4.1 Estimation algébrique rapide de la variation fréquentielle modale
Dans ce paragraphe, nous étudions la détection en ligne de la variation de la fréquence propre caractérisant le mode de déformation dominant la réponse de l’axe 2 du robot. Pour assurer la limitation des phénomènes vibratoires, la durée d’estimation de la fréquence de résonance doit être inférieure à une période du mode propre.
Typiquement, les vibrations résiduelles d’une structure mécanique souple peuvent être modélisées par une somme de sinusoïdes où chacune est associée à un mode de déformation [Pereira et al.,2011]. Par ailleurs, les résultats illustrés dans la figure4.31permettent d’exprimer les vibrations résiduelles noté ici y(t) sous la forme d’une fonction périodique suivante :
y(t) = Asin(ω0t + φ), (4.31)
où A, ω0 et φ désignent respectivement l’amplitude, la pulsation et la phase des vibrations induites. En dérivant (4.31) deux fois par rapport au temps, on obtient une équation linéaire différentielle comme suit :
¨
y(t) = −ω20y(t). (4.32)
Il est important de signaler que l’équation (4.32) ne dépend ni de l’amplitude A ni de la phase φ. Dans ce cas, l’estimateur vise à identifier uniquement ω0. A partir des expressions génériques données dans le chapitre2, une estimation de la pulsation propre ω0est donnée dans le domaine temporel, par le quotient (2.42) dans le chapitre2.
4.2 Technique d’implantation
L’estimateur algébrique illustré à la figure4.28est programmé en MATLAB. Ainsi, l’équation (2.42, voir chapitre2) est implantée avec un pas fixe. Le pas dans ce cas est égal à la période d’échantillonnage Teutilisée pour l’acquisition des données, c’est-à-dire 4 ms. La variable ω0(t) est notée ω0(nTe) = ω0(n). Elle est obtenue en évaluant (2.42) en t = nTe, n = 1, 2, .... Nous notons que le processus d’estimation paramétrique opère sur une fenêtre d’intégration glissante en vue d’obtenir une estimation "temps réel".
Il est intéressant d’ajouter un critère de validation de l’identification de la pulsation. Ce critère doit permettre de sélectionner un nombre np d’échantillons à partir duquel ω0p= ω0(np) sera calculé avec une précision déterminée. Nous proposons alors le critère dit de mise à jour comme suit :
σ(n) |E[ˆω0(n)]|
≤ ∆, (4.33)
où le paramètre ∆ désigne la précision requise pour l’identification de ω0. E[ω0(n)] et σ(n) représentent respectivement la moyenne glissante et la déviation standard glissante de ω0(n) estimée. Une telle démarche a été employée dans les travaux de [Pereira et al., 2012]. Ces quantités sont calculées par les formules suivantes :
E[ω0(n)] = N −1 X k=0 1 Nω0(n − k), (4.34)
4.2 Technique d’implantation 155
σ(n) =pE[(ω0(n))2] − (E[ω0(n)])2, (4.35) où n est le nombre d’échantillons utilisés pour le calcul de la moyenne glissante. Par conséquent, σet N sont choisis en fonction des critères suivants :
– (n − 1)Te doit être suffisamment large pour garantir une bonne estimation de ω0 et suffisamment petit, c’est-à-dire (n − 1)Testrictement inférieur à T0 =
2π ω0
pour une loi de mouvement à jerk limité ;
– la précision σ dépend essentiellement de l’intervalle de tolérance et de la marge d’erreur permise pour l’estimation de la pulsation propre permettant de garantir un seuil de vibration.
Par conséquent, en se référant à l’étude de sensibilité de la loi de mouvement en jerk limité (Cf. figure4.13) et pour garantir un niveau de vibration F (jω) inférieur à environ 10%, la variabilité d’une estimation de la fréquence propre de l’axe du robot doit être comprise entre ω0-9% et ω0+9% comme illustré dans la figure4.25. Cela se traduit par l’erreur relative suivante :
P AE(100%) = 100 ∗ |ˆω p 0 − ω0| ˆ ω0 ≤ 9%. (4.36)
Dans le cas d’une opération de chargement/déchargement de la broche, la fréquence propre f0 de l’axe 2 varie de 12% entre les deux phases. De ce fait, la taille de la fenêtre glissante nTe doit être choisie de telle sorte qu’elle soit strictement inférieure à la valeur minimale de la variation de la période propre du processus T0. Ainsi, pour Te = 0.004s ⇒ n ≤
1 f0max Te où f0maxreprésente la fréquence propre maximale que peut avoir l’axe 2. Elle est égale à 9.02 Hz.
Par conséquent, la taille de la fenêtre glissante permettant d’identifier la fréquence associée au mode de déformation, doit être inférieure à 27 échantillons.
La figure4.32montre une estimation non asymptotique de la fréquence d’oscillation des vibrations causées par le mouvement de l’axe 2 du manipulateur. L’expérience montre qu’avec une longueur n de la fenêtre glissante égale à 18 échantillons de la vitesse articulaire en entrée de l’estimateur algébrique, l’identification de ˆf0 =
ˆ ω0
2π est obtenue par une intégration par la méthode de Simpson. Cette figure montre aussi l’aspect temps réel de (2.42) lors de la détection d’un changement fréquentiel du mode de déformation. Le résultat le plus évident concerne l’estimation non asymptotique de la fréquence. Une estimation de cette dernière est obtenue après t = 0.064 s pour chaque variation de configuration.
L’erreur d’estimation ne dépasse pas les 0.5% durant la phase d’avance dans la direction Y+ du robot (robot non chargé) et elle est inférieure à 1.5% quand le robot est chargé (changement de la fréquence modale de l’axe 2) dans la direction Y−du démonstrateur. Cette application illustre bien la mise en oeuvre d’une procédure de détection de la variation modale que peut subir le robot manipulateur. En effet, les résultats expérimentaux montrent l’efficacité de notre méthode. Elle ne nécessite qu’un faible temps de calcul. Ainsi, cet estimateur algébrique sera utilisé pour alimenter le planificateur de mouvement en vue de définir le temps de jerk. Cette structure permet de mettre à jour la durée de filtrage du jerk en fonction de la fréquence de résonance du système afin de réduire le vibrations résiduelles. Une approche similaire est étudiée dans [Pereira
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 Temps (s) Vitesse (deg/s) 0 10 20 30 5 10 15 Frequence (Hz) Amplitude spectrale 0 10 20 30 10 20 30 40 Frequence (Hz) Amplitude spectrale 8.54 Hz 7.57 Hz
(a) Evolution de la vitesse articulaire de l’axe 2 du manipulateur pour une trajectoire selon
Xrobot 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 2 4 6 8 10 Temps (s) Fréquence propre f 0 (Hz)
(b) Estimation non asymptotique de la variation de la fréquence f0