T zD : Transformation en z Directe

On appelle Transformation enz Directe (T zD) l’application lin´eaire : Z : he 7→H

qui fait correspondre `a un signal h_e en temps discret la fonction ou dis-tribution H complexe, de la variable complexez, telle que :

H(z),P∞

k=−∞h_kz^−k ; z ∈ RDC de H .

On a donc H,Zh_e et on note parfois H,Z[h_e(t)].

Par cons´equent : (Zδ_k∆)(z) = z^−k. De mˆeme :

H_p(z),(Zh_{e p})(z),P∞

k=−∞h_{p k}z^−k et H_i(z),(Zh_{e i})(z),P∞

k=−∞h_{i k}z^−k. Alors :

235. pp. 17-37 236. Ch. 2 pp. 45-86 237. Ch. 10 pp. 629-683 238. pp. 257-262

239. 6. A. D. Poularikas. pp. 387-462 240. pp. 1961-1962

241. Ch. 3 pp. 94-139

242. Z-transform7 pages, Control Systems/ Z Transform Mappings4 pages 243. Chapitre 2 pp. 45-86

244. Ch. 10 pp. 629-683 245. pp. 17-37

246. p. 1961 ; il faut noter que 2 transformations sont d´efinies : enzet enZ; ce qui n’est pas tr`es clair

H = H_p+ H_i.

Soient H_R(z), H_pR(z), H_iR(z) et H_I(z), H_pI(z), H_iI(z) les parties r´eelles et imaginaires respectives de H(z), Hp(z), Hi(z) respectivement. Alors :

H = H_R+iH_I, H_p = H_pR+iH_pI, H_i = H_iR+iH_iI.

Cas particulier des signaux en temps discret r´eels Posonsz =ρ e^{i θ}; ρ >0,θ ∈]−π π]. Alors :

HpR, HiR et HR sont des fonctions ou distributions de θ paires.

H_pI, H_iI et H_I sont des fonctions ou distributions de θ impaires.

Et en particulier si ρ= 1 :

H_pR(e^{i θ}) =h₀+ 2 P∞

k=1h_{p k} cos(k θ) fonction oudistribution de θ paire H_pI(e^{i θ}) = 0

H_iR(e^{i θ}) = 0 H_iI(e^{i θ}) =−2 P∞

k=1h_{i k} sin(k θ)fonction oudistributionS de θ impaire H_R(e^{i θ}) = H_pR(e^{i θ}) fonction oudistribution deθ paire

H_I(e^{i θ}) = H_iI(e^{i θ}) fonction ou distribution θ impaire

H_p(e^{i θ}) = H_R(e^{i θ}) = H_pR(e^{i θ})fonction oudistribution deθ paire H_i(e^{i θ}) = iH_I(e^{i θ}) =iH_iI(e^{i θ}) fonction ou distribution deθ impaire H(e^{i θ}) = H_R(e^{i θ}) +iH_I(e^{i θ}) = H_p(e^{i θ}) + H_i(e^{i θ})

15.1.1 Lien avec la transformation en z modifi´ee

Si le signalh_e entemps discret correspond `a l’´echantillonnage du signalh en temps continu on constate que :

H(z) =zH_mod(z,0) ou que (Zh_e)(z) =z(Z_modh)(z, 0).

15.1.2 R´egion De Convergence (RDC)

P1La RDC consiste en un anneau du plan z, centr´e `a l’origine : Rh− <|z|< R_h+ (il peut arriver que Rh− = 0 et/ou que R_h+ =∞).

P2La RDC ne contient aucun pˆole de H.

P3Pour un signal entemps discret `a support born´e la RDC est le planz tout entier sauf peut-ˆetre z = 0 et/ou z =∞.

P4 Pour un signal en temps discret he tel que hk = 0 pour k < k0 si le cercle |z| = r₀ est dans la RDC alors toutes les valeurs finies de z pour lesquelles |z|> r₀ appartiennent `a la RDC.

P5 Pour un signal en temps discret h_e tel que h_k = 0 pour k₀ < k si le cercle |z| = r₀ est dans la RDC alors toutes les valeurs de z telles que 0<|z|< r₀ appartiennent `a la RDC.

P6 Pour un signal entemps discret `a support born´e si le cercle |z| =r₀ est dans la RDC alors la RDC consiste en un anneau du plan z qui inclut le cercle pr´ec´edent.

