A primeira solução exata das equações de campo da Relatividade Geral foi obtida em 1916 pelo físico e astrônomo Karl Schwarzschild (1873-1916), que incrivel- mente a deduziu nas trincheiras durante a Primeira Guerra Mundial4. A solução de Schwarzschild permite com boa aproximação descrever o campo gravitacional nas re- dondezas de um objeto esfericamente simétrico como uma estrela ou um buraco negro. A deflexão da luz pelo Sol, bem como a precessão do periélio de Mercúrio, dois dos tes- tes propostos por Einstein para testar sua teoria foram realizados utilizando a solução esfericamente simétrica, estática e no vácuo das equações de campo.
Para construir-se a métrica que descreve um espaço-tempo com simetria esfé- rica e estático, deve-se satisfazer as seguintes condições: em primeiro lugar, todas as componentes da métrica gµνdevem ser independentes da coordenada x0; em segundo,
o elemento de linha ds2 deve ser invariante sob a transformação x0 → −x0, de modo que não deve haver termos envolvendo dxidx0. Isso significa que gi0 = g0i = 0. A primeira condição não implica a segunda: fazer a transformação x0 → −x0para o caso
de uma estrela em rotação, por exemplo, altera o sentido de rotação mas as componen- tes da métrica são constantes com o tempo. Um espaço-tempo que satisfaz a primeira condição mas não a segunda é chamado estacionário (Hobson et al.,2005). O elemento de linha ds2satisfazendo essas condições se escreve
ds2= A(r)dt2−B(r)dr2−C(r)r2dθ2+sin2θdφ2
. (1.39)
Devido à simetria em questão, as dez componentes da métrica, que em geral depende de todas as coordenadas xµ, reduzem-se a três funções dependentes apenas de r. Ainda
é possível reduzi-la apenas a duas funções. Como r é um parâmetro radial, pode-se substitui-lo por qualquer função de r (Ryder, 2009). Fazendo Cr2 = ¯r2, tem-se que ¯r=√Cr e d¯r dr = √ C r 2C dC dr +1 . Com isso, pode-se reescrever
Bdr2 = B C r 2C dC dr +1 −2 d¯r2 ≡Bd¯ ¯r2,
e também tomar A(r) = A¯(¯r). Reescrevendo o elemento de linha, substituindo todas as funções sem barra pelas funções com barra, tem-se
ds2 = Adt¯ 2−Bd¯r¯ 2−¯r2dθ2+sin2θdφ2
. Por fim, retirando as barras e fazendo
A(r) =e2ν(r) e B(r) =e2λ(r),
obtém-se a métrica que descreve um espaço-tempo esfericamente simétrico e estático, dependente apenas das duas funções ν(r)e λ(r)
ds2 =e2ν(r)dt2−e2λ(r)dr2−r2dθ2+sin2θdφ2
. (1.40)
Matricialmente, pode-se representá-la da seguinte forma
gµν = e2ν 0 0 0 0 −e2λ 0 0 0 0 −r2 0 0 0 0 −r2sin2θ . (1.41)
Tais conexões escrevem-se Γ3 23 = Γ332 =cot θ, Γ3 13 = Γ331 =r−1, Γ2 33 = −sin θ cos θ, Γ2 12 = Γ221 =r−1, Γ1 33 = −re−2λsin2θ, Γ1 22 = −re−2λ, Γ1 11 = λ′, Γ1 00 = ν′e2ν−2λ, Γ0 01 = Γ010 =ν′.
