4.4.1 Convolution lin´eaire complexe
La d´efinition de le convolution lin´eaire complexe de deux fonctions ou distributions complexes, d’une variable complexe, est diff´erente selon qu’elles sont non p´eriodiques ou p´eriodiques. Dans la suite soient p = σ + i ω et s =ς +i $ (σ, ω, ς, $ ∈ R) deux variables complexes.
Cas de deux fonctions ou distributions complexes, d’une va-riable complexe, non p´eriodiques
Soient eh et ex deux fonctions ou distributions complexes, d’une variable complexe, non p´eriodiques, avec leurs propres R´egions De Convergence (RDC) i.e. leurs propres r´egions du plan complexe dans lesquelles elles sont d´efinies et holomorphes33.
Alors leur convolution lin´eaire complexe z, not´e ee eh∗x, est lae fonction ou distribution complexe, d’une variable complexe, telle que :
ez(p),(eh∗ex)(p), 21π i Rς0+i∞
ς0−i∞ eh(s)ex(p−s)ds, 21π i Rς0+i∞
ς0−i∞ eh(p−s)x(s)e ds; avec : s∈RDC deeh et p−s ∈RDC de expour la premi`ere int´egrale et p−s∈RDC deeh ets ∈RDC dexepour la seconde.
L’une ou l’autre de ces int´egrales peut se calculer le long d’un contour ferm´e incluant la droites =ς0 et se refermant, `a l’infini, `a droite ou `a gauche en utilisant le th´eor`eme des r´esidus.
On peut ´egalement faire le changement de variable s =ς0 +i $ et donc ds =i d$ :
ez(p) = (eh∗ex)(p) = 21π R∞
−∞eh(ς0+i $)ex(p−ς0−i $)d$
= 21π R∞
−∞eh(p−ς0−i $)x(ςe 0 +i $)d$.
Ces int´egrales peuvent se calculer dans le cas o`u les int´egrandes sont des fractions rationnelles en les d´ecomposant en ´el´ements simples. Ces int´egrales doivent alors ˆetre prises au sens de la valeur principale de Cauchy.
Exemple : soient :
eh(p) = (p+2) (p−2)−4 ; avec uneRDC telle que −2< σ <2 et : ex(p) = (p+1) (p+3)2 ; avec une RDC telle que −1< σ. Alors : ez(p) = (eh∗ex)(p) = (p+3) (p+5)2 pour −3< σ.
33. ou analytiques
D´emonstration
ez(p) = (eh∗ex)(p) = 21π i Rς0+i∞ ς0−i∞
−8
(s+2) (s−2) (p−s+1) (p−s+3)ds; avec :
−2 < ς0 < 2 et −1 < σ −ς0; ce qui impose −3 < ς0 − 1 < σ. Par cons´equent :
ez(p) = (eh∗ex)(p) = −4π i Rς0+i∞ ς0−i∞
ds D(s);
avec D(s) = (s+ 2) (s−2) (s−p−1) (s−p−3) ; soit
D0(s) = (s−2) (s−p−1) (s−p−3) + (s+ 2) (s−p−1) (s−p−3) + (s+ 2) (s−2) (s−p−3) + (s+ 2) (s−2) (s−p−1).
Les pˆoles de l’int´egrande sont simples et ´egaux `as1 =−2, s2 = 2,
s3 =p+ 1 ets4 =p+ 3 et leurs parties r´eelles sont respectivementς1 =−2, ς2 = 2, ς3 =σ+ 1 etς4 =σ+ 3.
Pour calculer l’int´egrale pr´ec´edente :
•si 1 6σ choisissons ς0 = 0,
•si −3< σ61 choisissons −2< ς0 = σ−12 <0,
Si on consid`ere un contour γ constitu´e par la droite du plan complexe s d’´equation ς0 = 0, dans le premier cas et ς0 = σ−12 , dans le second et se refermant, `a gauche de ce plan complexe par un demi-cercle de rayon infini on constate que seul le pˆole s1 = 2 est strictement `a l’int´erieur de ce contour.
