Régimes d’écoulement de Couette-Taylor pour un fluide visco- visco-élastique

∇v +^∇v^T 

est le tenseur des taux de d´eformation.

Pour un syst`eme de Couette `a grand rapport d’aspect (Γp ≻≻ 1) et `a faibles nombres de Reynolds, les effets de bords dus `a la couche d’Ekman sont confin´es dans une r´egion proche des bords et peuvent donc ˆetre n´eglig´es. L’´ecoulement de base est laminaire ; homog`ene suivant z, ne poss`ede pas de vitesse axiale ni radiale (v_r = v_z = 0), est stationnaire et axisym´etrique. La r´esolution de l’´equation Eq.5.1 avec les conditions aux limites `a r = Ri (vθ(Ri) = ΩRi) et `a r = Re

(v_θ(R_e) = 0) donne le profil de vitesses de l’´ecoulement laminaire du fluide newtonien qui s’´ecrit sous la forme :

v_θ(r) = A.r + ^B

r ^(5.3)

O`u A et B sont des constantes d’int´egration. Le profil de vitesses comporte une seul direction (azimutale) et ne d´epend que de la composante radiale.

5.3 Régimes d’écoulement de Couette-Taylor pour un fluide

visco-élastique

5.3.1 Caractéristiques de l’écoulement

Dans le syst`eme de Couette visco´elastique, le tenseur de contrainte en coordonn´ees cylindriques a la forme : σ =      σ_rr σ_rθ σ_rz σ_rθ σ_θθ σ_θz σ_rz σ_θz σ_zz     

Les valeurs des trois contraintes normales : σ_rr, σ_θθ et σ_zz sont diff´erentes, cet effet d’anisotropie conduit `a les caract´eriser par les deux contraintes N1 et N2.

N1 = σθθ− σrr (5.4)

N₂ = σ_rr− σzz (5.5)

On d´efinit la premi`ere contrainte normale : N1 qui est la diff´erence entre la contrainte normale dans la direction de l’´ecoulement et celle dans la direction du gradient de vitesse. La deuxi`eme contrainte normale : N2 qui est la diff´erence entre la contrainte normale dans la direction du gradient de vitesse et celle dans la direction neutre. De fa¸con g´en´erale les contraintes normales sont n´ecessairement des fonctions paires du taux de cisaillement ˙γ, les premiers termes non nuls de

leurs d´eveloppement seront donc des termes en ˙γ^{2 2} [5]. Il en sera de mˆeme pour leurs diff´erences normales N₁ et N₂

Le nombre de Reynolds critique est d´efini par : ℜe= ^tν

t_a ^(5.6)

avec : tν = _{η( ˙γ)}^ρe2 est le temps de diffusion visqueuse d´ependant du taux de cisaillement ˙γ, et tν = _ΩR^e

i

est le temps d’advection dans la direction azimutale.

On introduit le nombre de Weissenberg, calcul´e `a partir du temps de relaxation de la solution :

W e = t_v.e.. ˙γ (5.7)

t_v.e.´etant le temps de relaxation de la solution.

On peut ´egalement construire le nombre ´elastique qui est le rapport des effets ´elastiques sur les effets inertiels, ou bien le rapport du temps de relaxation sur le temps de dissipation visqueuse :

E = ^{W e} ℜe

= ^tv.e.

t_ν ^(5.8)

Les fluides visco´elastiques sont g´en´eralement obtenus par l’ajout d’un polym`ere `a longues chaˆınes mol´eculaires dans un solvant newtonien. Soumise `a un cisaillement, la solution obtenue pr´esente des comportements non newtoniens comme la rh´eofluidification ou l’apparition de diff´erences de contraintes normales induites par l’allongement des macromol´ecules dans l’´ecoulement. Ces propri´e-t´es visco´elastiques modifient la nature et les caract´eristiques des instabilipropri´e-t´es (r´egimes d’´ecoulement) observ´ees pour un fluide newtonien.

