T LD : Transformation de Laplace Directe

On appelle Transformation de Laplace Directe (T LD) l’applicationlin´eaire: L : h7→eh

qui fait correspondre `a un signal h lafonction oudistribution eh¹⁷⁵ com-plexe, de la variable complexe p=σ+i ω, dite variable de Laplace¹⁷⁶, telle que :

eh(p),R∞

−∞h(t)e^{−p t}dt ; p ∈ RDC deeh.

On a donceh,Lh et on note parfoiseh,L[h(t)] .

158. §240 pp. 886-891 et Table 12 pp. 1764-1766 159. §8.3 Analyse symbolique pp. 510-559 160. pp. 238-267

161. pp. 395-420 162. pp. 573-627 163. Ch. 11 pp.219-240

164. Ch. 5 et 6 pp. 115-147 et pp. 147-161 165. pp. 1032-1034

166. 5. S. Seely. pp. 331-386 167. Ch. 15 pp. 905-981

168. Laplace transform24 pages 169. section H pp. 886-887

170. p. 18

171. Ch. 9 pp. 573-627 172. pp. 886-891 173. pp. 1032-1034 174. pp. 395-420 175. notation de [32]

R´egion De Convergence (RDC) [24]¹⁷⁷ :

C’est la r´egion du plan complexe dans laquelle l’int´egrale pr´ec´edente converge absolument ; elle poss`ede les propri´et´es suivantes.

P1 La RDC de eh consiste en une bande parall`ele `a l’axe imaginaire [24]¹⁷⁸.

P2 Pour des fonctions eh rationnelles la RDC de H ne contient aucun pˆole.

P3 Pour un signal h `a support born´e et s’il y a au moins une valeur p₀ pour laquelle l’int´egrale eh(p0) converge absolument alors la RDC de eh est

´

egale `a C.

P4Si le signalhest tel que h(t) = 0 pourt < t₀ et si la droiteσ =σ₀ est dans la RDC deeh alors toutes les valeurs de p telles que σ > σ₀ sont dans la RDC deeh. En particulier le signal h estcausal sit₀ = 0 et la fonction eh est holomorphe dans un domaine tel que σ > −α; α > 0 qui contient l’axe imaginaire.

P5Si le signalhest tel que h(t) = 0 pourt > t₀ et si la droiteσ =σ₀ est dans la RDC deehalors toutes les valeurs de ptelles queσ < σ₀ sont dans la RDC de eh. En particulier le signal h est anticausal si t₀ = 0 et la fonction eh est holomorphe dans un domaine tel que σ < α; α > 0 qui contient l’axe imaginaire.

P6Pour un signalhquelconque si la droiteσ =σ₀ est dans laRDC deeh alors cette RDC est une bande du plan complexe parall`ele `a l’axe imaginaire qui contient la droite pr´ec´edente.

P7Pour des signaux h exponentiellement born´es i.e. tels que :

∃α, α >0 et ∃K, K >0 tels que : |h(t)|< K e^−α|t|, ∀t, l’axe imaginaire appartient `a la RDC deeh.

Remarque :eh n’existe pas toujours. Par exemple on ne peut pas calculer sgn car saf RDC est vide.

Attention : des signaux h diff´erents peuvent avoir pour T LD la mˆeme fonctionehmais alors lesRDC deseh sont diff´erentes ; comme le montrent les exemples suivants.

177. §9.2 pp. 579-587

178. pp. 579-580 ; les auteurs parlent de bandes, mais il doit y avoir une erreur

Exemple a

h(t) = (e^−t−e^−3t)υ(t) alors eh(p) = (p+1) (p+3)²

et la RDC deeh est d´efinie par σ >−1.

Exemple b

h(t) = (−e^−t+e^−3t)υ(−t) alorseh(p) = (p+1) (p+3)²

et la RDC deeh est d´efinie par σ <−3.

Exemple c

h(t) = [−e^−tυ(−t)−e^−3tυ(t)] alorseh(p) = (p+1) (p+3)²

et la RDC deeh est d´efinie par −3< σ <−1.

9.1.1 Cas particulier d’un signal en temps discret Soit h_e un signal en temps discret; alors :

hee(p) = P∞

k=−∞hke^−k∆p ; p ∈ RDC dehee . D´emonstration

Elle se calque sur celle de laT F Dd’un signal entemps discretquelconque.

