Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P.

Texte intégral

(1)Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P. Ivan Gentil. To cite this version: Ivan Gentil. Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2001. Français. �tel-00001145�. HAL Id: tel-00001145 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001145 Submitted on 26 Feb 2002. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2)

(3)

(4) !#"%$&'("%) )*% +, -/.02135476 -83 9;:<47=7>@?)3568AB>C1D EGFH489 ABF)I2F1J>K356 L 'MN'( ('M2OQP7+RS

(5) TU+RV'(WX Y Z

(6) N'M+[M'\

(7) HOZ]^ "%$_+[$ '(('<

(8) `Racb >@degfihjQklnmpo qrKsutwv aGxuyzb|{~}~py rK xu{ uX jQ^ , ;w¡ ;¢ £¤¦¥¤¨§ª©« ¬^ ®¯5° ±³²;¢w´¢B ¶µ· ¢B_¸¹¬ºX_¸Q®»®¢w ° w¸B; ±³²;¢¼½^ ½~±²;¢ ¢B¾¢w À¿ÂÁ ¿Ã)¿ q&rKs p{ s { v {ÄÅ³ÆªÇ } {~ÈGÉub!{GÊ@Ë@ËÌÄxu{~Íca v {QÎ s bÐÏ;} r È` rKt Ç^xÌ{ Ñ { t!t yÒ{ s b tªv { twÓ b r@Ô { t!t { s b tºÕ Æàár Èy yÒÖ s { ×nØ Ù ÚÛ Ü yÝÍK{ b tt yÝpÇ Ó a sÌÓ vq a@tBÉRèac|é|yÒé {~b Þ_ßÌa@È³y acp{ ss b ×ªë â_ã ä\åæRØXç Ü yÝÍK{ b t yÝpÇxu{ Ó a@b!y tBèé|é Þ_ï ßÌa@È³r y acps { b ê bpa yz { b!} b!y tÏ. â ^ ì [ æ í î Ü Ý y K Í. { b Ý y p Ç u x { @ a ! b y a@`Ì` bÐs p{ b ð æ[ãâ_çñ Ü yÝÍK{ b t yÝpÇ Ó a sÌvq a@ÉRac|yÒ{~b Ñ yz} á { v ÆyÒb!{ }~|{ b s yÝÍK{ b t yÝpÇ Ó a sÌvq a@ÉRac|yÒ{~b ò a s b!{ óôä\õXö&â Ü Þ_ßÌa@È³y acp{ s b ÷ { a &ø Ñ yÒ} á { v¾ù â_ú_çæ[û â_üuüÌÚæ Ü yÝÍK{ b t yÝpÇ Ó a sÌvq a@ÉRac|yÒ{~b Þ_ßÌa@È³y acp{ b ý Ç~xub|yz} þä\ööØåä ÿ } rKv { r b|Èa v { q&s `,Ç b!yÒ{ s b|{xu{ ò Ï rK ï a@`Ì` r bÐp{ s b

(9)

(10)

(11)

(12)

(13) !" #$%&'

(14) () *,+.-0/21-43#5#5#67*,89;: ) < ;

(15) (,=>$'?@%$

(16) ) A7BC$'$DEEE FAGIHJLK MNPOOQRSKM>TVUWFYXIZ[ ε \ M]_â`cbVdVO%dVK>[_e@fI]RSK^@gINPK [_h_hci_j.

(17)

(18) À. ÷ {w|yÒ{ ut rKs g`Racb!pyz} suv y~b|{ È³{ b|{~È{~b|}~yÒ{ b Ñ yÒ} á { vXð æ[ã â çñx aÍ r yzb a@} }~{ `Ì|Çxu{wÈ³{ xuyÒb!Ô<ry

(19) K{~b^`%{ xRa º} { t a u Ç { t xu{ á t {³{~ºx aÍ r yÒb} r@ut a@}~b|Ç³É%{ a s } rKs `ôxÌ{³|{ È³` t ¦È³{ ÷ b!È{~b t r s t ê të ý r Ôø Ô { }~ {Gs Ç^b|{~} È{|{~|b|{ } yzvÒ{rKs È³b|xu{ {bp@a@}ùá ` {ubÐÞp{ b `Ra@bÐpyÒbp} a suv }~yz{ y b v { â tBì^Ìæ[r ÈGíîGÉub!{{ sut { Ç t xu{~b!ByÒ}Gy uþGt pä\ö&b s ö}~ØpåyÝÍKä { t x xu ay Ít } suyÒbt!t x y rK { ut aÍ@{ } ý Ç xuub!yÒt }wÈr rK v É,{ta s } rKs `v a@tyÒxÌÇx sÌ {ªs ùa@b!gxRa Ìtgv aûtw} r v È³ùb|Ç á { ÌrKt y r@ { v a^b|Ç t|rKsÌvzs t py rK xu{ò } { bÐ a@y ùrKb É ~È{ x a á a t Ï {^ {~nt x a pb!{`Rta@vb!wxua aGt b!Ç ÌxRta@v }py xu{} à{á Èa } b!yz aJb!Ç xRac}~py xu{;}~{~!p{ { { { b|a@yz`Ra aÈ~È{ a a@yÒxu{xu{ yz{ b!b!Ï ×ªâ ã ä\åæ[r Ø½ç ÓÖ s y`Ra@vÒb v sus t{ v { }~ t s b|vzs {pbq t ac||{ pyÝÍK{xu{È r@ý Èa v ù sut }~b|yÝ È a³arKsus t!t yÉ,s {a s } rKrKvzsv ` ø a@ù` b!|Ç acbªacy { b Î!{ a { { b

(20) K{ y_×ªâ Ùâ !U{ Ï&b!y â æ[Ú&íâ ` bxu{ ß¦} a É r ÷b|acpy rKut |b" t asÌ

(21) @t|b|t Çacv É tv { t s t {gb! { È³{ b!} s yÒ{ga t y rKs { a t|b|{ r È³v{ ÈGÉÌb|t { t x s Î s ò bÐÏ s Õ Æ r È³y yzÖ s {¹×nØr@Ù_s ÚÛ¦t Ö s rKy È a t|rKrKs ÍK{ t a@yÒxuÇná { t |b|{ a $p#Rb! { ÷ ` &bQø Ñ xu{ á ùbvªù É È³{ xu{ Γ a b|{ r wóôä\õXö&â ` b a} } {~`Ìpy xÌrK{ Èac {~{ {a yÒ} { â ú_çæ[û~â_üuüuÚæHx aÍ yÒbac} } {~`ÌpÇ5xu{;ùa@b!|yÒ} yz`%{~b%JÈ Î s b!÷ Ï {nb!{ È³s { rKb!} yÒ{ v { t È³s { ÈGÉut b!{ ut x s³t v acÉ r b|ac r v yÒb|t {Q{~g` vzsut `Ra@b!|yÒ} suv y& b|{~È{ v a^ÉRa xu{ (')"*+ , )- .;#RÖ y nrb|{ # x }~{ v r a tÇ~{ rK a

(22) KrKb!Çs a@É { á r t t Ô vzv sÖ ÞyÈ³{ t|s Î!ù{` ùr b b!p{ p {ªxuxÌ{ { ` s y }~t }Èa a@y y p{ ` a bwb|Ö { s {xuv b!Ö { s { t Èa uÈ aÇ

(23) K{ t{/ È³{ a@È³y {~0 Èa a@È³y { 2.

(24)

(25) À2. . Ã Ã. i. . .

(26)

(27) ')&9' (). ÿ ~} b|yÝ{ } rKvÒv a@É r bpac|y rK aÍK{ } ý Ïb|y vù â ÷ æ[ê suÚí â v ' 5* 8: 9 , ) ,, "u!$r # ,% ,&' ,)ø ( , ) '*'+,# ) # + ) #-./,01 ,23/4.' ' , } 5 a 76 Ê@ËKËÌÄ2; _Ä ` =<< Å.> rKvÒv r rK q ÿ }~b|yÝ{ } a@É bpac|y aÍK{~} { b"

(28) @{ y×n â ÷ ÙÑ â !Há {~ ÓZÑ s yÒ} á { vð v æ[ ã 5â_8MçXñ 9 @?A%½Bu r ) # C + !$-2!$D% ) ,?E.'*! ' ) # G+ F C )- !HJI)KL.D! ) #$, a =5`Ì` y ÊcËKËÌÄN; O ` <<P ø <P<$. . .

