermi. A cause du principe de l'exclusion de Pauli, uniquement ces états

électroniques peuvent être excités par les fluctuations ther-miques. La chaleur spécifique électronique du chrome métallique est réduite d'environ 50% [ 10 ) en passant de la phase

paramagnétique T > T

N à la phase antiferromagnétique

T < T

N. D'où la formation de l'onde SDW s'accompagne de la perte de près de la moitié des états à la surface de Fermi. Nous observons, à partir de l'examen de la sur-face de Fermi paramagnétique de Lomer [ 8 ], telle qu'in-diquée à la figure 1, que les feuillets autour du point

r

et du point H sont séparés par le nombre d'onde Q dans l'es-pace réciproque. En couplant ensemble les états électroni-ques du feuillet autour de

r

(électron) et les trous du feuillet autour de H par l'intermédiaire de l'intéraction interbande électron-électron, nous mélangeons des états dégénérés du point de vue énergétique. Les états dégénérés sont fortement mélangés par l'intéraction interbande. En mécanique quantique, les états dégénérés sont séparés par la perturbation et donnent naissance à une bande d'énergie interdite. L'intéraction interbande forme des paires liés électron-trou provenant des feuillets de surface de Fermi

r

et H . Le domaine d'énergie défendu apparaissant à la sur-face de Fermi, nous obtenons une réduction de l'énergie de l'état de base qui stabilise l'état SDW par rapport à la phase paramagnétique. Pour les feuillets de surface de Fermi qui participent à la formation de paires électron-trou, i l en coûte un minimum d'énergie pour exciter les électrons dû à la bande d'énergie interdite. Cette propriété explique la réduction[ 10 ] (50%) de la chaleur spécifique électronique.

l'état SDW, la composante de Fourier de nombre d'onde Q de la densité de spins doit être non-nulle. C'est ainsi que nous obtenons une onde de spin de nombre d'onde Q. La largeur de bande interdite, d'où la stabilité de l'état SDW par rapport à l'état paramagnétique, augmente avec le nombre d'états participant à former des paires liées. La valeur de Q est telle.que nous obtenons le nombre maximum d'états contribuant à la condensation. Cette condensation est possible dans le chrome métallique, les deux feuillets de surface de Fermi autour de

r

et H possédant une surface de recouvrement import-ante. Ceci explique également pourquoi nous ne retrouvons pas ce phénomène plus répandu dans la nature. Nous remplaçons les feuillets

r

et H par deux sphères de même diamètre. Ce modèle, du type Fedders-Martin[ 9 ,possède un recouvrement maximum. La très forte dépendence de la température de

trans-[ I l ] ition T

N par rapport à la pression nous indique qu'il s'agit d'un phénomène de structures de bandes. Un calcul récent de G. Windsor[ 12 ] prouve que le recouvrement interbande

important serait plutôt entre les feuillets arrondis sur l'axe

rH

de la figure 1. Toutefois le détail de l'intéraction interbande nous importe peu puisque nous utilisons un modèle à recouvrement maximum.

La mesure de la réflectivité optique par Barker, Halperin et Rice [ 13 ] confirme la présence d'une bande

d'énergie défendue pour le chrome métallique. La lumière est absorbée par le solide lorsque l'énergie de l'onde

incidente est suffisante pour exciter les électrons de l'état de base vers les niveaux électroniques excités. L'absorption optique[ 13 ] du chrome métallique pour T < T

N possède

14 -1

un maximum local (

w

z 10 sec ) correspondant à l'excitation d'électrons contribuant à la condensation antiferromagnétique et possédant une bande d'énergie défendue dans leurs specteurs d'excitations uniparticulaires •. Ce résultat confirme le

modèle magnétique pour le chrome métallique se basant sur la for-mation de paires liées électron-trou.

Nous désirons étudier les modes d'excitations dynamiques à très basses températures. Le chrome métallique subit une seconde transition de phase [ 5 à la température TSF ( TSF = 123 K ). Pour TSF < T < T_N, la polarisation de la magnétisation est transverse[ 5 par rapport au vecteur d'onde

Q.

Pour T < TSF' la polarisation tourne de 90 pour devenir longitudinale [ 5 ] avec le nombre d'onde

Q.

Cette transition (T = TSF) s'accompagne d'un changement [ 5 ] de structure cristalline; le réseau est orthorhombique pour

[ 6 TSF < T < T

N et tétragonal pour T < TSF. Les résultats

expérimentaux sur l'effet ude Haas-van Alphen" confirment que

la configuration des spins dans l'état de base est une distribution aléatoire de domaines; chacun possédant un état SDW avec un

Q

Dans le cadre du modèle de Lomer, un état à triple-Q aurait un nombre inférieur d'électrons participant à la condensation pour chaque onde de spin Q. Le système préfère posséder une distribution de domaines et une condensation maximum à l'in~ térieur de chaque domaine. En refroidissant[ 7 ] le système de la phase paramagnétique (T > T

N) à la phase antiferromagnétique

(T < T

N) en présence d'un champ magnétique ( ~ 60 kgauss), nous obtenons une orientation des domaines de façon à repro-duire une phase magnétique unique avec Q dirigé selon un des axes cubiques du cristal et du champ magnétique.

Fedders et Martin 9 ]

utilisant le modèle de Lomer, ont étudiés le problème d'une onde de spin statique à polari-sation transverse (TSDW) valable pour TSF < T < T

N dans le chrome métallique pure. Notre contribution consiste à étudier la phase à polarisation longitudinale (LSDW) valable pour

T < TSF' pour le chrome métallique pure. En plus, notre étude

est la première à inclure l'influence d'un champ magnétique ccnstant et de l'anisotropie magnétique sur la phase (LSDW). L'énergie d'anisotropie magnétique est, par analogie au modèle d'Heisenberg, représentée par un champ magnétique

interne qui possède la même variation spatiale que la modula-tion de spins LSDW. Ce champ, dirigé selon Q augmente la stabilité de l'onde LSDW puisqu'il est toujours orienté dans la direction de la magnétisation. Toutefois ce chanp d'anisotropie

unidirectionnel n'est valable pour le chrome métallique

que pour T« TSF' Pour T < TSF' l'anisotropie doit

posséder la symétrie cristalline tétragonale du chrome de

façon à expliquer la transition CT > TSF) vers une phase

cristalline orthorhombique et une onde à polarisation

trans-verse. Nos calculs sont donc valables uniquement aux basses

températures. Nous ne pouvons pas décrire la transition de

phase CT = TSF)' L'origine du champ d'anisotropie est

complexe. Il est relié à la structure cristalline non-cubique

du chrome pour T < TSF' Toutefois cette structure cristalline

caractéristique provoque et est due à la fois à la présence d'une polarisation longitudinate de l'onde de spin statique.

