Relation viscosité-fraction volumique : (modèle des sphères dures)

2.2 Relation viscosité-fraction volumique : (modèle des sphères dures)

2.2.1 Un peu d’histoire

Les particules suspendues dans un fluide apportent une perturbation `a l’´ecoulement de ce fluide, qui se traduit par un suppl´ement d’´energie dissip´ee par frottement visqueux, conduisant `a une viscosit´e η sup´erieure `a la viscosit´e du fluide suspendant ηf. Lorsque le fluide est une suspension tr`es dilu´ee (φ ≺ 1%), les volumes des particules n’interagissent pas entre eux, ils sont donc ind´ependants. Einstein a montr´e que la perturbation apport´ee `a l’´ecoulement est, dans ce cas l`a, proportionnelle au nombre de particules, donc `a une augmentation de l’´energie dissip´ee par unit´e de volume i.e directement proportionnelle `a la fraction volumique φ, [43] :

η

η_f ^{= (1 + 2.5φ) (2.1)}

Pour des fractions volumiques un peu plus grandes, les volumes relatifs `a chaque particule peuvent s’interp´en´etrer, donnant naissance `a des interactions hydrodynamiques entre ces particules d’o`u une augmentation suppl´ementaire de η. Batchelor et Green corrigent la relation d’Einstein (Eq.2.1) en ajoutant un terme d’ordre 2, pour prendre en compte les interactions entre deux par-ticules [44] :

η

η_f ^{= 1 + 2.5φ + (2.5φ)}

Rh´eom´etrie stationnaire : Description structurelle 41

Pour des valeurs de φ encore plus ´elev´ees, il est impossible de d´ecrire la contribution des in-teractions existantes. En effet, dans ce cas l`a, le probl`eme rel`eve `a la fois de l’hydrodynamique et de la thermodynamique statistique. N´eanmoins, il existe dans la litt´erature de nombreux travaux d´ecrivant la relation entre la fraction volumique et la viscosit´e sous conditions stationnaires. Ces mod`eles ph´enom´enologiques se basent sur des approches th´eoriques, on peut citer la th´eorie de Russel et Gast [45] qui est une extension de la th´eorie de Batchelor, en prenant en compte les interactions thermodynamiques entre toutes les particules, mais en ne consid´erant que les interac-tions hydrodynamiques entre paires de particules. Une expression g´en´erale a ´et´e donn´ee reliant la viscosit´e relative `a la fraction volumique [46] :

η η_f ⁼  1 −_φ^φ∗ −q (2.3) o`u φ∗

est la fraction volumique de paking al´eatoire. φ∗

est directement li´ee `a c∗. Cette valeur se situe entre la valeur du paking dense al´eatoire φ∗

0 et celle du paking dense maximal φ∗

∞ (l’arrangement cubique `a face centr´e).

En 1977, Quemada [10] a obtenu une ´equation du mˆeme type que l’´equation Eq.2.3 mais avec q = 2, son mod`ele est bas´e sur le principe de minimisation de l’´energie dissip´ee par effets visqueux

1. Il a appliqu´e ce principe en ´ecoulement non-inertiel de dispersion de sph`eres dures en supposant possible une variation de la fraction volumique dans la direction transversale de l’´ecoulement :

ηr= ^η η_f ⁼  1 −_φ^φ∗ −2 (2.4) o`u φ∗

est la fraction volumique de paking al´eatoire. φ∗

varie entre φ∗

= 0.64 pour P e → 0 et φ∗

= 0.71 pour P e → ∞.

Le point de d´epart donc de la mod´elisation rh´eologique de ces fluides est de consid´erer le syst`eme comme une dispersion de sph`eres dures de rayon a dans un fluide newtonien. La figure Fig.2.2 repr´esente la relation entre la viscosit´e et la fraction volumique dans le r´egime stationnaire, `a faibles (P e → 0) et `a fortes contraintes de cisaillement (P e → ∞), dans une dispersion de sph`eres dures [47].

