Con
train
te
(Pa)
Montée t_court Montée t_long Descente t_court Descente t_longFig. 1.14: Courbe d’hyst´er´esis typique obtenue par des mesures sur le rh´eom`etre `a contrainte impos´ee AR2000 avec la g´eom´etrie Vane (xanthane
2%)
Pour d´ecrire pr´ecis´ement ce type de comportement, il faut s’int´eresser de pr`es `a la nature rh´eofluidifiante du mat´eriau. En effet, ce comportement s’explique par la rupture progressive de la structure du xanthane, lorsque les forces hydrodynamiques (forces de contraintes impos´ees) deviennent sup´erieures aux forces de coh´esion entre les particules (bˆatonnets) de xanthane. La rupture du r´eseaux physique tridimensionnel se fait en entit´es (unit´es structurelles) de plus en plus petites, ce qui diminue progressivement la quantit´e d’eau pi´eg´ee par le r´eseau et, par cons´equent, la viscosit´e apparente du mat´eriau diminue aussi [1] [40]. La reconstruction de ce r´eseau, c’est-`a-dire le retour des particules `a des positions de minimum d’´energie libre (´etat d’´equilibre), se fait au cours du temps, sous l’action du mouvement brownien. Lors de la d´echarge progressive (descente), les cisaillement mesur´es sont plus importants car les interactions d´etruites n’ont pas eu le temps de se r´etablir. Aux temps longs, ces interactions se stabilisent, ce qui se traduit par la relaxation du mat´eriau i.e une mˆeme valeur de la viscosit´e en charge et en d´echarge (Fig.1.14).
1.4.3 Viscoélasticité
La visco´elasticit´e est un comportement interm´ediaire entre le comportement d’un solide ´elas-tique et celui d’un fluide visqueux. En 1867, Maxwell a fait remarquer qu’`a une ´echelle de temps
Rh´eologie des fluides Complexes 33
suffisamment faible, tous les fluides sont visco´elastiques (De ∼ 1). Cette ´echelle n’est manifestement pas la mˆeme pour l’eau et pour cette pˆate `a modeler en silicone [5]. L’eau s’´etale tr`es rapidement sur le sol (fluide visqueux) sous l’effet de son poids, contrairement `a la balle de silicone qui rebondi instantan´ement (solide ´elastique) mais qui finit par couler au bout de quelques minutes (fluide visqueux). C’est pour cela qu’`a l’´echelle de temps de nos observations, l’eau est toujours un fluide visqueux newtonien.
Le comportement visco´elastique d’un mat´eriau peut ˆetre observ´e `a travers la r´eponse en d´efor-mation d’un ´echelon de contrainte (fluage) :
– Soumis `a une faible amplitude de contrainte σ, le mat´eriau aura, pour les temps longs (De ≪ 1), une vitesse de d´eformation proportionnelle `a la contrainte (σ = η ˙γ) avec une viscosit´e constante. Pour les temps courts (De ≫ 1), le mat´eriau aura une d´eformation ´elastique constante (σ = Gγ). Dans le domaine des temps interm´ediaires (De ∼ 1), cette limite de faibles amplitude est celle de la visco´elasticit´e lin´eaire avec une viscosit´e newtonienne et une ´elasticit´e Houk´eenne.
– Soumis `a de plus grandes amplitude de contrainte σ, la d´eformation du mat´eriau n’est plus proportionnelle `a l’excitation σ et le comportement du mat´eriau est non newtonien. Ainsi `a De ∼ 1, on parle de la visco´elasticit´e non lin´eaire [1].
La figure Fig.1.15 repr´esente le comportement visco´elastique lin´eaire `a faible amplitudes, et le comportement visco´elastique non lin´eaire pour une grande amplitudes de σ.
temps
déformation
Viscoélasticité non linéaire
Viscoélasticité linéaire
Fig. 1.15: Comportement d’un fluide visco´elastique en r´eponse `a un ´echelon de contrainte de petite (rouge) et grande (bleu) amplitudes
´
Equations de la visco´elasticit´e
G´en´eralement, les ´equations de la visco´elasticit´e font intervenir un spectre de temps de relaxation tC intervenant dans l’expression de γ ou de σ sous forme de produit de convolution. Ainsi que le temps et la sollicitation (contrainte impos´ee ou d´eformation impos´ee) :
γ(t) = Z t −∞ J(σ, t − τ) d dτσ(τ ) dτ (1.19) σ(t) = Z t −∞ G(γ, t − τ) d dτγ(τ ) dτ (1.20)
o`u l’´elasticit´e G et la complaisance J sont les fonctions mat´erielles de cisaillement.