Un calcul autocohérent serait requis. Nous nous limitons à considérer l'anisotropie comme un paramètre susceptible de

détermination expérimentale.

Notre but principal est de calculer la relation

de dispersion des ondes de spin dynamique Cmagnon) en présence

d'une onde de spin statique à polarisation longitudinale

CtSDW). Nous imposons le champ magnétique constant dans la

direction du nombre d'onde ~. Pour l'onde LSDW, la polarisation des spins est dans la direction du nombre d'onde~. L'onde de spin dynamique correspond aux modes normaux d'excitations à basses fréquences et se traduit par une modulation périodique des

déviations transverses des spins formant l'onde statique. La

d'un sustème est définie par l'équation

M(i,lO)

=

:;r{i'W)

h(~,w)

h(q,~) représente une sonde de nombre d'onde q et de fré-quence ~ produisant une magnétisation ~ (q,uJ). Pour exciter les modes normaux du type magnon, nous imposons un champ transverse à polarisation circulaire. Supposons que la susceptibilité, correspondant à ce champ, possède un pôle du premier ordre à LV

q . Près du pôle, la susceptibilité prend la forme:

1

w-

wb

Utilisant le théorème de Cauchy[ 18 ], l'expression ci-haut devient :

où P représente la partie principale. Pour

w

=

w ,

nous q

obtenons que la partie imaginaire de la susceptibilité

dynamique est infinie. La partie imaginaire de la susceptibi-lité décrit un transfert d'énergie de la sonde au système. Pour w

=

w ,l'énergie de la sonde passe au système, excitant

q

ces modes normaux. En d'autres mots, nous avons choisi le nombre d'onde ~ et la fréquence

w

de la sonde h(q,w) égales au nombre d'onde et la fréquence des magnons. Pour calculer la relation des ondes de spin dynamiques, i l suffit donc de trouver le pôle de la susceptibilité dynamique. Nous utilisons la

méthode des fonctions de Green, utilisée par Baym et Kadanoff[20], pour calculer la susceptibilité dynamique. Nous obtenons, ainsi la relation de dispersion des ondes de spin dynamiques pour la limite macroscopique (~ petit) et près du nombre d'onde

Q

de l'onde de spin statique (LSDW).

Nous proposons deux méthodes indirectes de vérifier l'exactitude des hypothèses incluses pour obtenir la relation de dispersion des ondes de spin. Nous calculons l'intéraction phonon-magnon et les modes couplés onde A1fven-magnon. Pour un système magnétique c1assique[ 22 ], l'intégrale d'échange J .. = J

(IR. - R.I)

dépend de la distance atomique

IR. - R.I.

~J -~ -J -~ -J

Les phonons correspondant à une oscillation périodique de la distance interatome, la constante d'échange J .. est modulée

~J

par la présence des phonons. La relation de dispersion des phonons étant une fonction de la transformée de Fourier de J .. ,

~J

les magnons et les phonons sont reliés entre eux pour les substances magnétiques classiques. L'importance de cette

intéraction est démontrée par la possibilité d'exciter une onde sonore[ 23 ] à partir uniquement d'une sonde radio-fréquence électromagnétique. L'onde électromagnétique excite les magnons qui à cause du couplage magnon-phonon produit une onde sonore. Pour le modèle itinérant, en l'absence de moments magnétiques localisés, la structure magnétique particulière provient d'un effet de condensation impliquant le gaz d'électrons de conduc-tion. L'onde de spin statique (SDW) est le résultat de la

for-magnons sont des variations harmoniques de densitê de spin

qui correspondent à un dêplacement transverse de la polarisation de spin de londe" de spin statique (LSDW) à polarisation longi-tudinale. L'amplitude des dêplacements transverses dans la direction du vecteur ~, en un instant donnê, reproduit une variation spatiale harmonique. En chaque point, le magnon·

correspond au renversement partiel du spin parfaitement orientê dans l'êtat de base LSDW. Dans un solide, les phonons modi-fient les potentiels atomiques qui dêterminent la structure de bandes des êlectrons de conduction. Les phonons et les êlectrons sont ainsi liês par l'intermêdiaire de l'intêraction êlectron-phonon. Ce mêcanisme peut être interprêtê par le diagramme de collision de la figure 14. Un êlectron de momentum k et de spin a(~l subit une collision avec le rêseau; l'êlectron rêapparait dans l'êtat ~ - ~ a(~) en créant un phonon (~)

de momentum~. Si nous ajoutons le couplage spin-orbite, nous

obtenons également des collisions où le spin de l'électron est renversê en êmettant le phonon (voir figure 14). Le magnon correspondant à un renversement des spins, les phonons du système les font apparaître par l'intermêdiaire des collisions électron-phonon qui provoquent un renversement du spin.

L'intéraction magnon-phonon fût calculêe pour un métal ferro-[ 24 ]

magnétique itinérant par Rajagopal et Joshi . Notre contribution réside dans l'obtention des modes couplês

magnon-phonon pour un modèle antiferromagnétique. Nous calculons l'intéraction en supposant que le système anti-ferromagnétique itinérant est perturbé par un champ du type phonon par l'intermédiaire de l'intéraction é1ectron-phonon. Pour le modèle itinérant, l'intéraction est plus faible que pour le modèle d'Heisenberg puisque le premier fait intervenir les termes spin-orbite.

