Nous donnons d'abord une dénition intrinsèque du produit vectoriel, c'est à dire libre d'un système de coordonnées. Rappelons que le déterminant d'un système de q vecteurs dans un espace euclidien orienté de dimension q a été déni à la Proposition 6.6.
Dénition 8.1. Soit E un espace euclidien de dimension 3 orienté. Le produit vectoriel u∧v des vecteursu et v de E est l'unique vecteur6 de E tel que pour tout w∈E on ait hu∧v, wi= det(u, v, w). En d'autres termes, u∧v est le vecteur associé (voir section 5) à la forme linéaire sur E dénie par w7→ det(u, v, w). Le nombre det(u, v, w) est appelé produit mixte des vecteurs u, v, w.
Proposition 8.1. SoitE euclidien orienté de dimension 3. On a les propriétés suivantes : 1. (u, v)7→u∧v est bilinéaire.
2. (u, v)7→u∧v est antisymétrique : u∧v =−v∧u.
3. Soite= (i, j, k) une bon directe de E, [u]e = [a, b, c]T et [v]e = [x, y, z]T. Alors [u∧v]e = [bz−cy, cx−az, ay−bx]T.
En particulier
i∧j =k, j∧k=i, k∧i=j. (8.13) 4. hu∧v, ui= 0 et hu∧v, vi= 0.
5. Si u 6= 0 et v 6= 0, soit θ l'angle entre u et v, c'est à dire le nombre de [0, π] déni par θ = arccos(hu, vi/(kukkvk).Alors ku∧vk2 =kuk2kvk2sin2θ.
6. Double produit vectoriel : (u∧v)∧w=hu, wiv− hv, wiu.
7. Siu et v sont indépendants, alors (u, v, u∧v) est une base directe.
6Notéu×v et appelé cross product dans les ouvrages anglo-saxons.
VIII. PRODUIT VECTORIEL EN DIMENSION 3 ET QUATERNIONS 77 Démonstration : 1) et 2) découlent du fait que le déterminant est une forme multilinéaire alternée. 3) s'obtient par exemple avec la règle de Sarrus : si [w]e = [X, Y, Z]T alors
det
a x X b y Y c z Z
= (bz−cy)X+ (cx−az)Y + (ay−bx)Z.
4) découle du fait que det(u, v, u) = det(u, v, v) = 0. 5) peut se montrer par la méthode peu élégante suivante : sieest une bon directe et [u]e= [a, b, c]T et[v]e= [x, y, z]T alors7
ku∧vk2− kuk2kvk2(1−cos2θ) =ku∧vk2− kuk2kvk2+hu, vi2 =
(bz−cy)2 + (cx−az)2 + (ay−bx)2−(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) + (ax+by+cz)2 = 0.
Une autre méthode plus rapide, mais moins symétrique consiste à choisir d'abord la bon directe e = (e1, e2, e3) en fonction de u et v en posant u = ae1 et v = xe1+ye2 comme dans le procédé de Schmidt. Alors [u∧ v]e = [0,0, ay]T et le calcul ci dessus est très facile. C'est cette méthode que nous suivons pour le 6) : Si u = ae1, v = xe1 +ye2 et w=Xe1+Y e2+Ze3. Alors
[u∧v]e= [0,0, ay]T, [(u∧v)∧w]e= [−ayY, ayX,0]T,
[hu, wiv− hv, wiu]e= [aXx, aXy,0]T −[(xX+yY)a,0,0]T = [−ayY, ayX,0]T. De même pour le 7), avecu=ae1, v =xe1+ye2 alorsay 6= 0siu etv sont indépendants, et il est clair que f = (u, v, u∧v) est une base puisque, d'après le 4) le vecteur u∧v est orthogonal au plan engendré par u et v. Comme [idE]ef est triangulaire supérieure de diagonale (a, y, ay) son déterminant a2y2 est > 0 et f est directe : la proposition est montrée.
Proposition 8.2. Soit E euclidien orienté de dimension 3 et soit A le sous espace vectoriel deL(E)formé des endomorphismes antisymétriques. Soitu∈Eetϕu(x) = u∧x.
Alors ϕu est dans A et l'application u 7→ϕu est un isomorphisme entre E et A. Si e est une bon directe et si[u]e = [a, b, c]T, alors
[ϕu]ee =
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
, (8.14)
Enn, siθ =kuk>0,sif = (f1, f2, f3)est une bon directe telle que f3 =u/θ, alors on a [expϕu] =
R(θ) 0 0 1
, c'est à dire queexpϕu est une rotation d'axe u et d'angle θ.