Dans ce qui suit, nous r´esumons les travaux ant´erieurs sur les instabilit´es dans le syst`eme de Couette-Taylor avec des liquides visco´elastiques. Les travaux sur l’´ecoulement de Couette-Taylor visco´elastique se sont int´eress´es `a caract´eriser l’influence de la visco´elasticit´e sur la premi`ere instabi-lit´e. Lorsque le cylindre ext´erieur est au repos, on a distingu´e essentiellement trois types d’instabilit´e selon le nombre ´elastique E du fluide visco´elastique : pour de faibles valeurs de E l’instabilit´e est de nature inertielle ; pour des valeurs moyennes de E, l’instabilit´e est de nature inertio-´elastique ; pour de grandes valeurs de E, l’instabilit´e est de nature purement ´elastique.

5.3.2 Instabilité inertielle

Lorsque le nombre ´elastique E est tr`es petit, la nature de la premi`ere instabilit´e est la mˆeme que celle observ´ee pour un fluide newtonien (rouleaux de Taylor : ´ecoulement stationnaire et p´e-riodique dans la direction axiale). Cependant, le nombre de Taylor critique et le nombre d’onde

2

Les diff´erences de contraintes normales peuvent ˆetre proportionnelles `a | ˙γ |dans certains cas tr`es sp´eciaux comme les cristaux liquides [5] et certaines ´emulsions [82]

Bibliographie sur l’´ecoulement entre deux cylindres 117

sont diff´erents. En 1969, les travaux de Ginn et Denn [83] ont pr´edit, avec un mod`ele de fluide du second ordre 3, la stabilisation dans le cas d’une faible visco´elasticit´e (faibles concentrations). Cette stabilisation est traduite par l’augmentation du nombre de Taylor critique accompagn´ee par la diminution du nombre d’onde (augmentation de la taille des rouleaux). L’exp´erience de Beavers et Joseph [84] avec des solutions de polyacrilamide dans un m´elange eau-glycerole a mis en ´evidence une forte diminution (jusqu’`a un facteur 3) du nombre d’onde. D’autres auteurs, comme Karlson et Sokolov, ont montr´e que la faible visco´elasticit´e induisait une stabilisation et une diminution du nombre d’onde pour les solutions de faibles concentrations de polym`ere.

5.3.3 Instabilité inertio-élastique

Lorsque le fluide poss`ede un nombre ´elastique E moyen, les effets ´elastiques et inertiels sont comparables. Ce r´egime est situ´e entre les zones de faible et de forte ´elasticit´e. Dans ce cas, la premi`ere instabilit´e n’est plus purement inertielle. On observe un motif form´e d’ondes spirales, des rubans ou, de mani`ere g´en´erale, des modes non-axisym´etriques instationnaires. Ce r´egime est le r´esultat d’une instabilit´e inertielle modifi´ee par l’´elasticit´e, ce qui permet d’observer des modes instationnaires. Groisman et Steinberg [85] ont caract´eris´e la transition entre le r´egime inertiel, o`u la force centrifuge est le moteur de la d´estabilisation, et le r´egime ´elastique. Pour des valeurs de E inf´erieures `a E<sub>c</sub> ≈ 0.22, ils ont observ´e des rouleaux de Taylor comme premier mode d’instabilit´e avec des nombres de Taylor presque constants et sans modification du nombre d’onde axial (insta-bilit´e inertielle). Le deuxi`eme mode est sous forme de deux spirales contrapropagatives superpos´ees de mˆeme amplitude, et le troisi`eme mode est sous forme de deux spirales contrapropagatives d’os-cillations d´esordonn´ees, ces deux derniers modes sont des instabilit´es inertio-´elastiques. Un r´egime comparable a ´et´e observ´e par Baumer et Muller [86]. La d´estabilisation observ´ee pour des solutions de concentrations plus ´elev´ees, accompagn´ee d’un comportement complexe du nombre d’onde, per-met de d´eduire que la rh´eofluidification joue un rˆole d´estabilisant sur l’´ecoulement. Les travaux num´eriques de Avgousti [87] bas´es sur le mod`ele d’Oldroyd-B et de Maxwell, ont montr´e que les instabilit´es inertio-´elastiques les plus instables sont des modes oscillants non-axisym´etriques. Les travaux de Crumeyrolle [88], en utilisant diff´erentes concentrations de polyoxy´ethyl`ene, ont montr´e que pour de faibles concentrations, on peut retarder (stabiliser) l’apparition de l’instabilit´e dans l’´ecoulement de Couette jusqu’`a des valeurs du nombre de Taylor de 10 `a 15 % sup´erieures `a la valeurs critique pour un ´ecoulement newtonien, et que les effets ´elongationnels pourraient ˆetre `a l’origine de ce comportement. Avec des concentrations plus importantes, ils ont montr´e qu’on