Une autre méthode d'observer indirectement les magnons est d'utiliser les modes magnéto-plasmas. La propaga-tion des modes magnétop1asmas dépend des propriétés diélectriques et magnétiques de la matière. Pour un modèle d'Heisenberg, les modes couplés hélicons et magnons ferromagnétiques ont été

b ' , . 1 [ 25] L' d'·~ 1 1'[ 26

o serves exper~menta ement . auteur a eJa ca cu e l'intéraction onde A1fven-magnon pour un modèle d'Heisenberg antiferromagnétique. La contribution présente est l'élaboration des modes couplés utilisant un modèle itinérant. Les magnons définissant les pôles de la susceptibilité dynamique, les propriétés magnétiques sont modifiées de façon importante près de la résonnance magnon. Nous proposons une expérience de rés on-nance géométrique par transmission d'une onde électromagnétique sous forme d'onde A1fven dans le solide. La modulation des maxima de trasmission est modifiée pour une largeur observable (1 kgauss) dans la région de la résonnance magnon.

Nos résultats sont obtenus dans le cadre du modèle de Fedders-Martin qui suppose un recouvrement complet des deux

rapport à cet aspect de la théorie serait d'utiliser un modèle de structure de bandes plus réaliste. Nos calculs des excitations dynamiques sont effectués dans le cadre de l'approximation RPA. Nous pourrions tenir compte des termes supérieurs du genre intéraction magnon-magnon comme exemple. Nous avons représenté l'anisotropie magnétique par un champ unidirectionnel pour les basses températures. Pour décrire le chrome métallique dans la région T Z TF' nous devrions utiliser une anisotropie beaucoup plus complexe possédant la structure cristalline.

L'HAMILTONIEN DE SYSTEME

Les propriétés physiques de la plupart des systèmes antifer-romagnétiques proviennent d'une intéraction d'échange du type "Heisenberg"

tr d t

~t·

1 1·

~

Cette

;nte~ract;on

[ 1 ] est en e es momen s magne ~ques oca ~ses. ~ ~

soit: directe comme le cas des isolants; ou indirecte et transmise par l'intermédiaire des électrons de conduction comme dans le cas des terres rares. Le signe de l'intégrale d'échange favorise une orientation oppo-sée des spins voisins dans le réseau cristallin. Cette interprétation physique conserve sa validité pourvu que les états électroniques soient suffisamment localisés et possèdent un caractère atomique dominant. Les électrons "d" des métaux de transition ne remplissent pas ces

condi-tions. Les états électroniques "dll possèdent un caractère métallique dominant et contribuent à la conductivité de charges. En l'absence de moments localisés, la polarisation magnétique de ces systèmes provient des électrons de conduction. Le chrome métallique, étant un métal de transition antiferromagnétique, ses diverses propriétés physiques étu-diées dans l'introduction serviront de guides à l'élaboration de la théorie de l'antiferromagnétisme itinérant.

Deux interprétations physiques différentes servent à clarifier la question de l'antiferromagnétisme itinérant. L'interprétation

Cette onde de spin, comportant une modulation périodique de la densité de la magnétisation, reproduit une structure antiferromagnétique. L'ins-tabilité se manifeste lorsque l'on couple ensemble les états électroniques ( k

+)

et (k + Qt) en tenant compte du potentiel de Coulomb à longue portée. Toutefois pour un métal de transition, l'effet d'écran des

électrons de conduction sur la portée du potentiel coulombien doit être inclus. L'instabilité obtenue, utilisant un gaz d'électrons dans l'ap-proximation H. - F., disparait pour un potentiel à portée limitée. Tou-tefois, selon Overhauser [ 27

J,

l'inclusion de l'effet d'écran représen-te incorrecreprésen-tement l'intéraction électron-électron dans l'étude de l'ins-tabilité conduisant à la formation de l'onde SDW. Un calcul plus direct des énergies de corrélation est requis dans l'élaboration des conditions de stabilité de l'état paramagnétique. Une réponse définitive est impossible dûe à l'immense complexité du calcul des énergies de corrélation.

[ 8 J

La seconde interprétation, due à Lomer , provient d'une étude de la structure de bandes électroniques du chrome dans sa phase paramagnétique. Nous optons pour cette explication à cause de son lien direct avec les propriétés physiques et son formalisme mathématique simple. Lomer fut le premier à supposer que l'instabilité, conduisant à la formation d'un état SDW, provient d'un effet d'autostabilisation entre les électrons de conduction. En général les énergies de corréla-tion favorisent un état non-magnétique; sauf si les états électroniques couplés sont dégénérés et séparés par un nombre d'onde Q. Par analogie

à la zone de Brillouin, l'énergie uniparticulaire obtenue possède une bande d'énergie interdite. Si au surplus ces états sont près de la surface de Fermi, l'énergie de l'état fondamental est réduite, favo-risant ainsi une distribution périodique de la magnétisation. Dans le

[ 8 ] cas du chrome métallique, les feuillets de surface de Fermi cen-trés autour du point

r

et H de l'espace réciproque satisfont aux deux conditions énoncées plus haut. La surface

r (

électron ), déplacée du nombre d'onde

Q,

recouvre une partie importante de la surface H

( trou ), tel qu'indiqué à la figure 1. Nous supposons que l'insta-bilité provient de l'intéraction interbande entre ces deux types de porteurs.

Le calcul de matrice collision ( électron-trou ) de Fedders

Ma . [9 ] f · 1 · · ·f·~ d d . ~

et rt1n ourn1t une exp 1cat1on un1 1ee es eux 1nterpreta-tions précédentes. Un pôle de cette matrice indique la présence d'une instabilité. Cette méthode démontre que l'instabilité ne provient pas nécessairement de la longue portée de potentiel coulombien, ainsi que

O h [ 6 ] . Il - ~ ~ 1 soutenu par ver auser , ma1S e e peut etre causee ega ement par des transitions interbandes entre des états dégénérés et séparés par le nombre d'onde Q. Ce modèle requiert donc la présence d'au moins deux bandes d'énergie liées par une intéraction interbande suffisamment forte.

Le modèle mathématique utilisé suppose un métal à deux bandes ( a, b ), placé dans un champ magnétique extérieur h constant.

L'hanil-o

tonien d'intéraction comprend l'intéraction interbande l et l'intéraction intrabande

u,

choisie identique pour les deux bandes. L'intéraction

sentation des états stationnaires d'un électron du cristal dans un champ magnétique est un problème complexe. L'hamiltonien n'est plus invariant sous l'opération de translation finie; à cause de la contribution, sous forme d'un potentiel vectoriel, du champ magnétique extérieur. La so-lution complète du problème requiert l'introduction des groupes de symé-trie magnétiques [ 28 J. Toutefois, une représentation adéquate des états stationnaires, en fonction des états définis en l'absence du champ magné-tique h , existe.