(29)

(30) ' ) 8Q9 (49 <

(31) 8 SR DC # CD!$-. KT"# U . ' ). C;:a . - ) , ) #WVØì^ä\ö íâ_å XØXõXâ %ä , ) ' KTD! ) #$,)Y. ÿ ~} b|C yÝ Ó { } rKvÒv a@É r bpac|y rK êaÍKvÒr{~} ý Ç }~y v {[ZGå\ q ý Ç~ÉRa v[t |ù yÒ{ ×ªöØ½õ=]_^[Úæ ÆZr Î|a v y vë ]Ø ü~Ø=` Òy { b!b|{ba_â_çcd^[Úæ,î b!{ ¹ó2Øö&Úä\æ[ç Ïb|y â Ó%æ,uÚríâJ{~fe^t b|{

(32) q b! Ï3á g,õ=t ]æ[ü üuq æ[Ñ Ú 4 ê @KC ' ,h!$ #ji * ' !$ i ,UCkg,â t %â_ö&æ ! ')"* .l!$$0C'*!DI)K@ , a b|a@Èa { Ï {^ÄË Ê@ËKË@Ë ßÍy$mÊ&ÄNOG`Ra

(33) @{ .

(34)

(35) . . Á¶ . . . - A

(36) )8

(37) 9' # <1$ A <D 898)' ' ED8

(38) <9

(39)

(40) 8 P ' #L 9 # ) 9 8

(41)

(42) HÄ 6 C

(43)

(44) >. ÄzÄ éÂ pb r x s }py rKt á r Ô< r t v s v HÄ Ä Ê Væ[öüuüuæ[Ú È³{~ s x v b t `%{~ }~pb|a

(45) Ca@v `5y { rKÖ ut a yzÂÏ UÄNO Ä .VØ Úã%ÛUv ÂÏt|`,tw{ºr@yÔ { Ö a t|s yz|yÒ{ t a xä@ù` yÒ} acpy Ê Ä >$L 5 { } a È{ a b!{ JÊ@Å ED8( %' ;

(46) ($ ' ;

(47) $ Â é r s K r Ê.zÄ éÂ pb x v }py vz r á s t! s ! Ê. Ê ý Ç

(48) Ka yÝpt Ç xusu*{ v g,âø â_öæ u! t rK

(49) Cvza@t b!yz ÈyzÖ { b R < Ê. . éÂ b|yÝ b!v { È py xuyzÈ{ y vzr { á s q t t t u t >CË Ê. >$ Ç

(50) Ka yÝpÇ xu*{ g,â â_öæ !

(51) Ca@b!yz ÈyzÖ { Ï ~È{ xu{ ùy >CÅ 6 "

(52) =A

(53) 8

(54)

(55)

(56) ;:;

(57) #

(58) " '

(59) 8%$'&

(60) #& )

(61) 8$ . ( Â é r s K r $zÄ pb x }py $ Ê * )a@È³y v rKø ÷ a@} r Éuy,{ Ö s ac|y rKut a x vzr

(62) Ca@b!yz á Èyz} qr É r@v {~Íy {~Ö s a v yÝpyz{ t .$( @Å t t s u t r K r s v t $ .* )ª{~b|É a@b

(63) È³{ na x5pb|a ` bÐ ac|y y { Ö a yz|yÒ{ < $ >$ q { È³y

(64) @b rKs ` r&r@vÒt a + x )-, é y { Ö s a v yzpyz{ t [ <KÅ u t r K r K r t < Ô r K r v ! t s à á $. b|a ` bÐ ac|y } bB {^{ß&` { |y a È³{a b|{ O > $ <.* /¹b sÌu&ø Ñ y u1t 0@r 2t 0 yy {~Ö s a v yÝpyÒ{ t a x á Ï`%{~b|} rK pbpac}~pyÝÍyzÂÏ O.P 3 * ';

(65)

(66) 8

(67)

(68)

(69) :;

(70) ( )!()

(71) 89!54687:9; <=8> ?@6BA9 $.HCÅ .

(72)

(73) . zÄ éÂà á pb r x s }py rKt ÅC > Ê { R } a { ÅKÅ > . Ñ aVÎ r b|acpy rK;su xÌ{ bªÞ s } v yzxu{a &ø ÂÏ`,{,g,â â ö&æ ! y {~Ö s a v yÝÂÏ $ WP > >$ Ñ aVÎ r b|acpy rK;su xÌ{ b r á {~bAg,â %â_ö&æ ! y { Ö s a v yzÂÏ PKÅ 3 ED8( %' ;

(74) () $

(75) >89

(76) VÄCË .zÄ éÂ pb r x s }py rK VÄCË . Ê RÆÇ #u yz|y rKut {nùb r `Ìb|yÒÇpÇ t Ç v Ç~È{ pa@yÒb!{ t VÄË < . . ý a t xu{ v aÈ³{ t|s b|{xu{G×ªæ[Úåâ_çöö&ä VÄKÄKÄ . >$L 5ù` v yÒ} acpy rKut v aG} rK }~{ pb|acpy rK xu{ v aGÈ³{ t|s b|{ ÄKÄ > .. RÆy %Ç b!{ p{ t b!{ ùb!Ç t { ac|y rKÌt xu{ t y Ç

(77) Ca v yÝpÇ t xu{^pb|a ut ` r bÐ VÄKÄ . <.L 5ù` v yÒ} acpy rK a su È r x v { xu{È³Ç }a yÒÖ s { t ac|y t |yÒÖ s { ÄVÊKÊ . O ò yÒ{ Ìt aÍ@{ }xuy %Ç b!{ p{ t y Ç

(78) Ka v yÝpÇ t xu* { g,â â ö&æ ! vÒr

(79) Ca@b|yÝ á È³yÒÖ s { @ÄVÊ ý t v u t K r $ u # . Å. a xu{ axuyzÈ{ y y yÒ{ VÄ KË 9' # <1$ Ä P >. n.

(80) . Á. . . Æv t a ut }~v {~!pt {J á t { ÌrKsut u r@sut y |Ç b|{ t|t! rKut ôxu{ t vzy r Ç

(81) Ca v yzápÇ t³Ô<r@s }~ |y rKu vÒ{ v vÒv t{ t } r È³v È³{t { y Ç

(82) Ca yÝpÇ xÌ{Bâ_ä\åõ½ØÚ \ g,â â_öæ ! g,â â ö&æ !

(83) Ca@b!yz ÈyzÖ { {} { { acù`%{ Ç~{ y Ç

(84) Ca v yÝpt Ç t ò xu{|bpa Ìt ` r b!r [Æ{ t|Ô sa rKv

(85) Ks Ç Ç bpa v { v[v {|bpv aÍcr a@y vt r@{ b|Ç ùa@t b!|yÒ{ t á { r vÒrK t xu{ s ß}~{ pb!{ t y pÇ~b"~ v {t ù b|{~Èyzv { bºt` bÐpv { t b rK Ç~ t|s xu{ v {~ r a@È³Ç á y bpua t py rK xu{ t È³Ç~ xut { v `%u{~t b|È³{~t|pa x Ç a@É yÒbvÒv } {tø y Ç

(86) Ca yz|Ç {~ { { } x b aw} È³ùb!Ç { y xu{ xuy%Ç b!{ yÒ{ {ß&y a { pb!{º}~{ rK{ ut } y ÆurKsut Ç }~b|yzÍ rKs Éub|t y&~Í@{ È³v # { Rv t!{ s t xÌy%Ç b|ò{ p { t y v Ç

(87) Ca vv yz|Ç t vÒsÌÖ t s { ur@r sut a vÒvzrKut s Ç s uxurKyzsÌ{ tb Ó s v a r@r@uutt yz} y ` b yzÈ` y { b b y Ç

(88) Ca yÝpÇ a³` yÒÈ³` b!pa p{Ö { Ç~ xuy { t }~t { vzv {t!Ô xÌ[{ g,â sÌ% â_ö&æ ! vzr v

(89) Ca@b!yz Rá ÈyzÖ s { xuvÒr yÝGÖ s suá {5È³s { t|ts b|{v xu{t ùb r suÉu a@Éuy v yzrK|uÇ t µ t!s b y rKÇ s

(90) Ca yÝr@pÇs xÌ{ Ô<rKg[ â â_rK öæ !

(91) Cacb|yz È³Ìt yÒÖ { t! t y {ß&y psu{ v {5Ìv } pa v p{ R acpy a@yÝ(vÒv s {5 p { { Ö { α(µ) t|s yÝÍ@a >|{0{ t t acpy t!Ô a@yÝp` { Õ bB p{ }~py f xu{ R xRa R a { b!Ç

(92) y~b|{ y Ç

(93) Ca yÝpÇ n. n. n. Entµ f. 2. . =. 2. . Z . Z. Z. f log. Z f2 R dµ 6 α(µ) |∇f |2 dµ. f 2 dµ. ý ~{ ||{ y Ç

(94) Ca v yÝpÇº{ t y |b r x s yÝp{ùa@b Ú%â_îVî³{ Ä2PO {~Ç a@É v yÒ{G` rKs b v aÈ³{ t|s b|{(

(95) Ca sutø t yÒ{ u {aÍK{~} su {º} rKut pa p{ r `Ì|yÒÈa v { α(µ) Ç

(96) Ka v {/³Ê

(97) e^b r O Ü v{ä s |b|{¦y rK sÇ

(98) Ct a v yÝpÇ |b"v t yÒÈ³ ` r b! at|s |{;} rKÌt yÒr xÌÇ b|Ç~{v yz} y{ t t }~{ t!vÒÔ v {5xu{suB â_ä\å õ½ØÚv \ 9 rKs y Ç

(99) Ca yÝpÇwxu{t |b v `,t{ }~|bpsua ; &Ü rKÌ{t È{ b!{xu{ `Ìb ÉRacÉuyvzv yzpÇ sµ acprKy s a@yÝ rKs Ô<{ rK y Ç

(100) KrKa yÝpÇwxu{ â ä\åõ½ØÚ \ y y {®ßÌy |{ { } a |{ β(µ) > 0 p{ {GÖ { ` b |{ }~|y f xu{ ut R a t|t { ºb!Ç

(101) sÌv y~b|{ urK a v y Ç

(102) Ka v yÝpÇ t|s yÝÍ@a |{ R xRa n. Varµ f. 2. . =. f−. f dµ. 2. dµ 6 β(µ). Z. |∇f |2 dµ.. ý ~{ ||{y Ç

(103) Ca v yz|Ç ` vÒsut a }~yÒ{ Ì {Ö s { v y Ç

(104) Ca v yÝpÇGxÌ{ g,â %â_öæ ! vÒr

(105) Ca@b|yÝ á È³yÒÖ s { { t GyzÈ ø ` v yzÖ s Ç {`Ra@b^}~{~!p{ xu{ b y~b|{ a { 2rKs pb|{ v a b|{ v ac|y rKJt!s yzÍca |{³{ pb|{ v { t xuy Ç~b|{ |{ t.

(106)

(107) . . ò a È³{ t!s b|{

(108) Ka sut|t yÒ{ u { t ac|y tÐÔ a@yz v y Ç

(109) Ca v yÝpÇgxu{ Bâ_ä\åõ½Ø Ú \ } rKut sua |{ t rK2β(µ) 6 α(µ) aÍ@{ } {} t|s Ìt a |9 { urrK`Ì2pyz Èa v t!{ t β(µ) Ç

(110) K a v {/ 1 r v Ü {È{ b!{ µut rK t Ç }~{ v a@yzb|t { È³{ sxÌ{rKùub t ÉRa@ÉÌy t yÝpÇ ;ªÍKÇ b!y # { su {³y Ç

(111) Ca v yzpÇvÒxÌv { t g,sâ â_öæ ! xu{xuyzÈ{ y yy {ß&y p{xu{ ß} a p{ {~ p{ { Ö { ` rKs bw rKs |{ Ô<rK }~|y rK f nt|s t a@È³È{ ªb!Ç

(112) sÌv y~b|{ r@ a a(µ) > 0 b(µ) > 0 9 Ë$ÝNÄ ; kf k 6 a(µ)k∇f k + b(µ)kf k . ý {~||{y Ç

(113) Ca v yz|Ç Ö s a x}~{ vÒv { ø } yR{ t ¹Í@Ç b|y # Ç {ª` r@s b su {È³{ t!s b|{nxu{nùb r ÉRa@Éuy v yz|Ç yzÈ` v yÒÖ s { v y Ç

(114) Ca v yÝpÇ^xu{ g,â %â_ö&æ ! vÒr

(115) Ka@b|yÝ á È³yÒÖ s {^{ xu{ â ä\åõ½ØÚ \ ò aÈ³{ t!s b|{ºxu{ ð æ æ[îNcZçæ t|s t py t!Ô a@yÝ v y Ç

(116) Ca v yz|Çxu{ g,â â ö&æ ! aÍ@{ } a(µ) > 0 { b(µ) = 0 9 v a} r@ut pa p{ r `Ìb pyzRÈa v { aca(µ) ` rKs b v aÈ³{ t!s b|{GxÌ{ ð æ %æ,Nî cZçæ t!s b R { t ùa t r@s Î rKs b t Ç~ÍyÒxu{ p{( {ß&ùb|yzÈÔ {~b rK; vzv v t r t v t r t #R t|t|r@utwv t v t Æ{ a ùa@bpa { G}~{ pb y y Ç

(117) Ca yÝpÇ yÒÈ³` b!pa p{ xuÇ y { y Ç

(118) Ka yÝpÇ xu{ prKbpa s ut `t r b! t|s ä\åt îVÙ_æ[Úr È rK |b|v { txua ut

(119) Ó y < > v y Ç

(120) Ca v yz|Ç Ô<rK }~py rKu { vÒv { t|s yÝÍ@a |{ ` r@s b |{ È³{ b|{ xu{ùb ÉRa@Éuy yÝpÇ µ { ν s 9 Ë$ Ê ; dν kν − µk 6 2Ent . dµ Ó a@bÐ a xÌ{º}~{~||{ùb!{ È³y~b|{y Ç

(121) Ca v yzpÇ{ pb!{ su {ºxuy t a } { t|s b v { t `Ra@} {ºxu{ t È³{ t|s b|{ t xu{ ùb r Éua@Éuv y v t yz|Ç{~ t v { pb r ùuyÒ{wt xur { v a^rKxu Ç~b|yÝÍKÇ {ªxu{ r ù Øs ã â_tå r ä\Ùâ_ãä\ì x a s |b|{ t v y v Ç

(122) C a v yz|Ç v t ` vzsut

(123) KÇ uÇ~t bpa r { xuyz|{ t|s xu{º|bpa s ` urKb!sut #RÇ pÇt|t!y rKpub t x yÝp { } ÈÈ³{ `Ra@bn{t|ß&s { È³` { y r Ç

(124) Ca yzv |Ç xu{ pbpa # ` sub! T b v R Ö { ut r xÌÇ y s ur@suÈt a@y p{ vÒv a rK Ì&t Ü { &Èt { v b!{^t xu{ sÌù b ÉRrKa@uÉÌt y yÝpÇ µ ÍKÇ b!y { {ªy vÒv Ç

(125) Ca s yÝpÇxurK{ns pb|a rKs ` bÐÔ< rK Ö { r@ a@`Ìu`%t { {~b Tr y v {®ß&y |{ {} r pa pv { p{ {Ö {` b |{ }py F xu{ yz|Çxu{ùb ÉRa@Éuy yz|Ç`Racb bpa@`Ì` bÐ/ a τ (µ) È{ t|s b!>{ µ0 RrK a dµ) 6 τ (µ)Ent (F ) , r T (F dµ, dµ) { t v {^}acb|b|ÇTxu(F{ v dµ, aGxuy t a }~{xu{ ØîVîVæ,Úîíæ[ä\å xuÇ #R yÒ{`Ra@b (Z ) 9 Ë$ ; |x − y| T (F dµ, dµ) = inf dπ(x, y) , 2 r v y $# È s È´{ t ùb|y tt!s b v { ut { ÈGÉ v {xÌ{ t È³{ t|s b|{ t xÌ{Gùb r ÉRa@Éuy v yz|Ç π aÏKa F dµ {~ µ }v r È³È{t Èa@b

(126) Kt { t r@ s ý¹rKrKs pbpt acyÒb|{~È# { urKv sÌ y t Çt

(127) Ca v rKyz|uÇ t 9 Ë. Ê ;_xu{ Bä\åv îVÙ_æ[s Ú v } {||{ªt!xus {~b y& b!su{ªt|ty Çu

(128) C a ø yz|Ç { ^`Ra Î b ÍKÇ~b|y Ç { aÍ `Ra@bª{ß&{ È³` {Ö { a³È³{ b|{%

(129) Ka yÒ{ { ÍKÇ b!y # {y Ç

(130) Ca rKv yzpÇxÌ {pb|a uutt `

(131) r bÐè T av ÍK{ } su {} rKuv t a p { r `Ìpv yzÈ a v {Gv Ç

(132) Ca v { 2 ut íXr íâ8{~ þä\öv ö Øåäv È pb!{ xRa vÒr ËKË á {5ùb!{ s È³yÒ{~éÂbvÒt yÒ{ rKs { | b|{ y Ç

(133) Ca s yz|Ç xu {¦s pbpa v t` b!rK T {~ y v Ç

(134) Ca yz|Ç^rKxuu+{ t g,â â_öæ !

(135) Ca@b|v yÝ s È³yÒv Ö { ùb ÍK{ { |b|{r@ua t pb!{ Ö { a { } xu{ y Ç

(136) Ca yÝpÇªxu{} a |{ β(µ) yÒÈ³` yzÖ { aGùb|{~Èy& b|{^xÌ{È È³{^} pa p{ β(µ) . 2 2n/(n−2). 2 2. 2 2. n. n. µ. VT. . 2. n. 2. 2. . . 2. µ. 2. 2. . 2. . 2.

(137)

(138) . Æ a u t5v { t zv r } á a@ùyÝá pb|{ t s Ä2{¨rKsÊ urKsut t Ç~r pa@É vv y t|t t!rKut5v { t y Ç

(139) Cs a v yzt pÇ t xut { Bs â_ä\åò õ½Ø Ú \8t|s {~¦xu{ g,â â ö&æ ! C

(140) a@b!yz ÈyzÖ {` b¹xu{ È x { xu{ È³Ç } a yÒÖ { a py pyzÖ { aºÈ{ b!{ xu{ b|Ç Ô Ç~t|b|s { } {nÍKsuÇ t!b!t y # a u v { t y Ç

(141) Ca v yzpÇ t xu{ vzsuBt â_ä\å õ½Ø Ú v \ surK s xu{Eg,t!â s %â_öæ ! vzrr

(142) Ca@b!yz v á ÈyzÖ s t|{¹s { t v a È{ b!{%

(143) Ca yz{ { xu{GÈa y& b!{`

(144) KÇ Ç b|a { t|t {È³{ b|é{GxÌ9 {Gùb ÉRa@ Éuy yz|Ç # µ v t b Rs xu { v a vÔ<r b|È³t { ò dµ(X) =v exp(−U (X))dX atÍ@{ }-v )n{ t (Us ) >v rKC5ux r C > 0; Í@sÌÇ b!y Ô<r { { xu{ ß ø | t | t Ì s t yt Ç

(145) Ca yÝpÇ {rKß& { È³` {xu Ç~} b!yzt n} suy xu{ t { su{v }a Ö s { È³È{~bpa y b!ÈÇ~È{ pb!yÒ}p{ È³{ } ÍK{®ß&{ } { } a `Racb!pyz} yÒ{~bnx } b!yz~b|{ xu{×wØ Ù_ÚCÛ{ ì^æ[ÚÛ rKsut { t|t aÏ rKut yÒ} y&xu{wÈ r@ |b|{~b v {ß&y t p{ } {x su {wy Ç

(146) Ca v yz|Ç¹xu{AΓg[â â_öæ ! vÒr

(147) Ka@b|yÝ á È³yÒÖ s { rKs xu{ â ä\åõ½ØÚ \ô` rKs bº}~{ b!pa@y {È³{ t|s b|{ t!s b R aÍK{ } su { } rKut pa p{ {xuÇ~`%{ xRa `Ra t xu{ v a^xuyzÈ{ ut y rK n ò { t È³{ t!s b|{ t Ç s xÌyÒÇ { t yz} y t!rK gxu{ t È³{ t|s b|{ tgt|s b R xu{ v a Ô<r b|È³{ dµ(X) = exp(−U (X))dX aÍ@{ } n. 2. n. n. ∀ X = (x1 , ..., xn ), Φ(X) =. X. ψ(xi ) +. X. V (xi − xj ).. v t³v t su Ô<r ò Ô<rK rK t t pa b!yÒ}p{ È³}p{ y ¦} Φr@ { Í@{ß&{a@ùxu`,Ç~{ } Çb!yz¦01.} '*y ø xu! ' { t|) t|#sÌ! tw# vÒr {~b t Ö ψs { ψ01 ,2ÍKÇ~Zb|y Æ # { a@`Ìψb" >{5C} a aÍ@{ } y Cb|È³>Ç È³0{ {~ t|t Kv È³{ t!s b|{ µ t ac|y t!Ô acyz su {ny Ç

(148) Ca v yzpÇQxu{kg,â â ö&æ ! vÒr

(149) Ka@b|yÝ á È³yÒÖ s { kV k a { n`%{pyÝ asu {~s xu{ Bt â_ä\åõ½Ø Ú \G aÍK{~} {¹r@ } r@ut pa s p{¹t y xuv Ç~`%Ô<rK{ xRa rKp {Qxu{ n Æ{ Ìr ÈGÉub!{ sut { t {_ b!Ç } { p{ Ç~ xu{ `,{ b|È³{~!p{v t xu{t|sÌÈ v tG|b|t!{~s b Ö t t { y a r }py rKψsÌt = ϕ +vzv g arKÍKu{~t } ϕ >tc (c > 0) {~ kgk < rK∞s á { rb!Ç á t a 9 ý É òy |{ ³ { } b|v { a@ù`,{ t { b s } {;á }a t ) #t -./T - ) l#ji Ï` { /h; {;`Ìb|y } yÒùa y |Ç b~xu{5}~{ xu{ ß } a@`Ìyzpb!{ { xu{ ùb rKt s ÍKá { b t v {®t ßÌy t | { }~{xu# { t y Ç

(150) Ca tnv yz|v Ç á t xu{ r Bá â_tä\åõ½9 Øý Ú \ {Zxu{Ag,â â_öæ ! vÒr

(151) Cacb|yz á È³yÒÖ s { ` r@s b xu{ ò ` a á { ϕ {^ÍKÇ b!y a s n`Ra r@ÏvÒv ` r { rK /h; ý ù { } a@`Ìyzpb!{ Ä rK{ su%t { }~ Ç t { rK}ut acÉ b|r acpy sÌ xu{ á r â %æ,Ús íâ |bpa@yÝp{ xu{ v y ý Ç

(152) CvÒa v v yÝø pÇ xu{ Bâ_ä\åõ½rKØ s Ú \ rK ùb|Ç v { t x a@É b|v x {Jv È³Ç~ xu{¨x { W Væ[r@ös üuüuæ[v Ú t r { { v }~t y `%{~b|È³{~ ` s bxut Ç~È t |b|{ s b {®ßÌy |{ t }~{ xu{ y v Çt

(153) Ca vyzpÇºsuvÒxut^{ t!s â ä\åt õ½ØÚ \2t|s ` t b { È ux$t rK{ xu{ ÈrKÇ~su}ta yzÖ { rK Ìa pt y pvzyzrÖ t;{ v xut { b! { |b|{~v y xut b!{ { } a } s buxurK{ sut È³{ rK b|{ s t { xuyzÈ{ Ô y rK Ä xuvÇ~} b|yÝÍ v a b { y Ç

(154) Ca yÝpÇ xuW{ VuØt ÚrKã% Û¾Ö ý y t á} r x t y { JxÌ{ tZÌa rKsut {t|r }a@}~{ t vÒr y t Ç

(155) C a yz|Çt!s xu{ Bâ_ä\årKõ½ Ø Ú \ v { xut yÒÈ³ { y v Ä { v ÈÇ xu{ xÌÇ } b!yz|{ rKs v t rÈ È³x È v { { t axu{bÈÇ~{ }a È³yÒÖ{ s { b|t{ xÌac|{y t È |yÒÖ s |{ b|{ t!b r b!p {a ß& y Zpx { s } } {wa tZxu{su y y Ô<r Çb|

(156) CÈ³a Ç yzÈ³|ÇQ{ xu{ t Bpb!â_yÒ}ä\åp{ õ½È³Ø{ Ú \Z`} rK ÍKb {®ßÌ{ { xut Ç }~b|yzv} suy ø xu{ t|rKt| sÌt rK ò y v|Ç b"Gv xu{r@} u{|t p{ ÈÇ á r v xu{³ { t Gv x su { ùa@b!ºx aÍ r yÒbrKx s suv { t Èra y& v b!{t yÒrKÈ³ut` { tÉ } s pb {Qxu{ aª} á pa p{Bxuu{ rKs y Ç

(157) Cs a yÝpÇZr xu{ v â t ä\åõ½ØÚ \` s b {t È t x$ s { } yÒxuÇ~b|Ç {Zx a pb!{`Ra@bÐ_x {ß yzÉ%{~bZxu{ ÍK{a ß È x { xu{BÈ³Ç } a yzÖ { pacpy pyzÖ { ÍKÇ b!y # a v y Ç

(158) Ka v yÝpÇxu{ B â_ä\åõ½Ø Ú \ r ý {

(159) } ï á a@ùyz|b|{a ÇpÇ` s É v yzÇxRa Ìt^v ab!{~Í s { F ) KTl#" ' ) KCu#jt^ v ! ) #"á ' #" ' % , !,¹ur@{ sut Ê@ËKË&s Ä r@Í uyÒt b e rKs ËÌv Ä t t r v t Æ s a s {} ua@tw`Ìvyzpb!{ á Ê Ç~ xuy ,` v b { v È È³{ È x { vzxur {È³Ç }á a yÒÖ s s { t ý ac|y tø pyÒÖ {^Ö {xRa { } acùyz|b|{^ùb!Ç } Ç~xu{ y Ç

(160) Ka yÝpÇnxu,{ g,â %â_ö&æ !

(161) Ca@b!yz ÈyzÖ { {~!p{ i. i∼j. 00. 00. ∞. 00. ∞.

(162)

(163) . . y Ç

(164) Ca v yÝrKpsÌÇt { t ^ùb v r t|} t!á rK{utxu{ v uy t Ç

(165) Ca v yzá|ÇxÌ{ Bâ_ä\s åõ½v Ø Ú \Èá a@r y t { vÒv {{ t ^` vzsuø t xÌt|y t|sÌ} t y v { rKs ùbv r@s&&øø ÍK{ b v Ç~pa@É y xR a t } {Gvzsu} t a@ùyz|v b|{Ö v { as ÈvÇ xu{ºt xuÇ }~b|yz|v á{} s y xusu{ t ` b t y Ç

(166) Ca áyz|r ÇxÌ{ Bâ_s ä\åõ½v Ø Ú \ { vzv ` acù` yz}a@É { Ö t y {ß&y pø {ºÈt|t|a sÌt { b|rK{ s {~v È { ª`Rv a xu{ ÈÇ xu{ Ç vzrÖ yÝÍca á{ |{ s¨} { rK{ suxut { Væ[rKö&t|r@üÌuüut æ[Ú)vzr `Ìb|tQÇ v { t pÇ~{;} y xu { t ` suv b t y Ç

(167) Ca rK yz|ÇGxu{t g,â â ö&æ !

(168) Ca@b!yz ÈyzÖ { r` Ks bºacxRa@`Ì|{ b} {|p{³È³Ç~ á r xu{ v{ ß&y ` Ç

(169) Ca v yzpÇºa xu{ b g,â { â xuö&y%æ Ç ! b!{ vÒr p

(170) K{ a@b|xuyÝ y á È³} yÒÖ s|Ç {b!5ª{ y u} t y ½pv b| r Ç~É{ ø p{ |y rKv xuv { v y Ç á

(171) Cr a v yÝpÇxut {,g[â â_ öæ ! v t vzr

(172) Cý a@b!yz á ÈyzÖ s á {nr ` rKs bQ} { t È r r@x t v { t `RrKa@s b!|vyÒ} suv yz{ b t Ô a@yÝ Ô<a@r ùy `,t { xua a utGasuÈ Ç} a t xuxu{ny t xu} { b!{~È`Ra@acbÐbpy ð

(173) Cç7a {~{ nØX{~|ç7|{ xRÈ³a uÇ~t

(174) ò xu{0P º Ç pý Çª{ {vÒß&v { ` ø } ygÇ { {t ` b!{ ùb b!y at { ùb!xR{ a È³uyt b!v {{ }a t } rK py s {xRa ut xuy Ç~s b|{ |{ t ` s É v yÒ}a py r@v ut `Ra@b^rKÌ×ªt â_ã ä\årKæR ØXç rKV æ[ö&üuüÌs æ,suÚ â_îN]ä\ã½ØHrK{~ t{ @æ c_` Ø rKÚt!töyzä\É åv îV{Ù_ôä &xuÜ { t {} Ç~a t xu` {^vzsuact !p

(175) K{ Ç |Ç~yzÍKbpa {s xuß{ xuaº{¨xuÈ Ç~È r x v { pt b| ac py rKsutÈ r É t p{ b!b!{Í rKÖ ut Ö s {^ acxRv a@ a@`Ìyzpxuac{5py xu{ v y Ç

(176) Ca v yÝpÇxu{ g,â â ö&æ ! vÒr

(177) Ka@b|yÝ á È³yÒÖ s {{ xuyÒÈ³{ ut y rK Ä urKsÌt ` rKs Í rKut r ÉÌ|{ yzb³xÌ{ t á Ç r b"~È{ t ` rKs b v { t È r x v { t xu{^s È³Ç } a yÒ Ö s { t t ac| y t pyÒÖ v s { t r@sut Ç~ s xuy r@&uÌt rKsua vÒt r b tBv {ª á Ç rcø b" rKÈ³ { xuv {×ªv â ÙrKuâ t!H{~ í æ Ö yùa@b!pvza r xu{ á y Ç

(178) Ks a yÝpÇ Ìxutº{ v V^Ø Út ã%Û v `,{ ub|È³t rK{~¹xu{ }ý pb {~b á a¦r } ÌrK asut p{xu{ g[â â_örKæ !

(179) Cva@b! yz Èv yzÖ {GxRa {} a vÒxur { a5xuá yzÈ{ s y r@s Ä {~||{ÈÇ xu{ `,{ b!È{Zxu{BÈ pb!{ b y Ç

(180) Ca yz|Ç xu{ g,â %â_öæ !

(181) Cacb|yz È³yÒÖ { ` b xu { t È r x v { t xu{wv á È³s Ç } a su t yÒÖ s { t pacpy t t|yÒÖ s rK{ xuy Ç~b|{ t x s }v a t } v a t|v t yÒÖ s { Ó a@bg} rK |b|{w} { vÒv { r ø }~ø y { `%{~b|È³{~Èa { b|{ {~È{ ºùa } pbpacyÒb|{~È{ y Ç

(182) Ka yÝpÇxu{ â ä\åõ½ØÚ \ x É p{ rK s yÒb vsu } r rK pbv v { t yÒÈ³` v { xu{ s v at } r@ut t pa s p{xurK{ uv t y Ç

(183) Ka v yÝpÇxu+{ g,â â_öæ ! vÒr

(184) Ka@b|yÝ á È³yÒÖ s { ` ò b t{^t È xø {rKs xu{tÈ³Ç } a yÒÖ { ac|y t!rKpyÒÖ {^} t yÒxuÇ~r b|Ç t utºv s t v t { { È³y

(185) @b vzr `,{ á xu{5ó2s Ø Ú Ùâ ! |b" yÒÈ³` b! a xRa Ç~ xu{³xu{ t y Ç

(186) Ka yÝps Ç xus3{ g,â â_öæ ! u

(187) Ct a@

(188) b!yz r ÈyzÖ { rK xu{ Bâ_s ä\åsuõ½¨Ø t Ú \¨{ø xÌr@{ s g,â â_öæ ! su,t Þ rK { %t {~ªá } { `RrKa@ bn{ ß ø Ö Ô{ t GÚâ_tîVîºsuxuv a e^bt O t È t|s pb!{Ö { È³yt

(189) Kb tÐÔ `%{xu{suxu y y v{ Ï`,{ b|} pb|a@} pvÒr y y {~á { s { È³{ v y aHÈ{ b! {y Íca@vÒb|tyÒat!rK acsu|y t|t a@yz s r s {y Ç

(190) Ca yz|Çxu{ g,â vÒâ_r öæ !

(191) Cacb|yz È³yÒÖ {&Æ{ aÈ È³r {È

(192) a y& b!{^y

(193) 0 ªa ya } { bwxu{ºv }~b|tyÝs b!{ v t Γ xusuÇt!ÍKt { ù`,uÇt `Rv a@bs ×nØÙ_s5ÚÛ v {~ ì^æ[ÚÛv Í yzb v /BÞ CÅ X{ /¹a P.> uþ¹v sÌØv Úâ ,â r@ çöâ_î { py s5y t{ a ø y½rKxus a. Ç~ v xu{^á x v s yz{ { r |b|{

(194) è y Ç

(195) Ca yz|Çn

(196) xÌè { g[â â_öæ u! t³{~v t á pb|a@} |t bpa@t|}s pyÝÍ&yÝpÇnt x urKsu{~t Èy

(197) Ks b r@`,u{t xu{ t aJ} a { b t Í yzb v a@b|t .Å >w{ v a@b|CÅ t Æ su a s { } t a@ùyÝø pb|{ rKs yÝ Í@a vÒ s Ç~ xuy } t|rK{ vzs xuy rKuÇ~t b|{ |t { y s Ç

(198) Ca rKuyz|t Ç `Ra@b {Éuy a@y x a |b|{ s { uÈ³rKy su

(199) @t b #R`, { t|t!} rK{ ut y¹xuÇ }~ b|yzG `Ra@ b v {q t py xu{ Ç Ö ac|y xu{ V^Ø ì^ä\ö~íâ_å XØ½õXâ äÖ { xÌÇ y Èa@y |{ a y {f t su { Ô<rK }py rK5v yÒ` t } á yÝ ~yÒ{ Ì { É r b Ç~{ xuÇ #R y t|t|r@ut ` rKs bB r@s t > 0 { x ∈ R 9 Ë$ >4; 1 Q f (x) = inf f (y) + |x − y| , 2t {~ Q f (x)ð = f (x) v ` rKs s bª rKrKs x ∈ R ý {~!p{ Ô a@È³y vzv {x r `%Ç~# bpac|{ vzs r b tt sa@`Ì`%v { v Ç Ô<{rK t|rKvzs rKp y rK xu{ Vâ [ü Øñ8xu{ Ç Ö ac|y xu{ VØì^ä\ö íâ_å XØXõXâ %ä Í@Ç b!y { b Ö { a }~|y f. . . . . . 2.

(200) . n. 2. t. 0. . y∈Rn n.

(201)

(202) . . { t a t!t { b!Ç

(203) suv y~b|{ Ìv Ç Ö s ac|y rK xuy Ç~b|{ |yÒ{ vÒv {xu{,VØì^ä\ö íâ_å lXØXõXâ ä |t s Ýy Íca p{ (. ∂Qt f 1 + |∇Qt f |2 = 0 in Rn × (0, ∞), ∂t 2 Qt f = f on Rn × {t = 0}.. ò a Ô acÈy vÒv {;x r `,Ç b|acp{ s b t (Q ) t { bpa Çp{ x s { su {JÍ@acb|yÒÇpÇ¨b|yÒ{~Èa u yÒ{ u { Qr )v a ur b|È³{^{ s } v yzxuyÒ{ u { t { bpa b|{~È` v a@}~Ç {^`Ra@b v aGxuy t a }~{b|yÒ{~Èa u yÒ{ u { utv á XurKsut s rKutv v v t ø rKs # v Ç ÖÆ s a ac|y rK {xu} y acÇ~ùb|yz{ | b|{|yÒ{ vÒv {xu{,VÇØ ì^xuä\ö y íâ_å l{ XØXyÒ{ õXâ { äX|{~b| { v {y Ç{~

(204) CÈa v y yz|

(205) KÇªb xÌ{,`,g,{ â (Qâ ö&)æ ! vÒÍ@r Ç

(206) Kb|a@y b|yÝa á ø ÈyzÖ s {Ñ ò { ð t |bpaÍca s ßxuò { }~t {} á a@ø `ÌyzrKpb!s { rK ¹Ç~pÇª{ %{ } s Ç t { } rKvÒv a@rKÉ t r bpacsu|y rK Ô<xur { q [×nsâ v Ùâ ! {~v xu{ v æ,ãâ_çXuñ t r { {~È y

(207) Kb v `,{ (Q9 ) Õ[su`, { b!È{ºt|s x {®ßÌ` { rb { v b|È³{t x t!a Ô {xu{ su y {wÇ y

(208) C a Ç

(209) CyÝpa Ç v yzxÌpÇg{xu|bp{Ba |bpa ` ut b!` r Tb! Ty t Ç yÌ

(210) C{~a yzt p{ Ç suv Ë${~È ;{ t y {` ÈrKs { b b!rK{ºs pxu{ {Ô<ùrKb }ÉRpy a@rKÉu y fyÝpÇ v yz`µt } áac|yÝ y ~yÒac{ Ìyz { É r b Ç { rK a Z Z . t t>0. t t>0. t t>0. 2. 2. 1 τ (µ). 1 Q1 g dµ 6 exp τ (µ). exp. gdµ .. ý { t }~{~||{ Ô<r b!È{³x s a v {³Ö s y ur@sut `,{ b!È{xu{³pb rKs ÍK{~b su ùb|{~Èyz{ b v yÒ{ { pb|{ v { t y ø Ç

(211) Ca v yz|Ç sut v xu{ |bpsa usut ` r b!{~t! s v y Ç

(212) Ka v yÝpr Çxu{ g,v â â ö&æ ! # vÒr

(213) Ca@sub| yÝ á È³ yÒÖ s v{ rKsut ùb rKs Í rKut vÒ{ r ø `Ra@b!|yÒá} yz{ b s Ö t {;t È³suv{ b|{; xu{t ùv b Éut a@Éuy ø yz|Ç r@µs Í@Ç b!y { { y Ç #

(214) Ca yzsupÇ³xu{[rKg[ â â_rKö æ ! á ø

(215) Ca@b|yÝ r@ È³yÒÖ { y¹{~ {rKsut {~È{ rKuy t { { È³y

(216) KvÒb v v `%{ (Q t|)suv ÍKÇ~b|y { vzs{} xuyz|y x Ïs `%{~rKb| } |bpsua@ }pyÝÍ&t!yÝpsuÇv t È³v {~| rKs { su`Ra@t b|a ø {r@} {¦s b|Ç ac aÍK{~}¨r }~{ yxu{t|s Ú%â_îVî¨Ö rcø y È |b|{ b!Ç pac yzÈy a@yzb|{^` b { È³y

(217) Kb `%{ºaÏCa } ÈÈ³{È{ b!{xu{Gùb ÉRvÒa@r Éuy t v yz|Çwy ÍcrKa@ b|yÒa p{ Í Ô r yÒb rK

(218) e^b t|r t O t ò {ªv á Çv r b" á È³r {{®ß&` rKt Ç^xRa ut µ} { } á a@ùyz|b|{ urKsut `,v { t|b!t È { a b xu{¹È |b|{ b xu{ a a { yÒÈ³` { {g Ç b"~È{BxÌ{ ºíXíâ{~ZþGä\ö&öØ åäÌÇ~pa@É y a Öò s s su v {nt y ÇrK

(219) K a v yÝpÇgxuE{ g,t!â suv â ö&æ u! rKsuvzr t

(220) Ca@rKb! yz á s ÈyzÖ ssÌ{Qt|t yzÈ` suv yÒ Ö s { su {t y Ç

(221) Ca v yzr@| ÇQxÌ{w|v bpa Ìt ` r v b! T . |y y ac|y xu{ª}~{ªb!Ç pac } x yzQa y {nb|{ `Ìb|Ç { a py xu{ y Ç

(222) Ca yzpÇQxu{ â ä\åõ½ØÚ \`Ra@b su { Ô acÈy vÒv {x y Ç

(223) Ka v yÝpÇ t xÌ{ºpb|a ut ` r bÐ ` rKs b su } r a s pb!{Ö s {ºÖ s a ø xubpacv |yÒÖ s {½v Ü {Gp{ vzv {ºb|{ `Ìb|Ç t { a ¦py sur@ { Ô t vzÈ³v {~!pb| {{ v `Ra@t b|a vÒv v {aÍK{~} v ab!vÒ{ r ùb!Ç t { á ac|y rKs xu{ r y # Ç

(224) Ca r yzpÇnxu{s Bâ_ä\åõ½Ø Ú \;{ { ð a@È³y {wx y uÇ

(225) Ct a

(226) yzpò Ç xu,{ ýg[â â_á öæ !

(227) Ka@b|yÝ È³s yÒÖ v { È uxutwy v Ç { É&s p{ { `Racb×ªâ Ùâ !){~ æ[ã â çñ xRa / P O { } a@r ùyÝpb!

(228) { a ò Ç~pÇ ` É yzÇ xRa uatb!v {~Í á { F ) KCl#" Ì' rKUCsu t , s . 0rKiÌ' tv .D!Dt I)K@ , ø KCr@Bs *, ' !DI)Ki#u , Í yzb v /Ô<er ËÌsuÄ v 9 t|rKsuÆ ta v a} r@{Z } |bpa@acyù yzp|{ b|{ xu> {gxuy %Ç b!Ç~{ pxu{ t y y Ç

(229) C{ a v yz{ |È³Ç ty Ô<rK

(230) K b }~py `%rK{ u(Q{ vÒv { )t q&rKxu Ç Ç sy`RxÌ{a@b t!rKa sutv b!awÈ } rK { pb|Ë$a@y >4;ø pu{rKsuxut { v y Ç

(231) Kat|t!v yÝrKpuÇt xu+{ g,â s â_ör@æ ! vÒvr

(232) Ka@b|s8yÝ á t È³yÒÖ øs {rKa s Ç~|ÇGxuÇ~u} b|t;yÝpv {Gxua ut¦t^r v 7{º} v á a@t ùyÝpb!{ Ìt|rKs sut y sÌ| Ç b|{ v yÒ}~yâ } |b {x {~uÈt y v

(233) Kb t`,r{JHxRva {Jt|s }a # { sÌ`R ac} { È³{ v b|Ç # ÍKÇ b!y { {5y Ç

(234) Ca yÝpÇ³xu{ s g,â v %â_öuæ ! _9 Ævzr a t s { } a aJÈ{ ut b!v { ÍKÇ s b!y { rK 9 {;y Ç

(235) Cua rKyzsupÇt xu { rK g,â rKuâ_t öæ s ! suxu {¦ÂÏ&`,{Jr { } r@yÒxu yz{ { b suv Ö { rKb(µ) Ë$ÝNÄ ;J; t = 0 xua s t Ç~Ö ø acrKps y È |b Ö {³ÈaVÎ bpa py xu{GÂÏ`%{ pb|a@} |bpa@}pyzÍ@{x {~Èy

(236) Kb `,{ (Q ) { t t>0. . 2. . . . t t>0. . . t t>0.

(237)

(238) . . Ç Ö s yzÍcvÒva v v { p{ v v {®ßÌy át |{ r }~{¦xÌ{ v y Ç

(239) Ka v yÝpÇ³xu{ g,â â r ö&æ ! ý {5b|v Ç t! suv pacv { t È{|pb!{;{ `Ra@bpa v {¦r aÍK{~}r {5 Ç b"su~Èv {¨xurK{J þQØ Ú%â Ô [â_s;çt öâ_î ø } rKÈ³s `Ra@b|a v y á Çv

(240) Ca s yz|Ç; xurK{sut g,â â_örKæ u! t auÍ@{ t!s} {ª} v È³t ` b!|r { È³{ rK ut pb|a@u} t^v |bpa@}py x vzsut {~Èy

(241) Kb v `,{xu { av } at { b Çp{ ½xÌrKsut {r uyz|rK{ ut { ÈaVÎ b|s acpy su³xRv a {G}a@xÌv b|t {` v

(242) KÇ t Ç b|a x y Ç

(243) Ca yzpÇ xu{ g[â â_t öæ ! v t ÉÌp{ Ìt r { pb!{ý a pá b!{ yz{ t { |b|{ rKs { y Ç

(244) Ca yz|Ç xurK{k g,â rK%s â_ö&suæ ! t!{~rKQs } {~b!pt|a@t y rK { y r Ç

(245) Ká a yÝpÇ xu{nò |bpa á ` b! {n} t a@su`Ì yzpb!{ª{ rKQt { s } rKs bÐ¹xÌ{ªt b!Ç xRa@}pv y t ` b u{ t r È³y y utsuù b } acy { {^t } ¹ua@ùrKsÌyz|t b|{ #R{ t!t|rKÌt;{®ßÌv ` t Çº a v bBt xu{ y Ç

(246) Kua t yÝpr Ç xu{ vÒsu|bpt a ` b! uv Æ t a s v ùb!{ È³v yÒ{~b p{ È³` Ìt r xuÇ y rKuur@{ ut y s Ç

(247) Cva syzpÇ t xu{t|sÌpv b|a t ` bÐ ` s v

(248) KÇ t Ç~bprKa { Ö { y Ç u

(249) Cta suyÝp Ç txu{ {³} rK|bpa x |{ ` È³b!` t¹Tur@su{t x x r@uurKut xuÖ y %Ç { b!Ö { { t } b!b!Ç yz~b| { a t ` rK

(250) Ks Ç bgÇ È bparK |ß b|{ b{ v }{ß&y t }~p{ { b } a {ªx y Æ Ç a

(251) Ca v yÝpÇ t xu{¦u|bpt a Ìr t ` r b!t ý { t # } b|yÝ~rKb|{s t ur@sut `,u{ t b!È{r ||{ v t a vÒr b t xu{¦ È rKs |b|t { bÖ ts su s {ÿ Ç $

(252) C#Ra ôv yzpÌÇrKxusu{t pbpa ` rKÌb!tv { t ÍKÇ~t!b|suy v Ç {³t³` r b}~{ subÐt a@y ut³È v x á { xu{ È³Ç } a sÌyÒ Ö { ac|y r@|s yÒÖ {Xt Þ v t Ç~p{ x { b!vzÇr pacá ÉÌs|{ t r xua # t {¦} a@ùyÝs pb|+{ x {u`Rtnacvb!³` t bxÌv { y Ç

(253) Kua t yÝprKÇ xu$3{ #Rg, â â_öæ !

(254) Ca@b!yz ÈyzÖ { È xÌy Ç~{ {~ªx a pb!{ºùa@b!ªxRa {}a xu{ a xuyzÈ{ y y à rKyÒs { sJvzrK a

(255) xu{} {~!p{ á s t {v urKsuut t Ô acv y t|r@r@uvÒt v b!Ç Ô Ç rKb! { Ó }~{ ua r sv yÝÍb|t { @KTq ' , á !$#jt i * ' !$v i , qUCrcø g,â â ö&æ ! ')"* .l!$$0C'*!DI)K@ , ` É yÒÇxua a^} {~}~|y a b|a@Èa {~ Ï {xu{ a } yÒÇpÇ ý Ñ ac vá Ç Èac|yÒÖus q {xu{ t ê bpa }~{ 9 Í r yÒb

(256) 5 / ý ËKv Ë v½$; ë } { vÒs y ø } yÓÇpÇnÇ }~b|yz { } rKvÒv a@É ê r bpvÒrac|y rK aÍ@{ } Ç~} y %{ ý Z_å \ v_ù Ç ÉRa pyz{ ×nöØX=õ ]^[r Úæ Æ Î|a y ]Ø üØ ` t r yÒ{~b|b|r k{ a_ â_t_ç cds^[Úò æ[î r b!r { ó2Ø q öÚä\æ,t ç s Ïb|y Ó â r æ[Ú&íâ v {~A t eb!{à

(257) rKbÐsu Ï vzrKg[su=õ t ]æ[ò üuüut æ[Úur xu{ x sÌt }~ t bpa Ô x t³acÔ É b|act yÒs b|{ xu{ ac |y t pyÒÖ á {;{ t b ÉRacÉuy v yzpÇ xuu{ rKsut { r@{ ut ÈGvzÉÌv b|{ { v t b!Ç Ç b!{ rKu}~{t a@yzr@|{ ut a ß t xuá y %rÇ b!{ t } a@s ùyÝpb|t { xÌ{} { yÝÍ&b!{ `%{~b|È³{~!pb x a Ç

(258) K{ b { xuÇ È pbpa py xÌ{ Ç ò b"t ~È{ t!suvÇ xÌt³yÒÇ r yz} y sut ut á t t!rK t t t|rKsÌtÔ<r á t t{ |t { { pyz{ b!vzÇ v { È³p{ ac y ÉÌxu|Ç { `,{ xuaxu a tv {}~t{~!sup{üt xu { t { a s pb|{ t ù b!ý Ç { { bÐ a@pÇy ut aÏCa b!Ô a@Èyz {5v xu r {¦ÉÎ!} {~a@ùx yÝ psub! { { ` s É v yÒ}a v pyt r@;9 á rKs xÌ{ t!t rKs È³ y t|t y rK urK ÇpÇb|Ç~xuy

(259) KÇ t { a

(260) v acy t { t!rK ªy ut Ç~b|Ç tªt!rKsutªÔ<r b|È³{ x acb!pyz} { } a@ùyz|b|{ Ä ³{H >4; . 2. +.

(261) . Ã . . . . . . . Ã . Ã Ã ¼ ¶ Ã

(262) Ã . é Íca æ[åíä\öa x ý Ïb|y vù â æ[Úíâ 6D6* E8

(263) a$

(264)

(265) 8. à á {` s b|` rKt { r@Ô á y t r b 0 y t r { t a@É v y t á t!r È³{³`,{ bÐ s b!ÉRac|y rK b|{ t|suv t^Ô<r b t `,{ }pb|a v

(266) C a@` t r ùr@b r x s t|}~t!r{ t!r È{n{ßÌrHa@È³u`rK&v { ø t rKr@ ÔXsu É rKsuá xÌt { t;x tt ùy t!Ô t Ï t |{ È t t wyz á {v a@b!{ t { y&

(267) ás É r@v s b ysu p{~Ô<bpr a@}py v a #R }~y ac|t!{ s xt trcÔ á } v ÍK{®ß8` a { rKsuacp y Ïy

(268) HrKa `,{ rK}upbpt a à

(269) Cá a@`)t y { Ö a yzv ÂÏ t á suy tGb|t È á r Ïy á acºyÝp {á {b|É { }~{~{ b!{ t| sÌv{ t acÉ!pÏ yÒ}~{â_a îNx]ä\É ã½Ø 9 txR{~ac{ b!Ï

(270) } r@t PxÌPyz p; y Væ[ ö&üÌüu{ æ[Ú {^{

(271) ßÌ)ªa@{ È³v P` P@a { ×ª â_ã s ä\åv æRØXç t l Væ[ ö&üuüÌæ,s Ú vz

(272) v /8)á P.rKPKv a Ô<r /8)Ô PPcÉ v r@tBrct Ô`,{ }á pbpta v t

(273) Cacá ` t a r x vÒr

(274) Cacr@b| yz á È³á yÒ}sug,t!â s v â_ör@æ &! ø y {~Ö a yÝpyÒ{ }a a@}~ a Ï x b a@È³y yz{ ` a { a 0

(275) É,{~Ï x¨ { a } ÍK{ß&à yÝr ÂÏ¦ acwr y $#us yzÂÏr á t!suv tBr@Ô á t Ìv sut # t t &Ô<r@vÒvÒr

(276) v y pb x }~{ª {b|{ y `Ra@`,{ b { b xu{ } b!yÒÉ,{ wy

(277) )ª{ PP@a á á { t ùy t Ï t |t { È tÔ<su¹ { wr@ y vÒv yt| t!ÍKr { t py&

(278) Cacp{r ý¹#RrKÌ t yÒxÌ{ t|bs át {È³{a t|s b!{J9{Ô<ß&r ` (−Φ (X))dX r } p y a ~ } y c a | . { x a z y p { É ~ { b { b!{ Φ y a Λy Z d ∈ N ;ªa x¨ t|r È³{ ω ∈ R á yÒ} á xÌ{ #R { t á {É rKsu xua@b!Ï¨} rK xuyz|y rKut àá { Ô<su }py rK Φ á a t á { Ô<r b|È ÌÔ<r b X = X ∈ R 9 á { b!{ |Λ| y t á {}acb|xuy a v½r@Ô Λ; Õ . . d. Λ,ω. Zd. Λ,ω. Λ. |Λ|. . ΦΛ,ω (X) =. á { b!{. Λ,ω ∗. X i∈Λ. ψ(xi ) + J. X. V (zi − zj ). {i,j}∩Λ6=∅, i∼j.

(279)

(280)

(281) . . . Ô x yÔ i∈Λ X = (x ) z = y Ô<sui ∈/ ΛrKut . t ω Ý v ø Ò v s {~x t }~t py b|t|{ t|s `,{ }~|yzÍ@á { v Ï¨}a vÒt v {~x t!Ô 01 ,2ªa x[ ) #D!D ' ) ψ a x V a@b!{Gb|{ a Íca $0 !$#&CD! ) #$,BÉ,{~ Q{ { yzp{ ,2{ºa È{^ ac V ac|y Ï 9 ÄÝÄN; kV k < ∞. u t á á É rKs b t y Z a a x @ a | b { ~ { y

(282) i ∼ j È³{a j i J y t a` rKt yÝpyÝÍK{^b|{ a v `Ra@b|a@È³{~p{~b 9 á {} rKs ` v y

(283) } rKut a ; 5 t|t!s È³{n á acZ á { b|{n{ß&y t t J > 0 t|s } á á ac Ô<r b a Ï J y [0, J ] a Ï #R yz|{ t|s É t {~ Λ r@Ô Z a x ω y R á {y p{

(284) @bpa v½rcÔ {ß&` (−Φ ) rK R y t #R yÝp{ éÂ á y t }a t { xu{ #R { á {ùb r ÉRa@Éuy v yÝÂÏÈ³{a t!s b|{ µ a t~Õ 9 Ä Ê ; 1 {ß&` dµ (X) = (−Φ (X))dX, Z R {ß&` á { b!{ Z = t r v t (X))dX

(285) /8)bPPKa 9 t { {wa vzt|r

(286) )ª{ v PPKa ; àá {¹`Ra@b!|yÒ} suv a@b}a t { á {~b|{ àá y È xu{ y xu{ t } b|(−Φ z y % É ~ { x y t rKut 9 ÉCÏ v â_rKNî u]tä\ã½r@ÔØ 9 á t { { Ô

(287) rKt v PP $r@; Ô ψ(x) = ax − bxt a, b >t 0 ;Za x v V (x)t = x y } tÿÒxur@{~Ô b|{ x z v v r rùb ,ôÉu{a@Éuwy v yyzÂÏ y È³Í@{{ a t!|s y

(288) Cb|a{ pt { µ `,{ }psub|a y Ô<r