15.1.3 Stabilit´e

Le signalh_eentemps discret eststable (cf. Stabilit´e des signaux en temps discret) ssi le cerccle unit´e appartient `a la RDC de H.

D´emonstration

Si|z|= 1 alors |H(z)|6P∞

−∞|h_k| |z|^−k=P∞

−∞|h_k|<∞ QED.

Rappel : si le signal h_e en temps discret est causal et stable les signaux h_{e p} et h_{e i} en temps discret non causaux sont stables et par cons´equent le cercle unit´e appartient aux RDC de Hp et Hi.

15.1.4 Exemples

Exemple0e : (Zυe)(z) = _{2 (z−1)}^z+1 ;Rυ−= 1 <|z|< Rυ+=∞. On constate que le cercle unit´e n’appartient pas `a la RDC. On v´erifie que :

(Zυ_e)(z) = z(Z_modυ_e)(z, 0).

Exemple 1_e : H(z) = _{(z−q) (z−q}^(q−q−1)z−1); Rh−=q <|z|< R_h+ =q⁻¹

(avec 0 < q , e^−a∆ < 1). On constate que le cercle unit´e appartient `a la RDC. On v´erifie que H(z) =zH_mod(z,0).

Exemple 2_e : (Zχ_e)(z) = _zN−1^zN−1(z−1); Rh− = 0 < |z| < R_h+ = ∞. On constate que le cercle unit´e appartient `a la RDC. On v´erifie que :

(Zχ_e)(z) =z(Z_modχ_e)(z, 0).

Exemple 3_e : H(z) = ^{z−N z2−N+(N−1)z1−N}

N(z−1)² ;Rh− = 0<|z|< R_h+=∞. On constate que le cercle unit´e appartient `a la RDC. On v´erifie que :

H(z) = zH_mod(z, 0).

Exemple4_e: H(z) = ^zN−1

z^N−1(z−ω⁻¹_N );Rh− = 0<|z|< R_h+ =∞. On constate que le cercle unit´e appartient `a laRDC. On v´erifie que H(z) =zH_mod(z, 0).

Exemple 5_e : H(z) = _{(z−q) (z−q}^z2−1 −1); Rh−=q <|z|< R_h+ =q⁻¹

(avec 0 < q , e^−a∆ < 1). On constate que le cercle unit´e appartient `a la RDC. On v´erifie que H(z) =zH_mod(z,0).

Exemple 6_e : H(z) = _{2 (z−q)}^z+q ; Rh− =q <|z|< R_h+ =∞

(avec 0 < q , e^−a∆ < 1). On constate que le cercle unit´e appartient `a la RDC. On v´erifie que H(z) =zH_mod(z,0).

Exemple 6 bis_e : H(z) = _z−q^z ; Rh− =q <|z|< R_h+ =∞

(avec 0 < q , e^−a∆ < 1). On constate que le cercle unit´e appartient `a la RDC. On v´erifie que H(z) =zH_mod(z,0).

15.1.5 Liens avec la transformation de Laplace Consid´erons l’application :

f : p ∈ C7→z=f(p),e^∆p ∈ C.

Elle n’est niinjective car f(p±^{2k π i}_∆ ) =f(p) ; ∀k ∈ Zni surjective car z = 0 n’a aucun ant´ec´edent.

Cependant si on consid`ere la bande fondamentale B du plan complexe telle que :

B={p=σ+i ω∈ C | ω ∈ ]− _∆^π _∆^π]}, l’application : f : p ∈ B7→z =f(p),e^∆p ∈ C− {0}

devient unebijection.

Par cons´equent si z =e^∆p;z 6= 0 nous choisissons p= ^ln_∆^z o`u lnz ,ln|z|+i argz; avec argz ∈]−π π].

Alors on constate que :

H(z) =he_e(^ln_∆^z) et he_e(p) = H(e^∆p) = H(z), H_p(z) =hf_{e p}(^ln_∆^z) et hf_{e p}(p) = H_p(e^∆p) = H_p(z), H_i(z) =hf_{e i}(^ln_∆^z) et hf_{e i}(p) = H_i(e^∆p) = H_i(z).