De fa¸con g´en´erale, le comportement d’un fluide (compos´e de particules et de fluide newtonien) d´epend de l’´energie m´ecanique et du temps de r´earrangement ². La viscosit´e est donc fonction, en plus de la fraction volumique φ, de l’´energie m´ecanique et du temps `a travers la fraction vo-lumique d’empilement φ∗

(P e, De). Afin de mod´eliser ces syst`emes complexes, on utilise l’analyse dimensionnelle suivante [1].

1Le principe de minimisation de l’´energie dissip´ee garantit que parmi tous les ´ecoulements possibles, l’´ecoulement non-inertiel est celui qui dissipe le minimum d’´energie [1]

2

I

I

I

I

K

Fig. 2.2: Repr´esentation sch´ematique de la relation viscosit´e-Structure `a faibles (P e → 0) et `a fortes contraintes de cisaillement (P e → ∞) dans

une dispersion de sph`eres dures

2.2.2 Nombres adimensionnels

Un tel syst`eme (particule solide + fluide newtonien) a une viscosit´e η, il est constitu´e de parti-cules (de taille a, de densit´e num´erique N<sup>3</sup>, de masse volumique ρ<sub>p</sub>), de fluide suspendant (de masse volumique ρ<sub>f</sub>, de viscosit´e η<sub>f</sub>) et des grandeurs fix´ees par l’observateur (vitesse de cisaillement ˙γ, temp´erature T , et le temps d’observation t<sub>E</sub>). En admettant les hypoth`eses suivantes [1] :

– Le rapport des masses volumiques du fluide et des particules est proche de 1 (les particule ne s´edimentent pas).

– Le nombre de Reynolds particulaire est tr`es petit : Re = ρ<sub>f</sub>˙γa<sup>2</sup>/η<sub>f</sub> ≪ 1 (les effets d’inertie `a l’´echelle des particules sont n´egligeables)

On obtient une relation unique reliant les diff´erents param`etres caract´eristiques du syst`eme, cette relation permet d’exprimer la viscosit´e relative sous la forme :

η_r = ^η

η_f ^{= ηr(φ, P e, De) (2.5)}

o`u : φ = N Vp = ^4π₃ N a³ est la fraction volumique De = ^tarr

tE est le nombre de Deborah hydrodynamique, t_arr est le temps de r´earrangement interne, tE est la dur´ee de l’exp´erience.

P e = ^WH

U est le nombre de Peclet, W_H est l’´energie hydrodynamique, U est l’´energie d’interaction.

3

Rh´eom´etrie stationnaire : Description structurelle 43

En r´egime stationnaire, le nombre de Deborah ´etant tr`es petit De → 0 (car le temps d’obser-vation est long), la relation Eq.2.5 devient :

η_r= ^η

η_f ^{= ηr(φ, P e) (2.6)}

2.2.3 Particule isolée

Dans un milieu dilu´e, en l’absence d’´ecoulement, les forces browniennes sont dues `a l’agita-tion thermique des mol´ecules du fluide suspendant. Sous ´ecoulement, des forces hydrodynamiques (pression et frottement) viennent s’ajouter aux forces browniennes. La r´esultante de ces forces est la force de stokes, dont l’expression dans le cas des sph`eres se d´epla¸cant `a la vitesse ~v est donn´ees :

– par : ~f_St= −6πηfa~v, dans le cas de la translation, – par : ~f_St= −8πηfa~v, dans le cas de la rotation.

Le coefficient de diffusion brownienne d’une particule isol´ee est donc donn´e par : D0∝ ^kBT

η_fa ^(2.7)

k_B= 1.38.10−23 est la constante de Boltzmann.