On en d´eduit quehe_e(p±^{2n π i}_∆ ) = he_e(p) et donc quehe_e, consid´er´ee comme fonction de ω, est p´eriodique de p´eriode ²_∆^π ; il suffit, par exemple, d’´etudier he_e sur la bande fondamentale du plan complexe telle que ω∈]− _∆^π _∆^π] :

Remarque :he_e n’existe pas toujours. Par exemple on ne peut pas calculer pf_∆ car sa RDC est vide.

9.1.2 Lien ´eventuel entrehe_eetehsih_ecorrespond `a l’´echantillonnage de h queconque

Dans le cas g´en´eral d’un signal h en temps continu quelconque il n’y a aucun lien entre he_e eteh.

Par contre ssi h_k = ¹₂[h(k∆−0) +h(k∆ + 0)] ; ∀k ∈ Z (ce qui est le cas si h est continu en k∆, ∀k ∈ Z et, en particulier, si h est continu sur ]− ∞ ∞[) on a :

he_e(p) = _∆¹ P∞

n=−∞eh(p− ^{2n π i}_∆ ) . D´emonstration

Elle se calque sur celle qui ´etablit le lien ´eventuel entre hb_e et bh dans le cas d’un signal hquelconque.

9.1.3 Lien avec la T F D On constate que :

eh(2π i ν) =bh(ν). De plus : eh(σ+ 2π i ν) =R∞

−∞[h(t)e^{−σ t}]e^{−2π i ν t}dt = (F[h(t)e^{−σ t}])(ν).

9.1.4 Exemples de T LD

i) Exemples de T LD de signaux en temps continu Exemple 1 :eh(p) = _a2²−p^a2 ; pour −a < σ < a.

Exemple 5 :eh(p) = _p2²−a^p2 ; pour −a < σ < a.

ii) Exemples de T LD de signaux en temps discret T LD d’une impulsion de Dirac

fδ_t0(p) =R∞

−∞δ_t0(t)e^{−p t}dt =e^−t0p (care^{−p t} est un signal entemps continu qui est continu) ; ∀σ.

En particulier, en faisantt₀ = 0, δe₀(p) = 1 ; ∀σ.

Exemple 1_e :he_e(p) = _{1−2qcosh(∆}^1−q2 _p)+q2 (avecq=e^−a∆) ; pour −a < σ < a.

9.1.5 Formule de Parseval-Plancherel pour la T LD

Supposons que l’axe imaginaire appartient auxRDC deeh et ex et soit le produit scalaire dans le plan de Laplace :

<eh, x >e , ₂¹_{π i} Ri∞

−i∞eh(p)ex^∗(p)dp. Alors :

< h, x >=<eh, x >e et en particulier sih=x :

||h||,√

< h, h >=||eh||, q

<eh, eh >.

D´emonstration

Elle se calque sur celle de la formule de Parseval-Plancherel pour laT F D.

On peut calculer l’ int´egrale pr´ec´edente dans le plan complexe le long d’un contour ferm´e incluant l’axe imaginaire et se refermant, `a l’infini, `a droite ou

`

a gauche en utilisant le th´eor`eme des r´esidus.

Cas particulier [20]

Sih(t)∈R etx(t)∈Ralors x^∗ =x(t)∈Retxe^∗(p) =x(pe ^∗) =x(σe −i ω).

Donc si σ = 0 (i.e. si p = i ω) on a ex^∗(p) = ex(−p) et la formule de Parseval-Plancherel devient :

R∞

−∞h(t)x(t)dt= ₂¹_{π i} Ri∞

−i∞eh(p)ex(−p)dp, et en particulier sih=x :

||h||,q R∞

−∞h²(t)dt=||eh||, q 1

2π i

Ri∞

−i∞eh(p)eh(−p)dp.

Exemple 1 : h(t) = e^−a|t| eteh(p) = _a2²−p^a2 et on v´erifie bien que :

||h||,q R∞

−∞e^−2a|t|dt =||eh||, q 1

2π i

Ri∞

−i∞(_a2²−p^a2)²dp= ^√1_a. D´emonstrations

•En effet le calcul de la premi`ere int´egrale est trivial grˆace `a la primitive de l’int´egrande QED.