pou-3

Un fluide du second ordre est un fluide de Type Oldroyd-B dont le temps de relaxation est nul et o`u la deuxi`eme diff´erence normale est tr`es faible[4]

vait destabiliser l’´ecoulement de Couette circulaire vers des r´egimes plus complexes, voire quasi turbulents, donc plus m´elangeants. Enfin, la stabilit´e des solutions visco´elastiques est sensible `a la pr´esence d’agr´egats et aux perturbations thermiques.

5.3.4 Instabilité élastique

Lorsque le nombre ´elastique E du fluide est important, le premier mode observ´e est sous forme d’oscillations tr`es d´esordonn´ees. Ce r´egime est le r´esultat d’une instabilit´e purement ´elastique. Les effets ´elastiques dominent sur les effets inertiels. Les instabilit´es purement ´elastiques ont ´et´e observ´ees par Larson et al [89] en 1990, `a travers leurs exp´eriences sur du polyiosobutyl`ene de concentration de 1000 ppm. Il ont constat´e que ces instabilit´es ´elastiques apparaissent d´ej`a `a de tr`es faibles nombre de Taylor T a = 10−6 (pour De ≈ 20 et ǫ = 0.14), et elles sont sous forme de rouleaux irr´eguliers. Les r´esultats th´eoriques ´etaient en accord avec leurs exp´eriences. Ces derni`eres, faites par les mˆemes auteurs avec des solutions de type liquide de Boger<sup>4</sup>, non rh´eofluidifiants dans des solvants tr`es visqueux (de 100 `a 1000 fois la viscosit´e de l’eau) ont montr´e que la visco´elasticit´e induit des modes d’instabilit´e diff´erents du mode stationnaire et axisym´etrique des rouleaux de Taylor [89]. Groisman et Steinberg [85] ont montr´e, pour les solutions `a grand nombre ´elastique E que la premi`ere instabilit´e est sous forme d’ondes radiales se propageant avec une fr´equence f . La deuxi`eme instabilit´e apparait brutalement sous forme d’oscillations d´esordonn´ees, la fr´equence des spirales de transition est proche des valeurs de fr´equences trouv´ees par les pr´edictions th´eoriques sur les instabilit´es purement ´elastiques faites par Larson [89]. D’autres travaux th´eoriques ont confirm´e l’existence de l’instabilit´e purement ´elastique form´ee de modes non-axisym´etriques dans l’´ecoulement de Couette-Taylor visco´elastique [90, 91, 92] .

Dans le sch´emas de la figure Fig.5.2, nous pouvons sch´ematiser l’effet du nombre ´elastique sur le comportement du fluide visco´elastique par rapport `a celui d’un fluide newtonien, dans une g´eom´etrie de Couette de courbure ǫ. Selon la valeur du nombre ´elastique E, la premi`ere instabilit´e peut apparaˆıtre `a un nombre de Taylor plus grand (pour E petit) ou plus petit (pour E grand) que le nombre de Taylor critique d’un fluide newtonien. De plus, suivant la valeur de E et de T a, la nature de l’instabilit´e est diff´erente.