3.5 Analyse des résultats d’optimisation
3.5.2 Visualisation du front de Pareto à l’aide de cartes auto-adaptatrices
Les cartes auto-adaptatrices (SOM) décrites dans la partie 3.3.5.1 donnent une représentation en deux dimensions du front de Pareto. Elles utilisent en entrée l’ensemble des solutions du front de Pareto. Les valeurs des objectifs et des variables sont normées entre 0 et 1 suivant l’équation 3.37. C’est à dire que 0 signifie que l’on atteint le minimum d’un objectif sur le front de Pareto et 1, le maximum. L’entraînement se fait en sélectionnant aléatoirement des solutions sur le front de Pareto. Pour s’assurer que chaque point est sélectionné au moins une fois, nous choisissons d’opter pour un nombre d’itérations 100 fois supérieur au nombre de solutions soit 160 000.
Neuf groupes ou « clusters » sont créés en fonction de la valeur des variables de design en utilisant la technique du regroupement hiérarchique exposée succinctement dans la partie 3.3.5.1. Ils sont présentés sur la figure 3.35. Les cartes sont tracées en colorant une grille de cellules d’un classeur Excel. Les groupes construits en fonction des variables d’optimisation sont affichés dans différentes zones délimitées. A chaque objectif est associée une carte : Wf uel sur la figure 3.33a, Facou sur la figure3.33bet Wempty sur la figure 3.33c. Une coloration bleue est synonyme de norme élevée et donc d’un objectif « mauvais » au contraire de la coloration rouge. Pour faire ressortir des tendances, les cartes représentant les objectifs doivent être observées les unes par rapport aux autres. Les cartes auto-adaptatrices analysées deux à deux reflètent les possibles corrélations existantes entre deux objectifs.
Considérons premièrement les SOM de la quantité de carburant Wf uel sur la figure3.33a et de la masse à vide Wempty sur la figure 3.33c. Nous visualisons clairement une opposition des colorations de ces deux cartes selon un axe de symétrie vertical. Pour la SOM Wf uel, les meilleurs objectifs sont situés dans le coin supérieur gauche et associés à une partie des clusters 1, 5 et 6 tandis que les plus mauvais sont placés dans le coin inférieurs droit dans le cluster n°4. Pour la SOM Wempty, nous observons que les appareils ayant la masse à vide la plus faible sont dans le coin supérieur droit et représentés par les solutions du cluster n°7. Il apparaît donc que les meilleurs et les pires appareils pour chaque objectif sont différents. La conséquence est que l’on ne peut pas choisir une solution qui minimise à la fois Wf uel et Wempty.
Nous regardons à présent la carte auto-adaptative du facteur acoustique sur la figure3.33b. Nous pouvons voir une zone bleue très clairement délimitée par les clusters n°7 et 9. Cela signifie que ces groupes 7 et 9 ont bien regroupés des solutions particulières décrivant un appareil bruyant. Ces groupes correspondent à l’amas de solutions ayant une vitesse de rotation en bout de pale Umr élevée et observée sur la figure 3.31. Les clusters 7 et 9 présentent une opposition de coloration entre le facteur acoustique et la masse de carburant, tout comme le groupe n°4 entre Facou et Wf uel. Cela indique que l’optimisation du facteur acoustique tend à se faire au dépens de la masse de carburant. Cette opposition est aussi visible sur le cluster n°8 en bas à gauche sur les cartes de la masse à vide et du facteur acoustique où certains des meilleurs Facou correspondent aux pires Wempty.
Un affichage particulièrement intéressant est la représentation de la norme des objectifs. Pour cela on calcule la norme des vecteurs d’objectifs à l’aide de leurs valeurs échelonnées entre 0 et 1 et des équations 3.38 dans la partie 3.3.5.2. Les figures 3.34a et 3.34b affichent respectivement la
3.5. ANALYSE DES RÉSULTATS D’OPTIMISATION 185
norme euclidienne et la norme infinie sur des cartes auto-adaptatrices. La norme infinie récupère pour une solution donnée, le maximum des objectifs tandis que la norme euclidienne indique la distance à un point utopique formé de chacun des meilleurs objectifs. Sur ces SOM, nous retrouvons les trois zones bleutées aux valeurs proches de 1 et correspondant au pire de chaque objectifs. Au cœur des cartes, sur une portion du groupe n° 1, on retrouve les solutions qui minimisent les normes infinies et euclidiennes. Ces points ne sont pas les meilleurs ni les pires pour chaque objectif. Ils représentent les solutions de compromis, les compromis étant définis par la norme choisie.
Les SOM donnent un aperçu des corrélations existantes entre les objectifs en observant la position des zones d’intérêt symbolisées par un niveau de couleur. L’affichage des SOM du point de vue des variables d’optimisation et des objectifs (donc le pire cas, c’est à dire le plus proche de 1) est cohérente avec ce que l’on peut observer sur les fronts Pareto en 2D présentés sur les figures3.31. Les carte auto-adaptatives permettent donc de retrouver les tendances d’évolution des objectifs les uns par rapport aux autres ou « compilés » dans une norme. Une surcouche d’information (les clusters) permet aussi d’associer les variables de design aux objectifs.
Les SOM donnent la possibilité de visualiser et d’analyser correctement un front de Pareto com-plexe. Toutefois leur intérêt ici est diminué par le faible nombre d’objectifs à optimiser. Les matrices de graphiques de la figure3.31donnent plus d’information que les SOM sur la répartition géométrique des points. Leur intérêt est moindre lorsqu’il est possible de visualiser un front de Pareto sur deux ou trois objectifs. En revanche lorsque le nombre d’objectifs augmente, les SOM sont un moyen judicieux d’analyser les tendances.
(a) SOM pour Wf uel (b) SOM pour Facou
(c) SOM pour Wempty
Figure 3.33: Représentation à l’aide de SOM de chaque objectif du front de Pareto. Une couleur bleue signifie la mauvaise qualité des objectifs au contraire de la couleur rouge. Les groupes de variables sont séparés par la bordure de chaque cellule. Une étiquette indique le groupe considéré.
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(a) SOM pour la norme euclidienne (b) SOM pour la norme infinie
Figure 3.34: Représentation à l’aide de SOM du front de Pareto. Une couleur bleue signifie la mauvaise qualité d’un objectif global reformulé en norme au contraire de la couleur rouge. Les groupes de variables sont séparés par la bordure de chaque cellule.
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