-0 C

' h d d'" L · [ 29 J

ette met 0 e est ue a utt~nger • L'hamil-tonien uniparticulaire des électrons du cristal, en présence du champ magnétique h , est:

-0

( 1 )

A

représente le potentiel vectoriel dûe au champ

Èo

et V(~) le potentiel cristallin. La fonction d'onde du problème est solution de:

lb

(~)

'v

L'hamiltonien non-perturbé (h = 0) du système s'écrit: -0

+

V (Il)

( 2 )

Les états de Bloch normalisés, pour la bande i, sont donnés par:

( 4 )

La fonction d'onde ~.(x), écrite sous forme d'une somme d'états de

~V'-Wannier devient:

~. C~)=

_tV

L

₁

( 5 )

N est le nombre total d'électrons,

!t les vecteurs position du réseau

cristallin et e la charge de l'électron. Les fonctions ~ _v~ .(Rn ) sont

-JI,

normalisées dans une boite de volume unité. Le facteur de phase G

t

s'écrit en fonction d'un intégral sur la ligne droite reliant !~ à r:

A l

~)

•

d

~

-

-Les états de Wannier, définis en l'absence du champ magnétique h ,

s'écri-- 0

vent en fonction des fonctions de Bloch non perturbés:

( 6 )

La représentation ( 5 ) est possible; les fonctions de Wannier formant un ensemble complet de fonctions. Toutefois, nous devons supposer que

sont séparées par le nombre d'onde

Q

dans l'espace réciproque. Le facteur de phase G

1 annule la contribution à l'hamiltonien ( 1 ) pro-venant de la dérivée par rapport à l'espace

! .

E.

Utilisant la pro-priété de localisation des fonctions de Wannier a.(r - Rn) autour du

l. - N

point E = R1' les facteurs ~i (~) sont solutions de l'équation:

~.[

01. -

~ /1 (Re)~

P

({(n):

(..~

2.

'1

.rR.e)

(7 )

,+-

C. - -

'J

y i -~ ~t v'

Ei [Pi - ~!(Rt)J s'obtient de l'énergie de bande ( 4 ) en substi-c

tuant pour E la quantité E - e A. c

Nous adoptons un modèle du type "Fedders-Martin" pour repré-senter la structure de bandes. Les deux parties de surface de Fermi

(a, b) sont choisis sphériques et de même diamètre. Le vecteur d'onde Q devient commensurable par rapport à l'espace réciproque. Les bandes d'énergie a et b sont traitées dans l'approximation de la masse efficace. Les énergies uniparticulaires sont:

i Enk

z

est l'énergie de Landau pour la bande i, g*. l.

( 8 )

est le facteur gyro-magnétique efficace, u

B le magnéton de Bohr. Considérant!t comme une variable continue, les fon~tions d'onde, solution de l'équation ( 7 ), deviennent:

( 9 )

~(i) (x) ::, nk '

y

la fonction d'onde normalisée de l'oscillateur harmonique "hk

est centrée autour du point x

o = m.Y(w). Dans le chrome métallique

1. c

l'utilisation de masses efficaces pour les bandes a et b est justifiée pour les états situés près de la surface de Fermi. Cette approximation n'est plus valable pour les états ( trou) où la courbure de la bande change. Toutefois, nous verrons au chapitre IIIqu'uniquement les états près de la surface de Fermi contribuent de façon importante.

L'opérateur de champ W+(~) qui ajoute une particule au point ~, en fonction des états stationnaires ( 5 ), s'écrit:

( 10 )

+

C via' l'opérateur "création", ajoute une particule à l'état v(v

=

nk k ) Y z défini par l'énergie ( 8 ), dans la bande i et avec un spin o. L'opérateur adjoint C

viO de'ijestructiorl'retranche une particule du même état. L'hamiltonien libre, représentant l'énergie de bande, est pour le sys-tème d'électrons:

r;J

-t-'1JI" .

Ll

a- C~) " z

v~

-( 12 )

Nous posons GR,(~)

=

0 lorsque le facteur de phase multiplie la fonc-tion de Wannier ai(~ - RR,). La fonction ai(~ - !R,) étant localisée; la phase dûe au champ est négligeable pour l'étendue de a.(x - Ro).

~ - N Utilisant l'orthogonalité des fonctions de Wannier:

nous obtenons:

1P

-

F t

cil

0 =

_1

L

'1.}f .

(Q,)

E.:! .{ 2,) C.

C .

(13) N v, L , v ... l V,la- v~ l a-i" .R, V'V1.~

Considérant

!R,

comme une variable continue, la sommation sur

!R,

se trans-forme en une intégrale sur le cristal. Utilisant l'expression ( 8 ) pour représenter les énergies uniparticu1aires, l'hamiltonien de l'énergie de bande devient:

(V(J

(i)

€

L'hamiltonien d'intéraction électron-électron, dans une représentation de seconde quantisation, s'écrit:

L'expression ( 15 ) tient compte de la propriété d'invariance du poten-tie1 V(~ - ~ par rapport au spin. Utilisant ( 10 ), l'hamiltonien d'intéraction devient:

( 16 )

v(q) est la transformée de Fourier de V(x - y):

( 17 )

L'utilisation de l'approximation de la masse efficace exclut la contri-bution des termes "umklapp" à l'hamiltonien ( 16). L'effet direct

efficace différente de la masse libre de l'électron. Utilisant la représentation ( 5 ) et la localisation des fonctions de Wannier a.(r - Rn), l'hamiltonien ( 16 ) s'écrit:

~ -;v

~·t-

Wl

-Le vecteur k représente les deux composantes (k , k). L'élément de

~ y z

matrice (il kl 1 i2 k2) est:

