Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Vecteurs de l'espace 3ème Mathématiques
Dans tous les exercices l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k)
r r r
Exercice 1
On donne les points (1 , −1 , 2) , (3 , 1 , −2) , (−5 , −7,14) et (2 , 1 , 3). 1) Les points , et sont-ils alignés ?
2) Déterminer les coordonnées du point tel que = 2 + Exercice 2
Soit un parallélépipède, et les milieux respectifs de [ ] et [ ] 1) Faire une figure.
2) a) Montrer que l'on a : + + =
b) Montrer que l'on a : − + + = Exercice 3
On donne les points (3 , 2 , 0) , (0 , − 1 , 2) et ( 5 , 1 ,0). 1) Déterminer les coordonnées des vecteurs et
2) Montrer que les points , et ne sont pas alignés.
4) Déterminer les coordonnées du point centre de gravité du triangle 3) a) Déterminer les coordonnées du point milieu de [ ].
b) Retrouver les coordonnées du point Exercice 4
Soient les vecteurs ! " + 3 5 1 # , $ ! −1 " − 3 1 # et % ! 1 1 1# avec " ∈ ' 1) Calculer ()*+ , $ , %,
2) En déduire les valeurs de " pour les quelles les vecteurs , $ et % sont coplanaires Exercice 5
Soient les vecteurs = - + . − / , $ = −- + . + / et % = - − . + / 1) Montrer que 0= + , $ , % , est une base de l’espace
2) Soit 1 2 3
45 déterminer en fonction de 2 , 3 et 4 les composantes du vecteur dans la base
0
Exercice 6
On considère les points (1 , −2 , −1) ; (3 , −3 , −2) ; (0 , −3 , 1) et (1 , 1 , 1) 1) a) Déterminer les coordonnées du point milieu du segment [ ]
b) Soit le centre de gravité du triangle , déterminer les coordonnées du point 2) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2 Exercice 7
On considère les points (0 , 1 , −5), (−1 , −2 , −1) , (1 , 0 , −5) et (0 , −3 , −1) 1) a) Montrer que les points , )* ne sont pas alignés
b) Déterminer les composantes des vecteurs , et c) Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme
2) Soit (2 , 3 , 4)montrer que , et sont coplanaires ssi 2 + 3 + 4 + 4 = 0. Exercice 8
On donne les points (1 , 1 , −1) , (1, −1 ,2) , (3 , 1, −1) et (2 , 1 , 1) 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , ,
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés 2) a) Calculer (é*+ , , ,
b) Que peut-on conclure ?
3) Déterminer les coordonnées du point tel que 2 = − + 3 Exercice 9
Dans chacun des cas dire si les vecteurs 7 , 8 et 9 sont coplanaires ou non 1) 7 ! 1 −1 1 # , 8 ! 2 1 −1# et 9 ! 1 1 2# 2) 7 ! −1 2 3 # , 8 ! 3 −1 1 # et 9 ! −1 1 2 # 3) 7 ! 0 −2 4 # , 8 ! −1 −1 2 # et 9 ! 1 −3 1 # Exercice 10
on considère les points (2 , 1 , 0) , (0 , 1, 1) , (0 , 3 , 2) et le vecteur 7 !00 1#
1) Démontrer que les points , et ne sont pas alignés
2) Montrer que les vecteurs , et 7 ne sont pas coplanaires.
3) Déterminer les coordonnées du point : dans le repère + , , , 7,
Exercice 11
On considère les points (0 , −1 , 0) ; (1 , 1 , 0) ; (0 , 0 , 1) et (−3 , 3 , −2) 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , , et
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés 2) Montrer que le triangle est rectangle
3) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
b) Soit (2 , 3 , 4) montrer que , et sont coplanaires ssi 22 − 3 + 4 − 1 = 0 Exercice 12
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3 On considère les points (1 , 2 , 3) , (−1 , 3, 0) et (−2 , 2 , 5)
1) a) Déterminer les coordonnées des vecteurs et
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés
2) Déterminer les coordonnées du point pour que soit un parallélogramme 3) a) Calculer les coordonnées du point milieu du segment [ ]
b) Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle c) Déterminer les coordonnées du centre de gravité ’ du triangle d) Vérifier que est le milieu de [ ′]
4) Dans la base +- , . , /, on considère le vecteur 7 ! −4
1 3 # a) Calculer (é* + , , 7,
b) Justifier alors que le triplet + , , 7, est une base de %
c) Déterminer les composantes des vecteurs , et dans la base + , , 7, d) Déterminer les coordonnées du point dans le repère + , , , 7,
Exercice 13
On considère les points (−1 , −1 , 3) , (2 , 1, 0) , (1 , 1 , −3) et (1 , 2 , −1) 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs , ,
b) Montrer que les points , et ne sont pas alignés 2) a) Déterminer les coordonnées du point = ∗
b) Déterminer les coordonnées du point centre de gravité du triangle 3) a) Montrer que les points , , et ne sont pas coplanaires
b) Déterminer les coordonnées des points , et > tel que = + , = − 3 et
> = + 2 − 3
