Détection du changement brusque de fréquence

Nous simulons une variation de la fréquence f0dans la plage {5, 10, 18} Hz. Cette variation consiste à un saut de la fréquence propre du signal x(t) après une durée finie. Bien que l’estimateur algébrique soit développé initialement pour des systèmes LTI avec coefficients stationnaires, nous exploitons ici son caractère non asymptotique où nous disposons d’un réglage lié à la taille de la fenêtre glissante Tf. Si Tf est suffisamment petit, nous pouvons garantir une convergence plus rapide. Néanmoins, il faut toujours trouver un compromis entre sa taille et l’effet du bruit de mesure sur l’estimation. En outre, En effet, plus la taille de fenêtre est grande, plus l’estimateur devient robuste aux signaux bruités. L’estimation de la pulsation propre ω0est alors donnée dans le domaine temporel par l’estimateur (2.33). Dans le cas d’une fenêtre glissante il s’exprime comme (2.42). Des singularités peuvent apparaître notamment quand la stabilisation de (2.42) est obtenue. Dans ce cas, la pulsation est alors indéterminée. L’estimation par la médiane évite alors cette situation.

Afin d’étudier la robustesse de la méthode algébrique vis à vis de la détection de la variation paramétrique, nous réalisons plusieurs simulations numériques. Nous centrons notre attention autour des quantités tels que : le rapport signal-sur-bruit(SNR), la taille de la fenêtre d’estimation Tf et la variance des estimations obtenues. Le signal x(t) initialement non bruité est donné par la figure2.25. La longueur du signal est de 15 secondes et la fréquence d’acquisition est fixée à 1000 Hz, soit 15000 échantillons. La méthode de Simpson est utilisée pour discrétiser les intégrales dans (2.42). Un aperçu sur le contenu fréquentiel du signal figure dans le graphe

2.26. L’estimateur algébrique (2.42) est programmé en MATLAB. Ainsi, l’équation (2.42) est implémenté avec un pas fixe. Le pas dans ce cas est alors égale à la période d’échantillonnage Te utilisée pour l’acquisition des données c’est à dire 1 ms. Par conséquent, la variable ω0(t)notée ω0[nTe] = ω0[n], est obtenue en évaluant (2.42) en tn= nTe, n = 1, 2, .... Notons que le processus d’estimation paramétrique opère sur une fenêtre d’intégration glissante en vue d’obtenir une estimation à caractère "temps réel". La figure2.27 illustre les résultats de la simulation pour une estimation de la fréquence ˆf0dans le cas où le signal x(t) n’est pas bruité. Ainsi, la taille minimale de la fenêtre glissante d’intégration garantissant une estimation propre de la fréquence est égale à 8 échantillons soit 8 ms après la mise en route de l’estimateur. Nous montrons que pour cette valeur de Tf l’erreur d’estimation paramétrique ne dépasse pas 0.24 %. Pour avoir une idée sur la performance de la méthode algébrique comparée à d’autres approches non paramétrique standard, nous comparons nos résultats à ceux obtenus par une transformée de Fourier à court terme ou transformée de Fourier locale (en anglais Short-Time Fourier Transform "STFT"). Nous avons appliqué la STFT sur le signal x(t) où nous retrouvons que la taille de la fenêtre glissante permettant de générer des résultats corrects est de 400 échantillons (Cf.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 Temps (s) x(t) 10 Hz 5 Hz 18 Hz

FIGURE2.25: Signal composé de trois séquences consécutives et pour f0variable

0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 4 Fréquence (Hz) |Y(t)|

FIGURE2.26: Transformée de Fourier de x(t)

figure2.28). L’approche algébrique est donc plus efficace dans le cas d’estimations en ligne. Nous analysons maintenant l’influence du bruit appliqué au signal sinusoïdal sur la robustesse de l’estimateur vis-à-vis du SNR. Nous ajoutons un bruit blanc gaussien au signal x(t) avec un rapport signal sur bruit ∈ {10, 15, 20, 25, 30, 50} dB. Soient ˆf01, ˆf02 et ˆf03 les fréquences

naturelles identifiées pour les trois intervalles. La figure2.29montre un exemple de signal brut x(t)de SNR égale à 10 dB. Ainsi, la figure2.30donne un aperçu sur la détection de la variation fréquentielle par les deux méthodes cités auparavant. Nous proposons une étude numérique

5.3 Détection non asymptotique de la variation paramétrique 73 0 5 10 15 0 5 10 15 20 25 30 Temps (s) Fréquence estimée f 0 (Hz)

FIGURE2.27: Détection de la variation fréquentielle pour un signal x(t) non bruité

Temps (s) Fréquence estimée (Hz) 2 4 6 8 10 12 14 0 5 10 15 20 25 30 35 40

FIGURE2.28: Spectrogramme de x(t) non bruité

empirique permettant de donner la longueur de la fenêtre glissante en fonction du niveau du bruit du signal afin de garantir un seuil de précision demandé, basé sur l’erreur :

P AE(100%) = 100 ∗ |ˆω0− ω0| ω0

. (2.62)

Nous constatons que l’approche algébrique offre une estimation de f0pour une fenêtre glissante de 72 échantillons garantissant ainsi une erreur d’estimation inférieure à 5 %. Pour garantir

0 2 4 6 8 10 12 14 16 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Temps (s) y(t) Signal bruité SNR = 10 dB Signal de base

FIGURE2.29: x(t) bruité avec un SNR = 10 dB

une estimation à ± 3 %, 80 échantillons sont nécessaires. L’approche non paramétrique permet une estimation correcte du saut fréquentiel seulement après 400 échantillons. L’estimation algébrique est non biaisée et elle est peu sensible à un niveau élevé de bruit. Ceci présente un avantage majeur. La figure 2.31(a)présente une étude réalisée sur les performances de

0 5 10 15 0 10 20 30 Temps (s) 2 4 6 8 10 12 14 0 10 20 30 40

FIGURE2.30: Estimation algébrique de la variation fréquentiel pour x(t) bruité avec un SNR = 10 dB (en

5.3 Détection non asymptotique de la variation paramétrique 75

l’estimateur algébrique dans un environnement bruité. Ainsi, pour chaque niveau de bruit nous présentons la valeur de ˆf0i, i = 1, 2, 3pour chaque palier en fonction du SNR. Tandis que la

figure2.31(b)illustre la taille de la fenêtre glissante adéquate pour une erreur d’estimation inférieure respectivement à 5 % et 3 % . Ceci montre que plus le niveau de bruit est grand, plus on a besoin d’une taille de fenêtre glissante plus importante permettant de jouer le rôle d’un filtre moyenneur. Ceci se transpose aussi pour une précision de l’ordre de 3 %. Nous donnons alors la taille de fenêtre d’estimation minimale en fonction du niveau de bruit.

L’approche algébrique basée sur le calcul opérationnel permet une estimation robuste et rapide. Le caractère non-asymptotique permet d’estimer le paramètre inconnu en temps fini. Ce temps dépend du niveau de bruit du signal. Les expériences montrent que l’estimation après un changement brusque de la fréquence nécessite une taille de la fenêtre glissante de l’ordre de 71 échantillons pour une période d’échantillonnage de 1 ms et un SNR égale à 10 dB. Cette méthode est donc très intéressante comparativement aux approches non paramétriques telles que la STFT. De plus, il n’est pas nécessaire de régler des paramètres extérieurs comme un gain par exemple, ce qui facilite l’implantation.