( 19 )

où _{u. '.,} f?2.. (x)

représente la partie périodique de la fonction d'onde de Bloch, définie par la solution de l'équation ( 4 ) en l'absence du champ magnétique extérieur. L'hamiltonien ( 18 ) se simplifie lorsque les éléments (il kl

i

i 2 k2) sont remplacés par leur moyenne Yili2 sur l'espace - k. Nous supposons également que le coefficient de Fourier V(q) est remplacé par une constante indépendante de k. L'utilisation de paramètres

cons-tants ne change pas le processus de collision. Les caractéristiques générales du système demeurent les mêmes sauf que la valeur du poten-tiel d'intéraction est changée. Cette approximation simplifie beau-coup les équations. L'hamiltonien ( 18 ) simplifié devient:

( 20 )

est une moyenne sur l'espace ~ et

~.

h

C:r)

~,:

h (z) (21)

',; K3:f. If

I('t'J

La dernière contribution à l'hamiltonien provient de l'ani-sotropie magnétique. Ainsi que mentionné lors de l'introduction, l'état de base du système étudié est une onde de spin à polarisation longitu-dinale. L'incommensurabilité du nombre d'onde

Q

par rapport aux

vec-base du système existe sous forme d'une distribution aléatoire de domaines contenant chacun une onde de spin dans une direction cubique donnée. Le système préfère cette distribution par opposition à un état avec trois vecteurs

Q

dirigés selon les axes cubiques. L'effet de refroidissement donne un système avec une phase unique. Le réseau cristallin devient alors tétragonale, l'axe le plus long dirigé selon le vecteur

Q.

Toutefois le modèle de Fedders-Martin requiert la pré-sence d'une phase commensurable,

Q

= !/2. Nous incluons un aspect de l'effet de l'incommensurabilité, sur la stabilité de l'onde LSDW à phase unique, en supposant l'existence d'un champ interne d'ani-sotropie. Ce champ devrait reproduire la symétrie tétragonale du ré-seau cristallin. Toutefois, nous choisissons un champ d'anisotropie unidirectionnel, dirigé selon Q, possédant la symétrie axiale. Le champ d'anisotropie magnétique devient:

~Q·~L ( 22 )

- J2:J

Supposant qu'uniquement les deux bandes a et b sont liées par ce champ, nous obtenons la contribution à l'hamiltonien:

Cet hamiltonien représente une approximation première du comportement de l'anisotropie dans un antiferromagnétique itinérant. Un calcul plus général devrait inclure le couplage spin-orbite dans une phase incommensurable.

L'état de base du système étudié CT < TSF) possède une onde de spin statique à polarisation longitudinale dans un champ magnétique constant h. L'effet àe refroidissement garantit la présence d'un

--0

système possédant une phase magnétique unique. Le champ magnétique h est imposé dans la direction du vecteur d'onde

R

de l'onde statique --0

LSDW. La structure antiferromagnétique de l'état de base résulte de l'intéraction interbande entre les électrons de conduction. La pola-risation magnétique est reliée à la valeur non-nulle de la moyenne sta-tistique de la densité électronique provenant des termes interbandes. Nous utilisons le modèle, décrit au chapitre II, pour représenter les deux bandes couplées du métal antiferromagnétique. Les masses effica-ces des deux bandes Ca) et Cb) sont choisies de même valeur m*. Le tenseur de masse est diagonal pour un tel choix de structure de bandes. L'état de base du métal antiferromagnétique est déterminé dans l'appro-ximation Hartree-Fock autocohérente, n'incluant que les intéractions interbandes. Les termes, dans l'approximation Hartree-Fock, provenant de l'intéraction électron-électron intrabande sont inclus dans la défi-nition des énergies de bande du métal. La boucle d'autocohérence con-siste à supposer qu'une fonction est non-nulle au départ et à recal-culer cette fonction à l'aide des équations ainsi obtenues pour l'état

de base. Cette méthode est analogue au calcul de Gorkov [ 30 ] pour un supraconducteur. La supraconductivité provient de la dégénéres-cence des états par rapport à l'inversion du temps. Une dégénéres-cence accidentelle, provenant de la structure de bandes, provoque l'apparition de l'antiferromagnétisme itinérant. Dans le cas du chrome métallique ( figure 1 ), les deux feuillets de surface de

Fermi ( H,

r ),

lorsque déplacés du nombre d'onde

Q,

ne possèdent qu'un recouvrement partiel. Le modèle de Fedders-Martin qui remplace ces feuillets par des surfaces sphériques de même diamètre surestime la dégénérescence par recouvrement de bandes. Un modèle plus exact d evra~t ut~ ~ser . '1 . une representat~on , . mat h" emat~que d es an es b d [31 ] plus près de réalité et tenant compte de la séparation incommensura-ble des deux feuillets. Toutefois, notre but étant l'étude des modes normaux d'excitations en présence d'un champ magnétique constant et de l'anisotropie magnétique, nous nous limitons au modèle de Fedders-Martin.

Au surplus, afin de déterminer l'état de base, nous supposons que les paires liées se forment uniquement entre les états séparés par le vecteur d'onde

Q.

L'hamiltonien du système, de ( 14 ), ( 20 ), et ( 23 ), devient:

( 24 )

La propriété d'autocohérence nous guide dans le choix 4 = Q pour les termes interbandes; afin de reproduire une polarisation magnétique avec le vecteur d'onde~. l dénote l'intéraction interbande; U l'inté-raction intrabande, choisie identique pour les deux bandes a et b.

Dans le cadre de l'approximation Hartree-Fock statique, la moyenne statistique ne dépend que des énergies uniparticulaires ( 8 ). Ces énergies, n'état fonction que des nombres quantiques nk , les

fonc-z

tions de Green pour l'état de base sont indépendants du nombre quantique k. De la définition ( 21 ), passant d'une somme k à une intégrale

y y

sur k , nous obtenons: y

Les fonctions d'onde ~ k (x) sont réelles et indépendantes de l'indice n y

de bandes pour un modèle de Fedders-Martin à masse efficace unique. Utilisant ( 9 ), l'équation ( 26 ) s'écrit:

( 27 )

D représente le facteur de dégénérescence des fonctions de Landau par rapport au nombre quantique k :

y

( 28 )

L'hamiltonien ( 24 ), utilisé pour déterminer l'état de base dans l'appro-ximation Hartree-Fock, devient:

-1- V Ca.) + 11 (h) ( 29 )

U(i) correspond au terme intrabande ( i ) similaire au terme interbande de ( 29 ).