O passo seguinte é avaliar o tensor de Ricci. As componentes não nulas do tensor de Ricci e por conseguinte, as equações de campo no vácuo são
R00 = ν′′+ν′2−ν′λ′+2r−1ν′ =0, (1.42) R11 = −ν′′−ν′2+ν′λ′+2λ′r−1 =0, (1.43) R22 = −1−rν′+rλ′ e−2λ+1=0, (1.44) R33 = h −1−rν′+rλ′ e−2λ+ 1isin2θ =0, (1.45) onde a linha representa a derivada com relação ao parâmetro radial. Dessas equações, observa-se que apenas duas são independentes. Somando as duas primeiras equações, tem-se
2r−1 ν′+λ′ =2r−1(ν+λ)′ =0,
de modo que a soma ν+λ é uma constante. Mas como na medida em que r → ∞, a métrica dada (1.40) deve recair na métrica de Minkowski, tem-se que ν, λ → 0 e portanto a constante deve ser zero. Assim,
ν(r) = −λ(r). Substituindo este resultado na eq. (1.44), tem-se
− 1+2rν′ e2ν+1 = 0⇒ 1+2rν′ e2ν =1, (1.46)
re2ν′ = 1⇒re2ν =r−2m, (1.47) onde foi escolhida a quantidade 2m como constante de integração, e portanto, é obtida
a seguinte relação
e2ν =1−2m
r =g00. O elemento de linha, por fim, escreve-se
ds2= 1−2m r dt2− 1−2m r −1 dr2−r2dθ2+sin2θdφ2 . (1.48) A equação dada em (1.48) é a chamada solução de Schwarzschild, que representa a solução exata das equações de campo de Einstein com simetria esférica no vácuo. Algo interessante ocorre na superfície r=2m, pois a métrica torna-se indefinida, com g00 → 0 e g11 → ∞, dando origem aos chamados buracos negros, que será explorado no capítulo2.
CAPÍTULO
2
BURACOS NEGROS DE SCHWARZSCHILD
Buracos negros de Schwarzschild, também conhecidos como buracos negros estáticos, são um caso muito particular de buracos negros, em que apenas sua proprie- dade de massa é considerada. De acordo com o teorema no-hair, devido ao físico John Wheeler (1911-2008), buracos negros são caracterizados completamente por apenas al- gumas poucas quantidades externamente mensuráveis, a saber, sua massa, sua carga e seu momento angular (Lambourne, 2010). Como todo buraco negro deve possuir massa, existem essencialmente quatro tipos distintos: massivos, massivos e com rota- ção, massivos e carregados, e massivos, carregados e com rotação1. Buracos negros astrofísicos surgem na natureza devido ao colapso gravitacional de estrelas suficiente- mente massivas — cerca de 3 M⊙—, e nesse sentido, uma descrição mais realista leva
em conta sua rotação (Hobson et al., 2005). No presente capítulo serão abordados os buracos negros de Schwarzschild, que apesar de serem os mais simples existentes, já apresentam as características chave de seu estudo: o horizonte de eventos e a singula- ridade. Destaca-se ao leitor que o estudo aqui apresentado acerca de buracos negros segue de perto o desenvolvido em (d’Inverno,1992).
2.1
Caracterização das Coordenadas e Singularidades
Antes de explorar detalhadamente a solução de Schwarzschild, será discutido brevemente acerca da caracterização das coordenadas. Em geral, se deseja-se escrever uma solução das equações de campo de Einstein, então é necessário fazê-lo em um de- terminado sistema de coordenadas. Qual será a importância, se houver, de um sistema
1As métricas que os descrevem são a métrica de Schwarzschild, a de Kerr, a de Reissner-Nordström
de coordenadas em particular? Por exemplo, considere a solução de Schwarzschild dada pela eq. (1.48) e aplique uma transformação de coordenadas xµ → x′µ. A métrica
resultante ainda será uma solução das equações de campo no vácuo, mas é provável que haja pouco ou nenhum significado físico ou geométrico associado às novas coorde- nadas x′µ. Observe que se a métrica possui simetrias, então um sistema de coordendas
que apresenta explicitamente estas simetrias será um sistema de coordenadas prefe- rencial (d’Inverno,1992).
Uma caracterização que auxilia na descrição do sistema de coordenadas é esta- belecer se uma hiper-superfície
x(µ) =constante, (2.1)
é do tipo tempo, nula ou tipo espaço em um ponto2. Escrevendo o campo vetorial normal como
nν =δ (µ) ν ,
ou em sua forma contravariante nα =gανn
ν = gανδ (µ) ν = g
α(µ),
tem-se que sua magnitude quadrada é dada por n2=nαn
α = gα (µ)
δα(µ) =g (µ)(µ).
Assim, se a assinatura é (+,−,−,−), a hiper-superfície (2.1) em um ponto P é tipo tempo, nula ou tipo espaço dependendo de se g(µ)(µ) é> 0, = 0, ou< 0, respectiva-
mente. Em outras palavras, fixando as outras coordenadas em seus valores no ponto P e considerando uma variação infinitesimal dxµna coordenada de interesse, se a corres-
pondente mudança em ds2for positiva, zero, ou negativa, então a xµé do tipo tempo,
nula ou do tipo espaço.