• Et le calcul de la seconde int´egrale s’effectue grˆace au th´eor`eme des residus :

(_a2²−p^a2)² = ¹_a(_p+a¹ + ^a

(p+a)² − _p−a¹ +_(p−a)^a 2).

Donc R´es [(_a2²−p^a2)²,−a] = ¹_a

Et H

γ(_a2²−p^a2)²dp = 2π iR´es [(_a2²−p^a2)²,−a] = ^{2π i}_a , o`u le contour γ est constitu´e de l’axe imaginaire et d’un demi-cercle de rayon infini se refermant

`

a gauche du plan complexe et dans la mesure o`u le pˆole p = −a est le seul pˆole simple strictement `a l’int´erieur de ce contour.

Etant donn´´ e que l’int´egrale sur le demi-cercle est nulle, car|p|y est infini, on a bien :

q 1 2π i

Ri∞

−i∞(_a2²−p^a2)²dp= ^√1_a QED.

9.1.6 T LD d’une convolution lin´eaire de signaux i) Signaux en temps continu

Soit s=h∗x; alors : es=h]∗x=ehx.e D´emonstration

Elle se calque sur celle de la T F D d’une convolution lin´eaire de signaux en temps continu.

Remarque :

Sih repr´esente la r´eponse impulsionnelle d’un syst´eme lin´eaire invariant et si x repr´esente l’entr´ee de ce syst´eme alors la sortie de ce syst`eme est donn´ee par la convolution lin´eaire h∗x.

eh la T LD de h est appel´ee fonction de transfert du syst`eme lin´eaire in-variant et la T LD de la sortie est le produitehexde la fonction de transfert eh et de la T LD xede l’entr´ee :

ii) Signaux en temps discret Soit u_e=h_e∗x_e; alors : ue_e=h^_e∗x_e=he_exe_e. D´emonstration

Elle se calque sur celle de la T F D d’une convolution lin´eaire de signaux en temps discret.

9.1.7 T LD d’un produit de signaux i) Signaux en temps continu

Soit z =h x; alors : eh∗ex=h xf =ez D´emonstration

Elle se calque sur celle de la T F D d’un produit de signaux en temps continu.

Exemple : soient les signaux h(t) = e^−2|t| (cf. Exemple 1 ; avec a = 2) (non causal) et x(t) = (e^−t−e^−3t)υ(t) (cf. Exemple a) (causal). Alors on a vu que :

eh(p) = _4−p⁴2 ; pour −2< σ <2 et x(p) =e (p+1) (p+3)² ; pour −1< σ.

On en d´eduit que h(t)x(t) = (e^−3t−e^−5t)υ(t) et on trouve que : h x(p) =f _p+3¹ − _p+5¹ = (p+3) (p+5)² ; pour −3< σ. Par cons´equent :

(eh∗ex)(p) = (p+3) (p+5)² ; pour−3< σ. C’est bien ce que nous avions trouv´e dans la partie Convolutions .

ii) Signaux en temps discret Soit z_e =h_ex_e; alors : he_e∗xe_e =h]_ex_e =ze_e D´emonstration

Elle se calque sur celle de la T F D d’un produit de signaux en temps discret.

9.1.8 Dualit´e

es=h]∗x=ehxeet ue_e=h^_e∗x_e=he_exe_e ez =h xf =eh∗ex etze_e =h]_ex_e =he_e∗xe_e. 9.1.9 Translation temporelle

Soit h⁰(t) =h(t−t₀) ; alors : he⁰(p) = e^−t0peh(p).

D´emonstration

Elle se calque sur celle de laT F D d’une translation temporelle.

Remarque : dans le cas o`u le signalhest causal il est n´ecessaire que06t<sub>0</sub> pour que le signal h(t−t<sub>0</sub>) soit ´egalement causal et la relation pr´ec´edente prend le nom de th´eor`eme du retard.

9.1.10 T LD d’un signal causal i) Signal en temps continu

Soit h un signal entemps continu causal, alors : eh(p),R∞

0 h(t)e^{−p t}dt ; p ∈ RDC deeh et on parle deT LD unilat`ere.

ii) Signal en temps discret

Soit h_e un signal entemps discret causal ; par cons´equent, d’apr`es ce qui pr´ec`ede :

hee(ν) = P∞

k=0hke^−k∆p ; p ∈ RDC de hee .

iii) Lien ´eventuel entre hee et eh si he correspond `a l’´echantillonnage de h causal.