On parle de visco´elasticit´e lin´eaire lorsque la r´eponse du mat´eriau change peu sous cisaillement, et que les fonctions mat´erielles du cisaillement (module ´elastique G ou fonction de fluage J) ne d´ependent que du temps :
– Solide ´elastique : Dans ce cas, l’´equation rh´eologique est la loi de Hooke qu’on ´ecrit sous la forme :
σ = G.γ (1.21)
o`u G est le module ´elastique. La d´eformation est proportionnelle `a la contrainte, si celle-ci s’arrˆete, la d´eformation redevient instantan´ement nulle. Ce comportement est sch´ematis´e par un ressort qui r´ecup`ere sa forme initiale lorsque l’on supprime la contrainte qu’il a subie.
G
– Fluide visqueux newtonien : Dans ce cas, l’´equation rh´eologique est donn´ee par l’´equation : σ = η. ˙γ
sous l’effet de la contrainte, la d´eformation croˆıt lin´eairement avec le temps : le liquide s’´ecoule ind´efiniment. Lorsque l’on supprime la contrainte, la d´eformation demeure constante et ´egale `
a la valeur qu’elle poss´edait avant la suppression de la contrainte. La d´eformation est donc irr´ecup´erable. Ce comportement visqueux est sch´ematis´e par un amortisseur qui ne r´ecup`ere pas la d´eformation qu’il a subi.
K
Cette sch´ematisation (ressort, amortisseur) constitue la repr´esentation graphique de base des mod`eles analogiques repr´esentant le comportement du mat´eriau. Le mod`ele le plus simple du ma-t´eriau visco´elastique est repr´esent´e par :
Rh´eologie des fluides Complexes 35
– le mod`ele de solide de Kelvin-Voigt, qui est l’association en parall`ele d’un ressort et d’un amortisseur. Il consiste `a additionner les contraintes d’origine ´elastiques et les contraintes d’origine visqueuse :
σ = G.γ + η. ˙γ (1.22)
G
K
– ou le mod`ele du fluide de Maxwell, qui est l’association en s´erie d’un ressort et d’un amor-tisseur. Dans ce cas, les d´eformations ´elastique et visqueuse s’additionnent et les contraintes sont identiques, soit :
˙γ = 1 G˙σ +
σ
η (1.23)
G K
Chacun des mod`eles de Kelvin-Voigt et de Maxwell fait apparaˆıtre un temps caract´eristique visco-´elastique (temps de relaxation carct´eristique) : tC = η/G.
Il est `a noter que l’association de ces mod`eles de base en s´erie et/ou en parall`ele peut constituer des mod`eles visco´elastiques plus complexes. Le mod`ele de Maxwell-Jeffrey qui est l’association en s´erie d’un Kelvin-voigt et d’un amortisseur est le mod`ele le plus g´en´eral qui d´ecrit `a la fois un solide et un liquide visco´elastiques. On peut passer d’un comportement `a l’autre en appliquant des valeurs limites aux diff´erents ´el´ements de ce mod`ele.
G
K
1K
2Exp´erimentalement, le comportement visco´elastique peut ˆetre mis en ´evidence en examinant l’´evolution temporelle de la r´eponse du fluide [26] [28]. Il y a essentiellement trois types d’exp´e-rience : le fluage (creep), la relaxation de contrainte et la sollicitation oscillante. Les d´etails de chaque test utilis´e seront donn´es dans le chapitre 3.
Notons que la notion de visco´elasticit´e retard´ee est li´ee aux ´echelles de temps et de taille du syst`eme en question. Nous y reviendrons dans les chapitres 3 et 4.
1.5 Conclusion
Les diff´erentes notions abord´ees dans ce chapitre permettent d’introduire l’´etude rh´eologique des diff´erents mat´eriaux, et de prendre les pr´ecautions n´ecessaires concernant les mesures rh´eom´etriques afin de mener `a bien une caract´erisation rigoureuse, en r´egime stationnaire (loi de comportement, rh´eofluidification) ou instationnaire (visco´elasticit´e, thixotropie).