Les fonctions de Green à une particule, pour des paires intra-bandes et interintra-bandes sont:

( 31 )

Les fonctions de Green pour la bande b s'obtiennent en ajoutant Q à la variable k. Tous les opérateurs s'écrivent dans une

représen-z

tation d'Heisenberg pour l'hamiltonien H:

( 32 )

Le calcul est généralisé pour des températures non-nulles, utilisant

~ [ 32 ]

la methode de Matsubara avec des temps imaginaires T. L'o-pérateur adjoint A(T) représente:

La moyenne statistique < > est effectuée sur l'ensemble macro canonique défini par l'opérateur densité p:

La description de l'état de base s'obtient en calculant, à l'aide des équations du mouvement, les diverses composantes de la fonction de Green à une particule. Cette équation s'écrit:

( 34 )

Les contributions interbandes à la densité électronique dé ter-minent et caractérisent la modulation magnétique, de nombre d'onde Q,

de l'état de base. Ce résultat découle directement de l'hypothèse admise concernant le recouvrement des deux bandes, à la suite du dé-placement de l'une d'entre elles par le nombre d'onde Q. L'état de base possédant une onde de spin statique polarisée longitudinalement, sa des-cription requiert une valeur non-nulle pour la moyenne statistique d'une paire d'électrons de même spin. L'intéraction interbande, importante pour caractériser l'état de base, forme des pairs liées dans l'état singulet pour l'électron (a) et le trou (b). Une modulation de la den-sité des spins < Sz > apparait, donnant naissance à une polarisation longitudinale. De l'hamiltonien ( 29 ), nous retenons uniquement les termes interbandes de même spin. Cette hypothèse s'inscrit dans le cadre de la boucle d'autocohérence. Nous choisissons les termes d'inté-raction qui font intervenir la fonction caractérisant l'état de base à décrire. Les termes interbandes (Vl = V2) de l'hamiltonien ( 29 ) s'écrivent:

( 35 )

La sommation (2) sépare les contributions correspondant à un état de base contenant une onde de densité de spins (-) et une onde de densité de charges (+).

La fonction de Green à une particule, obtenue de l'équation ( 36 ), est liée à la fonction de Green à deux particules. Cette dernière est décomposée, utilisant l'approximation Hartree-Fock autocohérent, en un produit de deux fonctions de Green à une particule. La décom-position est autocohérente, nous retenons les fonctions de Green inter-bandes qui caractérisent l'état LSDW. L'équation du mouvement de la fonction de Green devient:

(

- -

J

_'Or

- E

_1I1~<r" (Il) )

o (la.)

)j

(-C) ~R~O-9--! 0 (Cl a)

/J

1. C't') h1~cr-( 37 ) Les termes intrabandes

~ ~

U

oibb)

T J....

L

./c.J

(

0)

11112.

k

"':. kl.?r

~,

sont inclus dans la définition de

~~"7 ~~

0', P'"

l'énergie de bande E(a) nk

zO"

Le paramètre d'ordre, provenant des valeurs non-nulles des contributions interbandes dans l'état de base, s'écrit:

densité de charges. Une valeur non-nulle de ~ +

(a, a)

provoque la présence d'une onde de densité de charges dans l'état de base. Cette caractéristique n'existe pas dans le chrome métallique et nous choi-sissons ~ +

(a, -a)

identiquement nul. ~

(a, -a)

décrit une densité de spins et devient le paramètre caractéristique déterminant l'état de base à étudier. L'équation ( 37 ) s'écrit:

1

0 (ba)

J

(1::)

,"k~

0-( 39 ) .

La fonction de Green à une particule possède la condition de f ront~eres -,

L

17 ]

( 40 )

La fonction de Green ( 40 ) possède une série de Fourier pour la varia-ble discontinue iWm:

où

( 43 )

Utilisant la transformation ( 41 ), l'équation ( 39 ) devient:

( 44 ) L'équation matricielle, déterminant les composantes de la fonction de Green à une particule s'écrit:

- À _x ( r _,

-(7)

=IT

( 45 )

Le paramètre d'ordre ~ (cr, -cr) signifie:

J

b)

j

0(00)

)j

o(hb) ( 47 ) nous obtenons de ( 45 ):

~·tO [Ci

)('cv

c- b ) [ ; ( mt- ""~CT

le

I\'YI-C"'~+Q(]" - LJK(cr-;-u-)

"*

( 48 )

~

(a, -a)

et !::. K

(a, -a)

apparaissent tous les deux dans le résultat ( 48). La phase de !::.~

(a, -a)

ne contribue pas à modifier la polarisation magnétique de l'état de base, puisque nous avons forcé la polarisation dans la direction z. Dans le cas d'une onde à polari-sation transverse, tel que traitée par Fedders-Martin [ 9 J, la phase du paramètre d'ordre détermine la direction de la polarisation dans le plan perpendiculaire à la direction de l'onde statique. Pour ces rai-sons, nous choisissons le paramètre d'ordre ~

(a, a)

réel. Dans le cadre du modèle de Fedders-Martin, les deux bandes a et b prennent la forme indiquée à la figure 2. Mesurant l'énergie par rapport à la sur-face de Fermi, nous obtenons:

( 49 )

Z(o) représente la séparation de Zeeman:

( 50 ) et Ca)

ik

2

E

_W

₊

r~f)

_-fi

_uJ

e

">1

Rj

-:::.

+:..:L

::l. d. IY'I\.

"*

(1))

*'k

7-t

_/'t)~+Q

₌

w

-~

- (nJtJ

~

Wc

~

_a

_"'YV\

*

( 51 ) L'équation ( 51 ) possède la symétrie particule-trou:

E

( a.)

/YI

R;;

( 52 )

,..,

La matrice~O k (iw), donnant les niveaux d'excitation uniparticu-)J n z m

Les niveaux d'énergie unipartic~aire.sont:

(/~

(

E~k:>"

r;

:(0",-0-)

54 )

Nous obtenons, tel qu'indiqué à la figure 3, une bande d'énergie inter-dite de largeur 2 ~ (cr, -cr).