2.2.4 Milieux dilué, semi-dilués et concentrés

Lorsque la fraction volumique φ ≺ 1%, le nombre de Peclet hydrodynamique est d´efini comme le rapport de l’´energie hydrodynamiques F_H.a ≈ ηf˙γa3 sur l’´energie thermique browniennes k_BT . Il est donn´e par :

P e ≈ ^ηf˙γa 3 k_BT ⁼ σa³ k_BT ⁼ σ σ_c ^(2.8) o`u : σ_c = ^KBT a3 (2.9)

Lorsque σ ∼= σc, l’´energie hydrodynamique est du mˆeme ordre que l’´energie thermique brownienne.

Lorsque la fraction volumique augmente, les particules voient leur distance moyenne diminuer. En de¸c`a d’une certaine distance interparticulaire, les forces d’interactions potentielles entre parti-cules peuvent devenir suffisamment importantes U ≥ kBT , pour faire apparaˆıtre une organisation structurelle en l’absence des forces hydrodynamiques.

Sous cisaillement, si l’´energie hydrodynamiques W_H atteint ou d´epasse l’´energie d’interaction potentielle U n´ecessaire pour faire sortir une particule de son ´etat d’´equilibre, les ´el´ements structu-rels sont bris´es en plus petits ´el´ements. La taille de ces ´el´ements est d’autant plus petites que W_H est grande.

Dans un milieu concentr´e, pour prendre en compte les interactions d’une particule avec ses voisines, on consid`ere que la diffusion brownienne de cette particule a lieu dans un milieu effectif ayant, en premi`ere approximation, une viscosit´e voisine de celle de la suspension η. Ainsi dans l’´equation Eq.2.8, on remplace η_f par η, ce qui conduit `a d´efinir un nouveau nombre de Peclet pour les syst`emes semi-dilu´es et concentr´es :

P e(σ) ≈ ^{η ˙γa} 3 U ⁼ σa³ U ⁼ σ σ_c ^(2.10)

Lorsque σ ∼= σc, l’´energie hydrodynamique est du mˆeme ordre que l’´energie d’interaction.

Les courbes qui repr´esentent la viscosit´e relative en fonction du nombre de Peclet (ou de la contrainte) sont des courbes maˆıtresses (Fig.2.3), o`u η(φ) est la viscosit´e de la suspension et η_f(φ) est la viscosit´e du fluide suspendant.

Fig. 2.3: Courbes maˆıtresses d´ecrivant le comportement de la viscosit´e relative en fonction du nombre de Peclet

Lorsque P e → 0, l’´energie d’interaction est pr´edominante, on d´etermine une viscosit´e relative `a faibles contraintes de cisaillement :

η_r,0 = η₀(φ)/η_f(φ) (2.11)

η0(φ) est la viscosit´e `a tr`es faibles contraintes de cisaillement (P e → 0).

Lorsque P e → ∞, c’est l’´energie hydrodynamique qui pr´edomine, on d´etermine une viscosit´e relative `a fortes contraintes de cisaillement :

ηr,∞= η∞(φ)/η_f(φ) (2.12)

Rh´eom´etrie stationnaire : Description structurelle 45

Le point d’inflexion de chaque courbe correspond `a la contrainte caract´eristique σ<sub>c</sub> o`u P e ∼ 1. Lorsque la fraction volumique hydrodynamique φ est faible (milieu dilu´e φ ≺ 1%), l’´energie d’inter-action U se r´eduit `a l’´energie brownienne U ∼ kBT . Sous la contrainte caract´eristique σ<sub>c</sub>, l’energie hydrodynamique W<sub>H</sub> ≈ FHa = σa3 est de l’ordre de grandeur de l’´energie brownienne. Lorsque la fraction volumique hydrodynamique augmente (i.e la concentration du polym`ere), la courbe maˆı-tresse se d´eplace vers les viscosit´es les plus ´elev´ees. L’´ecart entre η_r0(φ) et η_r∞(φ) augmente et la contrainte caract´eristique σ_c devient plus ´elev´ee (Fig.2.3, Fig.2.2).