Dans les 2 cas soitI ,H
γ ds
D(s). D’apr`es le th´eor´eme des r´esidus on a : I = 2π iR´es [D(s)1 ,−2] = 2π i
D0(−2) = 2 (p+3) (p+5)−π i .
Mais l’int´egrale sur le demi-cercle est nulle car|s|=∞et par cons´equent : ez(p) = (eh∗ex)(p) = −4π i I = (p+3) (p+5)2 pour−3< σ QED.
Cas de deux fonctions ou distributions complexes, d’une va-riable complexe, p´eriodiques
Soienthee etxee deuxfonctions oudistributions complexes, d’une variable complexe, p´eriodiques, i.e. telles que :
hee(p± 2n π i∆ ) = hee(p) etxee(p± 2n π i∆ ) =xee(p) ;∀n ∈ Z; avec ∆ ∈ R+. Il suffit alors de d´efinir ces fonctions oudistributions dans la bande fon-damentale B du plan complexe telle que :
B={p=σ+i ω∈ C | ω ∈ ]− ∆π ∆π]}.
Alors leur convolution lin´eaire complexezee, not´ee hee∗xee, est la fonction ou distribution complexe, telle que :
zee(p),(fhe∗fxe)(p),2∆π i
Rς0+π i∆
ς0−π i∆ fhe(s)fxe(p−s)ds, 2∆π i
Rς0+π i∆
ς0−π i∆ fhe(p−s)fxe(s)ds; avec :
s ∈ RDC de hee et p−s ∈ RDC de xee pour la premi`ere int´egrale et p−s∈RDC dehee ets∈RDC de xee pour la seconde.
On peut ´egalement faire le changement de variable s =ς0 +i $ et donc ds =i d$ :
zee(p) = (hee∗xee)(p) = 2∆π R ∆π
−∆π hee(ς0+i $)xee(p−ς0−i $)d$
= 2∆π R∆π
−π
∆
hee(p−ς0−i $)xee(ς0+i $)d$.
Exemple : soient :
hee(p) = 12e−∆p; avec RDC =Cet xee(p) = 1 +e−∆p; avec RDC =C; alors :
zee(p) = 12e−∆p =hee(p) ; avec RDC =C D´emonstration
zee(p) = (hee∗xee)(p) = 2∆π i Rς0+π i∆ ς0−π i
∆
1
2e−∆s[1 +e−∆ (p−s)]ds
= 4∆π i Rς0+π i∆
ς0−π i∆ (e−∆s+e−∆p)ds = 4∆π i{[e−∆−∆s]ς0+
π i
∆
ς0−π i
∆
+e−∆p2∆π i}= 12e−∆p
=hee(p) ; avec RDC =C QED.
4.4.2 Remarque concernant la convolution lin´eaire complexe On verra que la transform´ee de Laplace directe d’un produit de deux signaux est la convolution lin´eaire complexe des transform´ees de Laplace directes de chacun d’eux.
4.4.3 Convolution lin´eaire fr´equentielle
La d´efinition de le convolution lin´eaire fr´equentielle de deux fonctions ou distributions complexes, d’une variable r´eelle fr´equentielle, est diff´erente selon qu’elles sont non p´eriodiques ou p´eriodiques. Dans la suite soient ν et µ deux variables r´eelles fr´equentielles.
Cas de deux fonctions ou distributions complexes, d’une va-riable r´eelle, non p´eriodiques
Soient bh et bx deux fonctions ou distributions complexes, d’une variable r´eelle fr´equentielle, non p´eriodiques.
Alors leur convol´ee lin´eaire fr´equentielle bz, not´ee bh∗x, est lab fonction ou distribution complexe, d’une variable r´eelle fr´equentielle, telle que :
bz(ν) = (bh∗bx)(ν),R∞
−∞bh(µ)bx(ν−µ)dµ,R∞
−∞bh(ν−µ)x(µ)b dµ.