Dans l'état de base obtenu, les fonctions de Green à une par-ticule proviennent d'un état lié électron-trou. Ils ont une composan-te au-dessous de la surface de Fermi (-E

nk ) et une composante au-des-z

sus de la surface de Fermi (+Enk ) tel que: z

,.",~

- 2(-:) ...

E~,>-J

( 55 ) L'expression pour

~o(b)nk

(iw) s'obtient de ( 55 ) en permutant

z m u2

nkz et v 2

nkz• Pour notre modèle, le niveau de Fermi est inchangé par la condensation antiferromagnétique. Les états correspondants des deux côtés de la surface de Fermi en sont éloignés par la même quantité.

La bouche d'autocohérence se referme en calculant ~ (cr, -cr) à l'aide du résultat ( 55 ):

1\- ) -J..

ULCT,-<î ::

~

( 56 ) Pour la température T ~ 0, nous obtenons:

( 57 ) f(E) est la distribution de Fermi. Le paramètre d'ordre ~ (cr, -cr)

( 58 ) Le résultat ( 58 ) requiert l'approximation 1 z(cr) 1 < ~. Cette hypothèse ne limite pas la théorie, puisque pour les champs magnéti-ques accescib1es expérimentalement, elle est toujours satisfaite. L'équation du paramètre, sous ces conditions, s'écrit:

à n

où

~-('V,

-rr) :::

111<

(a: -

0--)

( 59 )

La sommation n sur les niveaux de Landau s'étend de n

=

0 W

= N (N = 2W). Cette partie de l'équation ( 59 ) s'écrit: c

J

/

( 60 )

Pour N grand, la fonction de a définie par l'équation ( 60 ) est approximativement périodique, de périodicité ~a = 1. Dans le

cas du chrome métallique N est de l'ordre de 104 niveaux. La formule de Poissons [ 18 ] transforme une somme sur les niveaux de Landau en une somme infinie sur les transformés de Fourier de la fonction. Pour la fonction périodique F(x):

nous obtenons:

4~ ~

i=

(l:)

~

0;Y(

ai[ i

P

{)l

~.l ,4(-'iïi~t ~ ~

(1: "", ...

)b]

( 62 ) L'équation ( 60 ) s'écrit:

--V'f.

V ( -

;;l

IT

-f> 'è )

cl

1::.

[B

L -f (1:' 1"

»f.f-i}J

'Il

clJ ~

+~IN(o)[(-l) K(tiT~D.r.)

o k> ..

i::{

~

l

!JI2.

rUI "UO)[(-I) P..

Bo

(aif.e~J [C~1I1WS(!-..tW)

_

~

"iW

Ci

fJ-w'i-JÎ

Jl

J=I

(1:V~)1/~

Wc.

~ w~

vve.

\~ ~)

( 63 )

N(O) est la densité d'états à la surface de Fermi. Les fonctions entrant dans l'expression ( 64 ), sont K (x), une fonction de Bessel modifiée,

o S(x) et CCx), les fonctions de Fresne1s.

représente la différence d'une fonction de Bessel modifiée l (x) et o

d'une fonction de Struve modifiée L ~ (x). Ces fonctions sont défi-nies à la référence L 35 J. Ces formes fonctionnelles connues sont

• • wB

obtenues ayant cho~s~ --- + ~. Cette approximation est réaliste;

Wc

le chrome métallique possédant un grand nombre de niveaux de Landau

Wc

Wc

sous la surface de Fermi. Pour --- « 1 et --- « 1; les fonctions,

~ wB

( 65 )

CCx)

_'la

S

<.1:)

-Utilisant ( 65 ), le paramètre d'ordre s'écrit:

( 66 ) Les deux derniers termes, contribuant à l'expression ( 66 ), représen-tent les composantes diamagnétiques du paramètre d'ordre ~. Ces termes oscillent en fonction de l'intensité

tique avec une périoàe:

= .:(W.

W

! h '

1 0 1 du champ

magné-( 67 )

Pour un champ magnétique intense et un système antiferromagnétique à largeur de bande mince, ces oscillations seront observables. Toutefois, pour le chrome métallique, les paramètres mesurés sont 2 ~ ~ 1 ev et W ~ 5 ev. L'amplitude relative des oscillations étant de l'ordre de 10-3_{, elles seront difficilement observables.}

Omettant les oscillations diamagnétiques, l'équation du para-mètre d'ordre devient:

où l N(O)

k

w

dt(

-1

(L

N(O))

₌

( 68 )

~ le paramètre d'ordre pour un système sans anisotropie. L'équation o

( 68 ) s'écrit:

Si 2 K « ~,nous obtenons: o

( 70 )

Le résultat ( 70 ) représente l'augmentation du paramètre d'ordre pour un système possédant un champ d'anisotropie longitudinal par rapport à un système invariant par rotation.. Le chrome métallique, pour

T > TSF' possède une onde de spin à polarisation transverse. La

détermination de la température de transition TSF requiert le cal-cul de l'énergie libre F pour les deux phases. Nous devons inclure l'anisotropie magnétique correspondant à la symétrie cristalline du réseau pour les deux phases. Le calcul de l'anisotropie requiert une solution auto cohérente puisque la polarisation spécifique de l'onde de spin provoque et provient de l'apparition des structures cristallines non-cubiques. Notre modèle ne permet pas le calcul de la tempérautre de transition de phase TSF. Toutefois pour les très basses températures, la description utilisant un champ d'anisotropie unidirectionnel cons-titue une approximation valable.

En dernier lieu, nous vérifions que l'état de base obtenu, avec une solution autocohérente, possède une onde de spin à polarisa-tion longitudinale. Nous devons également vérifier l'absence d'une modulation de la densité de charges. La densité de spin a(~) s'écrit:

+

+

C

(V,

iT

C.