7On a ici une nouvelle démonstration de l'inégalité de Schwarz en dimension 3, avec représentation explicite de la diérence parku∧vk2=kuk2kvk2− hu, vi2.
Démonstration : D'après la Proposition 8.1, partie 1), ϕu est bien linéaire. Calculons son adjoint :
hv, ϕ∗u(w)i=hϕu(v), wi= det(u, v, w) =−det(u, w, v) = −hϕu(w), vi=−hv, ϕu(w)i.
Donc ϕ∗u =−ϕu et ϕu est bien antisymétrique. La Proposition 8.1 partie 3) montre que [ϕu]ee a bien la forme indiquée en (8.14). Il est clair que u7→ϕu est linéaire deE dans A et que toute matrice rélle (3,3) antisymétrique a la forme du second membre de (8.14).
Donc dimA= 3 et u7→ϕu est un isomorphisme.
Ensuite, si la bon f est comme indiquée, alors [a, b, c]T = [0,0, θ]T, avec θ = kuk. Si A =
0 −1
1 0
alors (8.14) devient [ϕu]ee = diag[θA,1] et avec l'exemple 9.1 du chapitre 1 qui arme exp(θA) = R(θ),on a le résultat annoncé.
Corollaire 8.3. SoitE euclidien orienté de dimension 3 etu ∈E tel que θ =kuk >0.
Soit a = expϕu et v ∈ E déni par ϕv = a −a∗. Alors v = 2 sinθ θu. En particulier si θ 6≡π/2 modπ, u est proportionnel àv.
Démonstration : L'existence de v découle de la proposition et du fait que b = a−a∗ est antisymétrique. Soit f = (f1, f2, f3) une bon directe telle que f3 =u/θ. Alors d'après la Proposition 8.2
[ϕv]ff = [a−a∗]ff =
0 −2 sinθ 0 2 sinθ 0 0
0 0 0
, (8.15)
et donc d'après (8.14) on a [v]f = [0,0,2 sinθ]T. Comme[u]f = [0,0, θ]T, on a le résultat.
Remarque. L'intérêt du corollaire est qu'il permet de calculer rapidement l'axe de ro-tation d'un élément a ∈ SO(E) quand celui ci est connu par sa matrice représentative A = [a]ee dans une bon directe quelconque, et d'avoir avec kvk = 2|sinθ| un renseigne-ment partiel sur l'angle de rotation. En eet le vecteur v dans la base e est donné par [v]e = [a, b, c]T avec
A−AT =
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
.
Expliquons maintenant le lien qui existe entre ces questions et l'axe instantané de rotation des mécaniciens. Quand on considère le mouvement d'un solide gardant un point xe O dans l'espace euclidien E à trois dimensions, on considère en fait une application continuement dérivable t7→at d'un intervalle [0, t1]dans SO(E) telle quea0 = idE. Si on veut, sis est une bon directe attachée au solide, soitetla position des à l'instantt.C'est encore une bon directe, le mouvement du solide se faisant sans déformation et de facon continue. L'endomorphisme orthogonal at est déni parat(e0) = et.
Proposition 8.4. Soit E un espace euclidien de dimension quelconque, I un intervalle ouvert et t 7→ at une application continûment dérivable de I dans SO(E) et soit (at)0 ∈
VIII. PRODUIT VECTORIEL EN DIMENSION 3 ET QUATERNIONS 79 L(E)la dérivée de at au point t. Alors
bt= (at)0a∗t = lim
h→0
1
h(at+ha−1t −idE)
est antisymétrique. En particulier, sidimE = 3, il existe un vecteur vt ( et Rvt est alors appelé axe instantané de rotation) tel que pour tout x∈E on a
h→0lim 1
h(at+ha−1t −idE)(x) =vt∧x.
Démonstration : Dérivons par rapport à t l'égalité ata∗t = idE. On obtient at(a∗t)0 + (at)0a∗t = 0. Notons que (a∗t)0 est l'adjoint de (at)0. Donc (bt)∗ +bt = 0. Dans le cas dimE = 3 on applique alors la Proposition 8.2 à bt=ϕvt.