Exemple : soient : bh(ν) = 1+π12ν2 et :
bx(ν) = (1+2π i ν) (3+22 π i ν); alors : bz(ν) = (3+2π i ν) (5+22 π i ν).
Cas de deux fonctions ou distributions complexes, d’une va-riable r´eelle, p´eriodiques
Soienthbe etxbe deuxfonctions oudistributions complexes, d’une variable r´eelle fr´equentielle, p´eriodiques, i.e. telles que :
hbe(ν± ∆n) =hbe(ν) et xbe(ν± ∆n) = xbe(ν) ;∀n ∈ Z; avec ∆ ∈ R+. Il suffit alors de d´efinir ces fonctions oudistributions sur l’intervalle ]− 2 ∆1 2 ∆1 ].
Alors leur convolution lin´eaire fr´equentiellezbe, not´eehbe∗xbe, est lafonction ou distribution complexe, d’une variable r´eelle fr´equentielle, telle que :
zbe(ν),(che∗cxe)(ν),∆R2 ∆1
−2 ∆1 che(µ)cxe(ν−µ)dµ,∆R2 ∆1
−2 ∆1 che(ν−µ)cxe(µ)dµ.
Exemple : soient : hbe(ν) = 12e−2π i∆ν et : xbe(ν) = 1 +e−2π i∆ν; alors :
zbe(ν),(hbe∗xbe)(ν) = 12e−2π i∆ν =hbe(ν).
4.4.4 Remarque concernant la convolution lin´eaire fr´equentielle On verra que la transform´ee de Fourier directe d’un produit de deux signaux est la convolution lin´eaire fr´equentielle des transform´ees de Fourier directes de chacun d’eux.
TRANSFORMATIONS CONTINUES
Les transformations continues que nous allons consid´erer sont des trans-formations int´egrales [18]34 [38]35.
D´efinition des transformations int´egrales
Soit unefonction h(t) complexe, de la variable r´eelle t(donc un signal en temps continu) etK(x, t) une fonction, complexe, de deux variables r´eellesx et t telles que le produitK(x, t)h(t) est sommable en tant que fonction de t dans l’intervale (a b). Alors soit :
g(x),Rb
aK(x, t)h(t)dt.
Cettetransformation directe deh`ag est appel´eetransformation int´egrale de noyau K. Lorsque le noyau est fix´e et que la correspondance de h `a g est bijective d’un ensemble de fonctions h `a un ensemble de fonctions g on consid`ere la transformation inverse qui fait correspondre h `a g. La formule qui d´ecrit cette transformation inverse en terme de transformation int´egrale s’appelle la formule d’inversion.
Nous allons consid´erer les principales transformations int´egrales directes et inverses qui sont utilis´ees en traitement du signal d´eterministe. Elles cor-respondent `a diverses variables x, `a divers noyaux K et divers intervalles (a b). Lorsque aet b sont finis il s’agit de transformationsfinies et lorsque a ou b est infini de transformations infinies [41].
Transformations continues infinies pr´esent´ees dans ce rapport
• Transformations de Fourier [18]36 [2]37 [28]38 [30]39 [24]40 [8] [41]41 [27]42 [38]43 [3]44 [39]45 [40]46 et transformation de Fourier-Stieltjes [15]
[38]47 [39].
34. §220 pp. 838-840 35. p. 911
36. §160 pp. 624-628 et Table 11.II pp. 1761-1764 37. §2.2.8 pp. 88-90
38. pp. 371-374 39. Ch. IV pp. 53-85 40. Ch. 4 pp. 161-289 41. Ch. 12 pp. 221-263
42. 2. K. B. Howell. pp. 95-226 43. pp. 668-672
44. pp. 905-935
45. Fourier transform 21 pages 46. Fourier transform 5 pages 47. p. 667
• Transformations de Fourier en cosinus [18]48 [27]49 [38]50 [39]51 et en sinus [18]52 [27]53 [38]54 [39]55.