Dans le cas g´en´eral d’un signal h en temps continu causal il n’y a aucun lien entre he_e et eh.

Par contre ssi h_k = ¹₂ [h(k∆−0) +h(k∆ + 0)] ; ∀k ∈Z^+∗ (ce qui est le cas si h est continu enk∆, ∀k ∈Z^+∗ et, en particulier, sih est continu sur ]0 ∞[) on a :

he_e(p) = _∆¹ P∞

n=−∞eh(p− ^{2n π i}_∆ ) +h₀− ^h(0+0)₂ . D´emonstration

Elle se calque sur celle qui ´etablit le lien ´eventuel entre hb_e et bh dans le cas d’un signal hcausal.

iv) Exemples

a) Exemples de T LD de signaux en temps continu Exemple 0 : eυ(p) = ¹_p; pour 0< σ.

Exemple 6 :eh(p) = _p+a¹ ; pour −a < σ.

Remarque : en faisant tendre a vers 0 on retrouve l’exemple 0.

b) Exemples de T LD de signaux en temps discret Exemple 0_e : υe_e(p) = ¹₂ coth(^∆p₂ ) ; pour 0< σ.

Remarque : ´etant donn´e que υ est continu sur ]0 ∞[ et que υ(p) =e ¹_p on a, d’apr`es ce qui pr´ec`ede :

υe_e(p) = _∆¹ P∞ n=−∞

1 p−^{2n π i}

∆

(car υ₀−^υ(0+0)₂ = 0) ; pour 0< σ..

Exemple 6_e : he_e(p) = ¹₂ coth[^{∆ (p+a)}₂ ] ; pour −a < σ.

Remarque : ´etant donn´e que h est continu sur ]0 ∞[ et que eh(p) = _p+a¹ on a, d’apr`es ce qui pr´ec`ede :

he_e(p) = _∆¹ P∞ n=−∞

1

p+a−^{2n π i}_∆ (car h₀−^h(0+0)₂ = 0) ; pour−a < σ.

9.1.11 T LD d’un signal causal `a support born´e i) Signal en temps continu

Soit h un signal entemps continu causal `a support born´e [0 T[, alors : eh(p),RT

0 h(t)e^{−p t}dt ; p ∈ RDC deeh. ii) Signal en temps discret

Soitheun signal entemps discret causal `a support born´e{0, . . . , N−1}; par cons´equent, d’apr`es ce qui pr´ec`ede :

hee(p) = PN−1

k=0 hke^−k∆p ; p ∈ RDC dehee .

iii) Lien ´eventuel entre he_e et eh si h_e correspond `a l’´echantillonnage de h causal `a support born´e.

Dans le cas g´en´eral d’un signalhentemps continu causal `a support born´e [0 T[ il n’y aaucun lien entre he_e eteh.

Par contre ssihk = ¹₂[h(k∆−0) +h(k∆ + 0)] ;k = 1, . . . , N−1 (ce qui est le cas si h est continu en k∆ ;k = 1, . . . , N −1 et, en particulier, si h est continu sur ]0 T[) on a :

he_e(p) = _∆¹ P∞

n=−∞eh(p− ^{2n π i}_∆ ) +h₀− ^h(0+0)₂ − ^h(T₂⁻⁰⁾e^{−T p} . D´emonstration

Elle se calque sur celle qui ´etablit le lien ´eventuel entre hb_e et bh dans le cas d’un signal hcausal `a support born´e [0 T[.

iv) Exemples

a) Exemples de T LD de signaux en temps continu

Exemple 2 : χ(p) =e ^1−e_p^{−T p} [et, par continuit´e χ(0) =e T] ;∀σ.

Exemple 3 :eh(p) = ^{1−(1+T p)}_{T p}2^{e−T p} [et, par continuit´e eh(0) = ^T₂] ;∀σ.

Exemple 4 :eh(p) = ^1−e−

2π p Ω

p−iΩ = ^1−e_p−2^{−T p}π i T

[et, par continuit´eeh(²_T^{π i}) =T] ;∀σ.

b) Exemples de T LD de signaux en temps discret

Exemple 2_e : χe_e(p) = _1−e^1−e−∆^{−T p}p [et, par continuit´e χe_e(0) =N] ; ∀σ.