15.1.6 Lien avec la transformation de Fourier hb_e(ν) =he_e(2π i ν) = H(e^{2π i∆ν}) = H(e^{i θ}),

hc_{e p}(ν) =hf_{e p}(2π i ν) = H_p(e^{2π i∆ν}) = H_p(e^{i θ}),

hc_{e i}(ν) = hf_{e i}(2π i ν) = H_i(e^{2π i∆ν}) = H_i(e^{i θ}), d’apr`es les liens pr´ec´edents.

15.1.7 T zD d’une convolution lin´eaire de signaux entemps discret Soienth_eetx_edeux signaux entemps discret etu_e=h_e∗x_eleur convol´ee lin´eaire, qui est un signal entemps discret. Soient :

H(z) = H(e^∆p) =he_e(p), X(z) = X(e^∆p) =xe_e(p),

U(z) = U(e^∆p) =ue_e(p) ; alors :

U(z) = H(z) X(z) ;z ∈ RDC de H∩RDC de X . D´emonstration

Nous avons vu (cf. T LD) que ue_e(p) = he_e(p)xe_e(p) ; par cons´equent : U(z) = H(z) X(z) ; z ∈ RDC de H∩RDC de X QED.

Exemple 6 bis_e ´etendu

Soient h_e le signal en temps discret causal de l’exemple 6 bis_e et x_e le signal entemps discret causal ´egalement de cetexemple, mais en rempla¸cant le param`etre a par le param`etre b (0< b). Nous venons de voir que :

H(z) = _z−q^z : Rh− =q <|z|< Rh+ =∞ (avec 0< q ,e^−a∆ <1). Donc : X(z) = _z−q^z 0 :Rx− =q⁰ <|z|< R_x+ =∞ (avec 0< q⁰ ,e^−b∆<1).

Par cons´equent :

U(z) = H(z) X(z) = _{(z−q) (z−q}^z2 0

); Max(q, q⁰)<|z|.

V´erification de cette derni`ere relation

On a vu que (cf. Convolution lin´eaire de deux signaux en temps discret causaux) que :

uk= (he∗xe)_k =

( 0 si k <0

q^k+1−q^0(k+1)

q−q⁰ si 06k . Par cons´equent : U(z) =P∞

k=0

q^k+1−q^0(k+1)

q−q⁰ z^−k = _{(z−q) (z−q}^z2 0

); Max(q, q⁰)<|z| QED.

Attention : si Y(z) = Y(e^∆p) =ye_e(p) ; avec ye_e=he_e~xe_e alors Y(z)6= H(z) X(z) car U(z) = H(z) X(z) et u_e6=y_e.

Cas particulier o`u h<sub>k</sub> = <sup>1</sup><sub>2</sub>[h(k∆−0) +h(k∆ + 0)]; ∀ k ∈ Z Alors on peut v`erifier que (h∗x_e)_e =u_e ,h_e∗x_e et

(h∗x_e)_k=u_k ,(h_e∗x_e)_k; ∀ k ∈ Z et on a le sch´ema suivant [20]²⁴⁸ :

248. pp. 31-32

15.1.8 T zD d’un produit de signaux en temps discret : convolu-tion lin´eaire p´eriodique

Soient he etxe deux signaux en temps discret et ze =hexe leur produit, qui est un signal en temps discret. Soient :

H(z) = H(e^∆p) =hee(p), X(z) = X(e^∆p) =xe_e(p), Z(z) = Z(e^∆p) = ze_e(p) ; alors :

Z(z) = ₂¹_{π i} H

γH(ζ) X(^z_ζ)ζ⁻¹dζ = ₂¹_{π i} H

γH(^z_ζ) X(ζ)ζ⁻¹dζ ; avec pour la premi`ere int´egraleztel que Max(Rh−, _R^|z|

x+)<Min(Rh+, _R^|z|

x−) et γ un contour situ´e dans l’anneau Max(Rh−, _R^|z|

x+)<|ζ| <Min(R_h+, _R^|z|

x−) et pour la secondeztel que Max(Rx−, _R^|z|

h+)<Min(R_x+, _R^|z|

h−) etγun contour situ´e dans l’anneau Max(Rx−, _R^|z|

h+)<|ζ|<Min(R_x+, _R^|z|

h−) [23]²⁴⁹.

Nous qualifions de convolution lin´eaire p´eriodique le calcul de Z(z) en fonction de H(z) et de X(z) [23].