•Transformations de Hartley [9] [8]56 [41]57 [27]58 [38]59 [39]60.
• Transformations de Hankel [32]61 [18]62 [8]63 [41]64 [27]65 [38]66 [3]67 [39]68.
•Transformations de Laplace [18]69 [2]70 [31]71 [28]72 [24]73 [8]74 [41]75 [38]76 [27]77 [3]78 [39]79 et transformation de Laplace-Stieltjes [18]80 [38]81. [39]82.
48. pp. 625-626
49. 3. K. P. Yip. pp. 227-280 50. pp. 663-668
51. Sine and cosine transforms 3 pages 52. pp. 625-626
53. 3. K. P. Yip. pp. 227-280 54. pp. 663-668
55. Sine and cosine transforms 3 pages 56. pp.385-410 (surtout discr`ete)
57. Ch. 13 pp. 265-271
58. 4. K. J. Olejniczak. pp. 281-330 59. pp. 801-802 (surtout discr`ete) 60. Hartley transform4 pages
61. pp. 6, 53, 59, 60, 62, 82 (surtout discr`etes) 62. pp. 838-839 p. 911
63. Ch. 12 pp. 241, 244, 249, 254 (`andimensions), 296, 420 64. Ch. 21 pp. 371-388
65. 9. R. Piessens. pp. 719-746 66. pp. 790-791
67. pp. 906-908
68. Hankel transform8 pages
69. §240 pp. 886-891 et Table 12 pp. 1764-1766 70. §8.3 Analyse symbolique pp. 510-559 71. pp. 238-267
72. pp. 395-420 73. pp. 573-627 74. Ch. 11 pp.219-240
75. Ch. 5 et 6 pp. 115-147 et pp. 147-161 76. pp. 1032-1034
77. 5. S. Seely. pp. 331-386 78. Ch. 15 pp. 905-981
79. Laplace transform24 pages 80. Partie D p. 839
81. p. 1032
82. Laplace-Stieltjes transform4 pages
• Transformations de Mellin [22] [18]83 [8]84 [41]85 [27]86 [38]87 [3]88 [39]89 [5] [13].
•Transformations de Carson [2]90.
•Transformations de Gabor [41]91 [39]92.
•Transformations en ondelettes [41]93 [27]94 [39]95 [38]96 [12].
•Transformations en z modifi´ees [20]97 [39]98.
Il existe, en fait, un grand nombre de transformations math´ematiques continues infinies ou finies, dont les noms et parfois les d´efinitions varient selon les auteurs. A notre connaissance les ouvrages les plus complets dans ce domaine sont ceux de A. I. Zayed [41] et de A. D. Poularikas [27].
Les transformations math´ematiques r´epertori´ees dans le premier ouvrage sont indiqu´ees en Annexe A et celles r´epertori´ees dans le second en Annexe B.
83. Partie C p. 839 84. pp.254-257
85. Ch. 10 pp. 201-214
86. 11. J. Bertrand, P. Bertrand et J.-P. Ovarlez. pp. 829-886 87. p. 1157
88. p. 906
89. Transformation de Mellin4 pages 90. pp. 510,538
91. Ch. 30 pp. 491-505
92. Gabor transform3 pages 93. Ch. 32 pp. 531-555
94. 10. Y. Sheng. pp. 747-828
95. Ondelette 5 pages, Transform´ee en ondelette continue 3 pages, Trans-form´ee en ondelette discr`ete 1 page, Compression par ondelette 5 pages, Une exploration des signaux en ondelette par St´ephane Mallat(hypertexte) 3 pages
96. p. 185 pp. 781-782 p.1063 pp. 1924-1925 97. pp.41-50