Exemple 3_e : he_e(p) = ^{e−∆p−N e−N∆p+(N−1)e−(N+1) ∆p}

N(1−e^−∆p)² [et, par continuit´e hee(0) = ^N−1₂ ] ; ∀σ.

Exemple 4e : hee(p) = _1−ω^1−e−1^{−T p}

N e^−∆p [et, par continuit´e hee(²_T^{π i}) =N] ; ∀σ.

9.1.12 T LD d’un signal p´eriodique

LaT LD d’un signal p´eriodique n’existe pas car sa RDC est vide.

9.1.13 T LD d’un signal causal p´eriodique (pour 06t) C’est un cas particulier de laT LD d’un signal causal.

i) Signal en temps continu

Soit h_T le signal en temps continu p´eriodique, de p´eriode T, qui corres-pond `a la p´eriodisation du signal h en temps continu causal `a support born´e [0 T[, alors le signal h_T υ est causal et p´eriodique (pour 06t) ; et par cons´equent :

hg_T υ(p),R∞

0 h_T(t)e^{−p t}dt = _1−e^eh(p)−T p ; 0 < σ. D´emonstration

hg_T υ(p) = R∞

0 h_T(t)e^{−p t}dt =P∞ n=0

R(n+1)T

n T h_T(t)e^{−p t}dt.

Soit le changement de varaiable τ =t−n T ; alorsdτ =dt et : hg_T υ(p) = P∞

n=0

RT

0 h_T(τ +n T)e^{−p(τ+n T)}dτ.

Maish_T(τ +n T) = h(τ) carτ ∈[0 T[ et par cons´equent :

hg_T υ(p) = [P∞

n=0e^{−n T p}]RT

0 h(τ)e^{−p τ}dτ = _1−e^eh(p)−T p; pour 0< σ QED.

ii) Signal en temps discret h]_{T e}υ(p),P∞

n=0h_{T k}e^−k∆p = _1−e^fhe(p)−T p ; 0< σ . D´emonstration

Elle se calque sur la d´emonstration pr´ec´edente QED.

iii) Exemples

Soient i_T+ et i_{T e+} les exemples qui correspondent respectivement aux fonctions h_T υ eth_{T e}υ des exmples i_T et i_{T e}.

a) Exemples de T F D de signaux en temps continu

Exemple 2_T+. ´Etant donn´e que χ_T = 1 et donc queχ_T υ =υ : χg_T υ(p) = ¹_p; pour 0< σ.

Exemple 3_T+ : hg_T υ(p) = ^{1−(1+T p)}_{T p}2(1−e^{−T pe−T p}) ; pour 0< σ.

Exemple 4_T+ : hg_T υ(p) = _p−¹2π i T

; pour 0< σ. Soit :

(L[e^iΩtυ(t)])(p) = _p−i¹_Ω (rappel : Ω , ²_T^π) ; pour 0< σ. Donc : (L[e^−iΩtυ(t)])(p) = _p+i¹_Ω; pour 0< σ.

Remarque : en faisant ω = 0 on retrouve : eυ(p) = ¹_p; pour 0< σ. Par cons´equent :

(L[cos(Ωt)υ(t)])(p) = (L[¹₂(e^iΩt+e^−iΩt)υ(t)])(p) = ¹₂[_p−i¹_Ω +_p+i¹_Ω]

= _p2+Ω^{p 2} ; pour 0< σ.

De mˆeme :

(L[sin(Ωt)υ(t)])(p) = (L[₂¹_i(e^iΩt−e^−iΩt)υ(t)])(p) = ₂¹_i[_p−i¹_Ω −_p+i¹_Ω]

= _p2+Ω^{Ω 2} ; pour 0< σ.

b) Exemples de T F D de signaux en temps discret Exemple 2_{T e+} : χ]_{T e}υ(p) = _1−e¹−∆p ; pour 0< σ.

Exemple 3_{T e+} : h]_{T e}υ(p) = ^{e−∆p−N e−N∆p+(N−1)e−(N+1) ∆p}

N(1−e^−∆p)²(1−e^{−T p}) ; pour 0< σ.

Exemple 4T e+ : h]T eυ(p) = _1−ω−1¹

N e^−∆p; pour 0< σ.

Dans le document Opérations et transformations mathématiques en traitement du signal déterministe (Page 80-91)