D´emonstration de la premi`ere ´egalit´e

Nous avons vu (cf. Convolution lin´eaire fr´equentielle : cas de deux fonc-tions oudistributions complexes, d’une variable r´eelle, p´eriodiques) que :

zee(p),(hee∗xee)(p), ₂^∆_{π i} Rς+^{π i}_∆

ς−^{π i}_∆ hee(s)xee(p−s)ds; avec : s∈RDC de hee et p−s ∈RDC dexee.

Faisons les changements de variables p ∈ B7→ z =e^∆p ∈ C− {0} et s ∈ B7→ζ =e^∆s ∈ C− {0}. On constate que dζ = ∆ζ ds.

Etant donn´´ e que ze_e(p) = Z(e^∆p) = Z(z), he_e(p) = H(e^∆p) = H(z) et xe_e(p−s) = X[e^{∆ (p−s)}] = X(^e_e^∆∆^ps) = X(^z_ζ) on en d´eduit que :

Z(z) = ₂¹_{π i} H

γH(ζ) X(^z_ζ)ζ⁻¹dζ;

avec : Rh− < |ζ| < R_h+ et Rx− < |^z_ζ| < R_x+; ce qui impose que z v´erifie : Max(Rh−, _R^|z|

x+) < Min(R_h+, _R^|z|

x−) et que γ soit un contour situ´e dans l’anneau Max(R_h−, _R^|z|

x+)<|ζ|<Min(R_h+, _R^|z|

x−) QED.

La seconde ´egalit´e se d´emontre de mˆeme.

249. §2.3.9 pp. 63-66 ´eq. 2.46a et 2.46b

Remarque : on a ´egalement, en posantz =ρ e^{i θ} et ζ =r e^{i ϕ}, soit

Soient h_e le signal en temps discret causal de l’exemple 6 bis_e et x_e le signal entemps discret causal ´egalement de cetexemple, mais en rempla¸cant le param`etre a par le param`etre b (0< b). On a vu que :

H(z) = _z−q^z : Rh− = q < |z| < R_h+ = ∞ (avec 0 < q , e^−a∆ < 1). Et donc :

X(z) = _z−q^z 0 :Rx− =q⁰ <|z|< R_x+ =∞ (avec 0< q⁰ ,e^−b∆<1).

Consid´erons le signal en temps discret z_e produit de ces deux signaux : z_e =h_ex_e. Il est causal et tel que :

V´erification de la formule de convolution lin´eaire p´eriodique Soit I(z), ₂¹_{π i} H le premier est strictement `a l’int´erieur du cercle pr´ec´edent. Pour calculer le r´esidu en ce pˆole d´ecomposons la fraction rationnelle pr´ec´edente en ´el´ements simples ; on trouve :

H(ζ) X(^z_ζ)ζ⁻¹ = _{z−q q}^z 0 1

ζ−q+_z−q^λ0

ζ (λ param`etre sans importance). Donc :

250. p. 64 ´eq. 2.47

R´es [H(ζ) X(^z_ζ)ζ⁻¹, ζ₁ =q] = _{z−q q}^z 0.

Le th´eor`eme des r´esidus donne I(z) = _{z−q q}^z 0 = Z(z) et on a bien v´erifi´e que :

Z(z) = ₂¹_{π i} H

γH(ζ) X(^z_ζ)ζ⁻¹dζ; q q⁰ <|z|.

15.1.9 Th´eor`eme de la valeur initiale h₀ = lim|z|7→∞H(z),

`

a condition que la RDC de H s’´etende `a l’infini ; ce qui est le cas si le signal h_e entemps discret est causal etstable.

D´emonstration : ´evidente QED.

15.1.10 Th´eor`eme de la valeur finale lim_k7→∞h_k = lim_z7→1(1−z⁻¹) H(z),

`

a condition que le cercle unit´e appartienne `a la RDC de H.

D´emonstration Soit H_N(z),PN

k=0h_kz^−k. Alors z⁻¹HN−1(z) =z⁻¹ PN−1

k=0 h_kz^−k et : limz7→1[HN(z)−z⁻¹HN−1(z)] =hN.

Il suffit alors de faire tendreN vers l’infini QED.

Dans le document Opérations et transformations mathématiques en traitement du signal déterministe (Page 118-126)