) V_z ( 72 )

Les opérateurs s'écrivent dans une représentation spineur pour les états électroniques. La composante de nombre d'onde 4 de la densité de spin s'écrit:

( 73 )

Utilisant la représentation ( 5 ) et omettant le recouvrement des fonc-tions de Wannier sur les centres atomiques voisins, nous obtenons:

( 74 )

Qij

nln2 (~) est l'intégrale de recouvrement des fonctions de Landau pour les deux bandes:

L'équation ( 76 ) est indépendante de k •• Y

L'onde de spin statique possède un nombre d'onde Q dirigé selon l'axe!, la direction du champ magnétique extérieur. Nous calculons:

( 77 )

Au chapitre VI, nous obtenons la propriété suivante pour le facteur de forme:

( 78 )

La moyenne statistique de la densité de spin suivant l'axe de quanti-sation devient dans l'état de base antiferromagnétique:

( 79 )

La contribution est identique pour (±Q); 2 Q étant un vecteur inverse du réseau réciproque. De l'équation ( 53),

<cr

(±Q» s'écrit:

( 80 )

Pour T = 0, nous obtenons:

<cr-(±Qî)",

\

--

( 81 )

La définition ( 56 ) confirme la symétrie suivante:

La densité de spin s'écrit:

<

s

~ (~);

:. -

~ ~

Q.

~

b-

('l.l~)

r

( 83 )

L'équation ( 83 ) démontre que l'état de base défini par ( 53 ) pos-sède une onde de spin à polarisation longitudinale et de nombre d'onde

Q.

Le paramètre d'ordre ( 56 ) ne contient pas de modulation de la densité de charges:

( 84 )

Le formalisme, décrit dans ce chapitre, permet l'inclusion si né ces-saire des deux modulations superposées.

La réponse linéaire du système antiferromagnétique itinérant s'obtient en utilisant les fonctions de Green pour le temps imaginaire

T. La première dérivée, par rapport à la sonde extérieure, de la fonc-tion de Green à une particule donne, lorsque linéarisée, la

suscepti-[36

J

bilité dynamique dans l'approximation R.P.A.

Nous énoncons en premier quelques propriétés concernant les fonctions de Green causales pour les temps réels. La fonction de Green à une particule s'écrit:

o

GQ(S(tit,t;)=

.::0<

T So(C't,t,J

S~(-l,i,»

( 85 )

T est l'opérateur d'ordre du temps de Wick [ 33 J. < > représente la moyenne statistique sur l'ensemble macro canonique défini par la matrice densité:

( 86 )

s'écrivent en fonction d'une représentation d'heisenberg pour l'hamil-tonien H:

Sa(4), l'opérateur de spin dans une représentation de Schrodinger indépendante du temps, s'écrit:

+

c

cr

CL

~, 0( .!,-t~

( 88 )

C

k1, l'opérateur de création. Les fonctions de corrélation, complé-mentaires à ( 85 ), sont:

CI<

=

CR

-1

l'

( 89 )

_1

C

i?

-li

-'

fonc-tJ

Ct)

-OC>

~'P(-(xt)

)C+/~

Nous obtenons une relation entre la fonction causale ( 85 ) et les fonctions de corrélation ( 90 ):

( 91 ) La transformée de Fourier est:

( 92 ) L'hamiltonien H étant indépendant du temps, le système possède l'in-variance par déplacement du temps. En conclusion, les fonctions de Green ne dépendent que de tl - tz. Les fonctions de Green avancées

et retardées sont dans l'ordre:

o #

G

D<'~

(j;

i,)J -::

{&{t~-t;

)<L

s~

(-51

tl.)

1

~ (~/t,~>

( 93 )

oR

G

of/.>

(~j

()L)

~

i

~[t,

-

i:J<[

Sol

(~/,)

) Sf.J{-JI

tl.ll>

( 94 ) Nous obtenons l'équation analogue à ( 91 ), reliant les fonctions

avan-cées et retardées aux fonctions de corrélation:

( 95 )

Utilisant la définition de la moyenne statistique, l'équation ( 90 ) devient:

propres de l'hamiltonien H. n

La transformée de Fourier ( 92 ) s'écrit:

0)

G

0(/0

(t'

w)::

~?

(t3

w)

L

~(-ftf",) Ç(tù~E".-fJ(f1.J 5&.,(~)J",><m) ~(-5)/tt>

~ MIZ.

( 97 ) Par analogie, nous avons

0<

Go(j/

%1 w)

~

t

L

~~(-,B.~~y~(W+EI!-

f,.,)<,n.1

)c/ï)/~><1J1

/

St;{-g)!

IL)

f\11.

( 98 ) De ( 97 ) et ( 98 ), nous obtenons la relation entre les deux fonctions de corrélation:

L'équation ( 91 ) devient, de façon beaucoup plus compacte:

( 100 ) La fonction ( 100 ) est analytique partout dans le plan complexe sauf sur l'axe réel.

Nous définissons les fonctions de Green pour le temps ima-ginaires:

o

) ) . /

~ ~

t,

1:,)

~

<T

50(

(~/c:,)

s:s

(-t,

1",

1)

( 101 )

Les fonctions de corrélations sont définies par analogie avec la défi-nition ( 90 ) pour les temps T. Les opérateurs s'écrivent dans une représentation d'Heisenberg pour les temps imaginaires:

La valeur moyenne < > est définie par l'équation ( 85). La fonction de Green, définie par l'équation ( 101 ), converge uniquement à l'inté-rieur de la bande

-6

< T <

6.

Par définition la fonction de Green

périodiques. Ces conditions de frontières périodiques sont le résul-tat direct de la définition de la moyenne srésul-tatistique pour les temps imaginaires. Utilisant la propriété de permutation cyclique des opé-rateurs apparaissant sous la trace, nous obtenons la condition:

o

)j

(q

o

't'1'l

rY.

(3

D) 1 2.) = ( 102 )

la même condition existe pour le temps T2.

Reproduisant périodiquement la fonction à l'extérieur de la bande -T <

S

< T nous obtenons la série de Fourier:

( 103 ) Le coefficient JjOaS(q, iW

où iw = i~aS-l. L'équation ( 104 ) s'écrit: n

o

•

~

( -4fl

t

<ù",:'c)

)J

:C~, T~;)

h

t

p

(

105 )

Utilisant la condition de frontière ( 102 ), nous obtenons:

( 106 ) Les fréquences caractéristiques de la série de Fourier doivent être paires tel que:

( 107 )

C e resu tat caracter1se es operateurs osons ~ 1 ~. 1 ~ b [ 22 ] • P artant e a d 1 définition ( 104 ) et la condition ( 107 ), nous obtenons la décornpo-sition spectrale: