Inégalités de Sobolev logarithmiques pour des problèmes d'évolution non linéaires
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Texte intégral
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(31) l NiXl Å´²X¹ Å ikj ³¾±eº ±eiX² l ¯½±e²% lÒj ²X·°±eÃí·°Å´º ±e²XÃÁÅ´E²XÃ. É ²Xö¹e±£¯ ¼ Å´³1 ²XA®Xà ¼EE²Xà ·X¸¼E± ³´ ¸:¹e± à ·X±e® à ±e¹¯Òà E® ³`å ¸ ¯"®X·X±£·°±B¹ ± ¯ ž²X±eà ¸ Êj ® j ¯ÒžE²Xà lÒj j ® Ú j ·X¸ l ž¼A¸e±eà j ikjAl ¯"Å´± ³´³´± à ²XEiX² i ³¾Å´²X¸ j Å l ±eÃÚ3Ê®Xj Å}à i å j iXikjAil ±e² ¯Òl ± ²¯ j ® Ú ¸eÊ® j ¯"Å´l E²°j æ·X± × IÕkÌ ã ªóIÖÌ (FØ ? É j ²Xùe± ¯Á¯Ò± Å´² ¯ l ·X®X¹ ¯"Å´E² ²XE®°Ã²°E®Xà iXl i EÃÁE²Xà ·X± ikj ÃÁÃ"± l ± ² l ± ¼®X± ³´± Ãd¯Ò±e¹ÛÑ°²XÅ´Ê®X± à ±¯³¾±eà l ¸ Ã"®X³ê¯ j ¯"ÃO¹ E² ¯Ò±e²®X÷ j ²Xà ¹e±B¯ lÒj ¼ j ž³" gÆ E® l Å´³´³¾®XÃÁ¯ l ± l ²XA¯ l ± iXl i Eà V¹ E²XÃÁÅ´·X¸ l E²Xà ³Så ¸ Ê® j ¯ÒžE²:·Xž¯"±·X±eýº Å´³´Å¾±e® Ú l"j ²®X³ j Å l ± ÃdÈ ( Ù Ä ô* ∂u ·°Å¾¼ (∇u + u(∇V + ∇W ∗ u)), = ∂t. ¹ E ² ∗¼E± ·X¸ ± Ã"à ŠE¸²XE± ®°³³´jÅ´Ó ¹e± Eà ² ¼E()± A¯ ³´®°¯"Å´ÅE²0± ±e²1E® ³ j ¼ jA* l °Å j ï½»°E³´±¶®XÃD·æ²°å ±eEà ®XikÃ}j ¹ež² ±0¯Ò ¸ ±¯ ±eÃÁVÃ"± ± E¯ ²XÃW z·°ÃÁE±e² ÃD¯z¸ Ê·°® ±eæ¯ÒÇ)žAE²X²X¹ à ¯"Å´E³´²X®XÃà E¸ ²X¸ l"jÚ ³´± Ãl Ê®°±¦¹ ±el³´³¾±, ¹eÅæº iXj j Å´Ã}l ±e³´³¾i ±eà j l ® Wl E² ¯¯ÒE®°¯"±eîX² i Ež² l ¯¹eEº l ºI®X²NÅ´º i l ¯ j j ² ¯Èk³ j i ²XE² ³¾Å´²X¸ jAl Åê¯Ò¸ jAi°ikjAlÒj ¯ l"j ¯"E®ý¿ÁE® l Ã! N¯ lÒj ¼E± l ÃI®X²°±O¹ E² ¼EE³¾®°¯ÒžE² ò}±e¹ Å j ÃÁÃ"® l ±·X± à iXl iXl Å´¸ ¯"¸eà ·X± l ¸E®°³ jAl ž¯Ò¸¦·X±eÃÃÁE³´®¯ÒÅ´A²XÃdÊ®XÅg²XA®Xà i ± l º ± ¯"¯ l E² ¯·°±¶²XE®Xà ¹eA²X¹e± ²¯ l ± l ÃÁ® l ³´± ø ¯"®X·X±eà ʮ j ² ¯"ž¯ j ¯Òž¼A±eà i ³¾®°¯ / ¯Ê®°±ÃÁ® l ·X±eà l ¸ Ã"®X³ê¯ j ¯"à k²X÷æå ± Ú Å´Ã ¯Ò±e²°¹e±E®·å ®X²°Å´¹eÅê¯Ò¸·X± ÃÁE³´®°¯"Å´E²°Ã ô_å jAiXiXl ¹ÛÑ°± iXl E» j »°Å´³´Å¾ÃÁ¯"± j ÃÁÃ"¹eÅ´± :¹e±¯"¯"±O¸ Ê® j ¯ÒžE²G®X² i°l ¹e±eÃÁÃ"®Xæ·X±£×0Ì Î&Í&FØ ? ]Ê®X± ³Så E²7Ê® j ³¾Å k± lÒj ·X±1²°E² ³¾Å´²X¸ j Å l ± D·XA²¯³ j ³´AÅd±eà ¯ Ã"A³´®°¯"Å´E²=·X±0³`å ¸eÊ® j ¯"Å´E²7·æå ¸ ¼EA³´®°¯"Å´E² ( Ù Ä ô* ò}± iXl ¹e± Ã"Ã"®°ÃÊ®XÅaÃ"± l"j ¯"E®ý¿ÁE® l Ã_²XA¯"¸ (X ) E±eà ¯}³Så ®°²XÅ´Ê®X±KÃÁE³´®°¯"Å´E²¶·°±½³Så ¸ Ê® j ¯"Å´E²:·XÅ ¸ l ± ²¯"Å´± ³´³´±íÃÁ¯Ò¹ÛÑ j à ¯Òžʮ°±ÃÁ®Xž¼ j ² ¯"± È t t≥0. . Xt = X0 +. √. L(X t ) = ut (dx). 2Bt −. Z. t 0. ∇V (X s ) ds −. Z. t 0. ∇W ∗ us (X s ) ds. ³ · L(X² ºO) ž·Xʸ ®XÃ"±OÅAʲX®X±DÅ ³ j ¸ ³´EEžů·X³S± å ¸X¼EE³¾ ®°# ¯Òžl EA²3¹ ± È í³ ¹ ± ¼ ¯Á¯Ò±DÅ Ç) »Xl ³´ºI± ®X³³¾j¸ ¯ÒÅ´¯"AE² Å ± E²I¹ EÃeº å Å´iX² ¯"l ±± ²X·¶Ó ®X¯"² ±i ¹ ±eE®¶ºOº º Å´± ±e® ³ Ú ¼j ž¯"±eÃÁ Ã"±Ij ·æå ®X² ikj l ¯Òž¹e®Xl ³¾±¦Ê®XÅ Ã"®X»°Å¾¯d®°²X± j Ej Åê¯ j j ¯"l Å´Ej ²B» l 6j [²°j Å´±e²°l ²X± fX®X²X±zÇ) l ¹el"±¦i°l ·X± lÒj iXi ± ³ ¼A± l j à ³¾±ºOž²XÅ´ºI®°º ·°± V ±¯®°²X± j ®°¯ l ±Ç) l ¹ ±·X± lÒjAiXi ±e³]Ê®XÅ]·°¸ i ±e²X··X± ³ j ³´AÅ) ¶³`å Å´²Xà ¯ j ² ¯ t t. . t. t.
(32)
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(36) . . dXti,N. =. √. 2dBti. − ∇V. . (Xti,N ) dt. . N 1 X − ∇W (Xti,N − Xtj,N ) dt N j=1. i E® l i = 1, . . . , N. ô]±eÃ_¼ jAl Å j »X³¾±eà j ³¾¸ j ¯"EÅ l ±eà (X ) ÃÁE² ¯}ž·X±e² ¯ÒžʮX±eº ±e² ¯V·XÅ´Ã ¯ l Å´»X®X¸ ±eÃc·X±³´AÅ u Å´²X·°¸ i ±e² · j ²¯"±eà ± ¯ ž²X·X¸ i ±e²°· j ² ¯Ò± ÷X± à º E®°¼A±eº ±e² ¯Òà » l 6[²°Å´±e²°Ã (B ) cô_å ¸ ¼AE³´®°¯"Å´E²3·æå ®X²X± ik®X²°j l± ¯ÒžÇ)¹e ®X¹e³¾± ±ik·°jA± l ºOÅ N±e³]± ÃÁž¯V²X·X¯ l®XÓeÅêÃc¯Ò± Ç j ¹ež³´± ¹e±E¯º ±eÃÁiX¯ l ±e²X¯Á·¯ÒÅ l ±¦¸e± È ± ³´³¾¹ ±KÃ"®X»XÅê¯V±e®Xà ²X¯ ± j EŠž±¯ j ± ¯Ò¯Å¾E¹ ²IE² » ¼El ±[± ²XÅ´± ²X¼A²X± ± à ³¾±eà j ®°¯ l l ± à iXjAll"¯"jAÅ´iX¹ei®°³´±eà iXjAl ³`å Å´² ik¯Òj ± ll º V¸e·XÅ j Å l ±¦·°j ± Wl &ò} ± jAà l à W¯ÒÓ ºO± ±eikà j¯ l iXl ¸eÃÁ±e² ¯z»Ú ± j ®X ¹eE® l i i³¾±e³¾Ê®X®XÃD±eÇ ³]j ž¹ ³Å´³´± ± ÃÁ¯ ¶·X¸¸ ¯Ò k®X²°·XÅ]ž± ±el ÃÁ¯4Ê®X ±³`²Xå ¸e·Xʱ0® j ¯"Å´E²N·X± ·X¸ ikjAl ¯aº ºO±ÃÁÅ]³ j ·XÅ´º ±e²°Ã"Å´A²:·X±¦³Så ± à ikj ¹e± Ã"® l l"j Ù·X¸ ²X¹ ¯ al Æ ±AÇ ®j ®°¯ ¹ ª±ež³°³ Ê®Xž³æ±½Ç ¹e± ®°¯Á¯ ¯Ò±¯ Ã"ž± º ¹ i ³´Å X¹ »Xj ³´¯"± Å´E·X² ±jAº iXi E² l¯ ¯"±½± ®°Ê²X®±å ®XÅ´²°²°Ç)± l º j ¯Ò¯ÒžŴ¹eA®X²z³¾±Ã"® · l ³¾²X± ýiX®Xl E²»°Ã ³´Óeº ÃÁ¯ÒÓ ±DºO·X±± ·X± ik jAl"l j ²X·X±:¯ l j Å´³¾³´± j l ± Ã"j Ã"± ºI »X³¾l ± jjA® iXj iXl ¹ ±eÃÁÃ"®XÃO²XEl ²3l ³´Å¾²X¸ j Å l ±0 _ik¬jA®Xl Åê¼EE²°Ã ®°²Xj ± iXjAl ¯"Å´¹e ®°³´± j ® ÃÁ±eÅ´²:·å ®X²Nà  à ¯ÒÓ ºO±·X± i ³´®XÃD± ² i ³´®Xà lÒj ²°· kçd² i ± ®°¯Kº E² ¯ l ± l Ê®X±Ã j ³¾EÅa¯Ò±e²°·N¼A± l ý¹ ±e³¾³´± ·æå ®X²X± ikjAl ¯ÒÅ´¹ ®X³´±²XA²³´Å¾²X¸ j Å l ±0 É å j ®°¯ l ± iXjAl ¯ÃÁÅf³Så A²¹eA²XÃ"ž·XÓ l ±·X± ® ÚikjAl ¯"Å´¹ ®X³´± ÃV·°E²X²X¸ ±eà ³¾±e® l Å´² ¯Ò± lÒj ¹¯ÒÅ´A²£ºI®°¯"®X±e³¾³´± Ã"±íÇ)A²X ·:· j ²XÃ}³ j º j Ã"ÃÁ± fȱe³¾³´±eÃÀ·X± ¼Å¾±e²X²X± ² ¯Å¾²X·X¸ i ± ²X· j ² ¯Ò± à ò}± i ÑX¸ ²XEº Óe²X±0 j iXi ± ³´¸
(37) j ³´Å¾±e®N·X±º j ²°Å´Ó l ±d¯ l ÓeÃ4E¸e²X¸ l žʮ°± i E® l ·X± ø Ê® j ¯ÒžE²XÃÊ®X±z²°E®XùeE²°Ã"Å´·°¸ l A²Xú j žà j ®XÃ"ÃÁÅ i E® l ¹ ± l ¯ j ž²X±eý¸eÊ® j ¯"Å´E²°Ã½·°± ËØ Ö& ;¹ dEÌ ² ã ¼E± ã EiX±ejA²°l ¹e±e± ÃÚ ±e¹ ºÅ ·Xi ±e³´±0ÃÁÃ" ®X٠ò1E² Ç j¯íž¯³¾Å´]±e®³Så ž² ¯ÒE± ® lÁiXl³´± ¸Ã¯ j ¯"Å´E² ¹ ±eiXÃÁÃ"l ®XEÃd» j ÃÁ»°® Å´³´Å¾·°ÃÁ¯"±e± ÃíjAž² iX¯Òi ± ¼l ¯"±O³´³¾±e± ÃK²X¹e·X ±l ±¯Ò±eiº ³¾®Xà ý»fÈ ³¾±eà ²X¸ Ãd± ¯íl ²XE² iXj Ãí®X²°Å´Ê®X±eº ±e² ¯ i E® i l ³´± Ãíl ³¾EÅ´Ã iX Ol ®X²Å¾²XÃÁ¯ j ² ¯ l t ïA¯"E²Xl ýj¯ÒE®°¯"± Ç)EžÃÊ®X±0i i E® l l ³ ³´® ¯ ·X± à ³´Å¾¹ ¯"Å´E²Xà ÃÁ±e®X³c¹eAº ¯"±¶¼ Å´º ±e² ¯³´±¶¹ Eº ¯Ò± ºO± ²¯·X± E® ®X² ž²XjNÃÁi¯ j ² ik¯ j tl ·°E²X²X¸0jA ai°òíi å ± ÃÁ¯ j i E® l Ê®XAÅæ²XE®Xà ii°l ž¼Å¾³´l"¸j AÅ´± l E²XÃÀ³´±eà l ¸eÃÁ®Xi ³¾¯ lj ¯Òà X²XÃK·X±¹euA²¼Ai ± l E±el ²X¹ ± j ®N²XÅê¼E± j ®·°±eó´EžÃDº jAl Ež² j ³¾±eÃD·X± à iXl ¹e± Ã"Ã"®°Ã ¦ø
(38) Eü fúùýöú(ûQø 5þ ü )cö 1ü &ùýüü H û)ùýû ü ï½Eà ± ºOž± à ¸eÃÁ®X³¾¯ ¯ÒÃK¹ E²X¹ ± ²°±e² ¯í³ ¹eE² ¼A± A±e²X¹ ±z·X± ³ º ±eÃÁ® ±± º ŠžʮX±d·X®Bà à ¯"Óeº ±0·XiX± l ikjAl ¯"lÅ´¹ ®Xl ³´± à ½ïj E®°Ãº E² l ¯ l A²XÃ4j l ¹e± j l ®-¹ l ž¯ÒÓ l ±0·Xj ±1¹ E® ll »°® l ± i ·°l ±[Ë½Ì ÍgÎÏ Â ± ¯ <;ÕaÎÏ Ê®XŽ±eÃÁ¯O®X²¹ Åê¯ÒÓ ±·°±¯ ±¹eE² ¼A± ž¯"¸ cÊ®X±³¾±BÃÁ±eº Å E® ± ·X® à  à ¯ÒÓ ºO± ·X± ikjAl ¯"Å´¹ ®X³´± ÃK·XlÅ f®XÃ"l Åê¼E± ñ ²ÂiÅ´² ¯"± lÒj ¹ ¯ÒžEÚ ²N·X± ¯ Âi ±¹ÛÑ j º i º l ±e²Ni ¼E¸ l (PÅ k±¦)®°²X±¦Å¾² ¸ j ³´Åê¯Ò¸ ·X± aØØgÖÕQ?³´ jAl Åê¯ÒÑXº Å´Ê®X±·°E² ¯³ j ¹eE²Xà ¯ j ² ¯"±¶²X±I·X¸ i ± ²X· ikj Ãd·°®²XEºI» l ±z·X± ikj l ¯Òž¹e®X³¾±eÃ É ¸ X²XÅ´ÃÁÃ"E²XýŴ¹ Åæ³`å ±e² ¯ l i ž±·X± ³ j Ç)E²°¹ ¯ÒžE² f ikjAllÒj iXi l ¯ ®X²X± º ±eÃ"® l ± µ È Ù ² ¯ f := Z f log f dµ − Z f dµ log Z f dµ. çd² j j ³´ l à i E® l ¯"E®°¯"± Ç)A²X¹ ¯"Å´E²NÃ"® Oà j º ºO± ²¯ l ¸E®X³¾Å´Ó l ± Ù ² ¯ f ≤ C P |∇f | . . L(X0i,N ) = X0i. . i 0 1≤i≤N. 0. i . 1≤i≤N. . . . .
(39) . . . t. ( . . ( . . . . N. t. 2. µ. 2. 2. 2. 2. 2. . Pt N. 2. t t. N. 2. t≥0.
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(41) .
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