Com essas ideias em mente, avalia-se a solução de Schwarzschild na forma (1.48) para observar se é possível caracterizar as coordenadas(t, r, θ, φ). Da eq. (1.48), tem-se que g00 = 1−2m r −1 , g11 = − 1−2m r , g22 = − 1 r2, g 33 = − 1 r2sin2 θ,
de onde observa-se que para r > 2m, x0 = t é do tipo tempo e as demais, do tipo es- paço. Como a métrica é independente do tempo e não há termo cruzados em dt, segue
que a solução é estática e t representa o tempo próprio medido por um observador em repouso no infinito (Hobson et al., 2005). A coordenada r é um parâmetro radial, com a propriedade de que em uma 2-esfera com t e r fixos, o elemento de linha se escreve
ds2 = −r2dθ2+r2sin2θdφ2
,
e cuja área é 4πr2. Por fim, θ e φ são as coordenadas angulares esféricas usuais da 2-esfera, que são definidas pela simetria esférica. Por outro lado, para r < 2m, a con- figuração se inverte com g00 e g11 trocando de sinal: as coordenadas x0 e x1passam a ser do tipo espaço e do tipo tempo, respectivamente.
Um problema associado ao sistema de coordenadas é o fato de que, em geral, eles cobrem apenas uma porção da variedade. Tomando como exemplo as coorde- nadas de Schwarzschild, observa-se que há uma falha na caracterização para quando θ = 0, π, pois nesse caso não é possível especificar a coordenada φ e o elemento de li- nha (1.48) torna-se degenerado. Tal degenerescência pode ser removida introduzindo coordenadas cartesianas(x, y, z), nas quais,
x =r sin θ cos φ, y=r sin θ sin φ e z=r cos θ.
Tais pontos são chamados de singularidades de coordenadas ou aparentes pois refle- tem uma deficiência no sistema de coordenadas utilizado, e portanto, são removíveis
(d’Inverno, 1992). Como já indicado, existem outros dois valores do parâmetro radial
r na solução de Schwarzschild que apresentam um comportamento singular, a saber, r=0 e r=2m. Esse último é conhecido como raio de Schwarzschild e frequentemente é denotado por rS, de modo que, no sistema de unidades aqui utilizado, tem-se
rS =2m.
Deve-se recordar, entretanto, que a solução de Schwarzschild foi deduzida solucio- nando as equações de campo de Einstein no vácuo, onde Rµν =0 , de forma que ela é
válida apenas para além da superfície esféricamente simétrica da distribuição de ma- téria. Por exemplo, o raio de Schwarzschild do Sol é
rS =2, 95km ,
que é muito menor que seu raio (r⊙ = 7×105 km). Semelhantemente, o raio de
Schwarzschild de um próton é
rS ∼10−52m ,
para a maior parte dos objetos, o raio de Schwarzschild se encontra muito profunda- mente em seu interior, onde as equações de campo no vácuo não se aplicam. Mas e se houverem objetos suficientemente compactos, tais que se encontrem completamente encerrados no interior de seus raios de Schwarzschild? Para um tal objeto, a solução (1.48) parece ser bem razoável.
Para verificar se uma determinada singularidade é aparente ou real, faz-se uso das quantidades geométricas escalares da teoria — pois são invariantes por transfor- mações gerais de coordenadas: se divergem em uma região, divergem em todos as outras. Utilizando, por exemplo, a quantidade
RµνρσRµνρσ =
48m2
r6 , (2.2)
observa-se que em r = 0, esta quantidade diverge e portanto, tem-se uma singulari- dade real ou intrínseca. Por outro lado, a quantidade (2.2) possui um valor finito em r = 2m. Isso sugere (mas não prova) que r = 2m é na verdade uma singularidade aparente — uma falha do sistema de coordenadas na caracterização da indicada região — e que a curvatura do espaço-tempo em r =2m é perfeitamente bem comportada. É possível, através de uma adequada transformação de coordenadas, remover essa apa- rente singularidade, como será apresentado adiante. Ainda assim, a região r = 2m é de suma importância no presente estudo, pois g11(rS) = 0 representa uma superfície do tipo nula (horizonte), isto é, uma “membrana” de uma única direção que separa o espaço-tempo em duas regiões bem distintas (Bekenstein,1972)
O objetivo ao longo deste estudo é explorar a solução de Schwarzschild para um objeto de raio a, sendo a < 2m, nas regiões 2m < r < ∞, que será dita região I, e a<r <2m, que será a região II.