Pour terminer cette section sur les liens entre le produit vectoriel et le groupe des rotations en dimension 3, nous présentons l'algèbre des quaternions, qui sert en particulier à para-métrer SO(3) et SO(4) comme on va le voir au Théorème 8.6. Nous dénissons l'algèbre H des quaternions comme un espace euclidien orienté de dimension 4 dans lequel on a sélectionné un vecteur de norme 1 appelé unité et noté 1. On note alors E l'espace de dimension 3 orthogonal à1.On oriente ennE de sorte que (1, e)soit une base directe de Hsieest une base directe deE.On identieraH=R1⊕E avec(R, E)et nous noterons alors les élémentsx de Hpar x = (x0, ~x) avec<x=x0 ∈R et~x∈E.Cette notation est plus commode quex=x01+~x pour les calculs. Le produit scalaire dansE sera noté par
~
x·~y si bien que le produit scalaire dansH est
h(x0, ~x),(y0, ~y)i=x0y0+~x·~y.
Les quaternions de la forme (x0,0), c'est à dire les multiples de 1 sont dits réels, les quaternions de la forme (0, ~x) sont dits purs. Le quaternionx= (x0,−~x) est dit conjugué dex= (x0, ~x). On dénit enn le produit des quaternions x= (x0, ~x) ety = (y0, ~y)par
xy= (x0y0−~x·~y, x0~y+y0~x+~x∧~y). (8.16) On voit immédiatement que xy = yx si et seulement si ~x∧~y = ~0, ce qui n'est pas le cas général. La proposition suivante centralise les propriétés algébriques du produit des quaternions.
Proposition 8.5. Soit x, y, z des quaternions. Alors 1. (xy)z=x(yz).
2. kxyk2 =kxk2kyk2.
3. xx=xx=kxk21. En particulier si x6= 0 et x−1 =x/kxk2 alors xx−1 =x−1x=1.
De plus hxy, zi=hy, xzi, hyx, zi=hy, zxi, xy =yx et hx, yi=<(xy).
4. Si (~i,~j, ~k)est une bon directe de l'espace E des quaternions purs alors
~i~j =−~j~i=~k, ~j~k=−~k~j =~i, ~k~i=−~i~k=~j, ~i2 =~j2 =~k2 =~i~j~k =−1.
De plus, si
A=
a b
−b a
; a, b∈C
alors l'applicationx7→A(x) deH dans A dénie par A(x01+x1~i+x2~j+x3~k) =
x0+ix1 i(x2 +ix3) i(x2−ix3) x0−ix1
(8.17) est un isomorphisme d'algèbres, c'est à dire que A est linéaire bijective et A(xy) = A(x)A(y).
Remarques. Le 1) montre que l'application bilinéaire (x, y) 7→ xy de H×H dans H fait de H une algèbre associative. Le 2) montre que si kxk2 = 1 alors y 7→xy et y 7→yx sont des endomorphismes orthogonaux de l'espace euclidien H. Le 3), qui dit que tout élément non nul de Ha un inverse, montre queHest un corps non commutatif (ou corps gauche). Le 3) montre aussi que les adjoints de y 7→ xy et y 7→ yx sont z 7→ xz et z 7→ zx. Le 4) a une importance historique car c'est sous cette forme avec coordonnées que William Hamilton a découvert les quaternions. Comme dans le reste de ce cours, nous avons préféré une exposition avec un minimum de coordonnées lorsque celles ci ne s'imposent pas géométriquement. Le 4) montre que H peut être paramétré par C2. Le 4) implique aussi que si p ∈ E est de norme 1 alors R1+Rp est une sous algèbre de H de dimension 2 isomorphe au corps des nombres complexes qu'Hamilton cherchait à généraliser.
Démonstration : Pour le 1) on le vérie d'abord en supposant que (x, y, z) sont des quaternions purs. Dans ces conditions on a
(xy)z−x(yz) = (~x·~y, ~x∧~y)z−x(~y·~z, ~y∧~z)
= ((~x∧~y)·~z,(~x·~y)~z+ (~x∧~y)∧~y)∧~z
−(~x·(~y∧~z), ~x∧(~y·~z) +~x∧(~y∧~z) = (0, ~0),
la dernière égalité étant héritée des propriétés du produit mixte (pour la composante réelle) et de la formule du double produit vectoriel de la Proposition 8.1 (pour la composante quaternions purs). Pour passer au cas général, on observe que 1) est trivial si un des (x, y, z)est un quaternion réel, ce qui permet de constater facilement que(xy)z−x(yz) = (~x~y)~z−~x(~y~z) = 0.
Pour le 2) rappelons que d'après la Proposition 8.2 k~x∧~yk2 =k~xk2k~yk2−(~x·~y)2. Donc
kxyk2 = (x0y0−~x·~y)2+x20|~yk2+y02|~xk2+ 2x0y0~x·~y+k~x∧(~yk2
= (x20+|~xk2)(y02+|~yk2) =kxk2kyk2.
VIII. PRODUIT VECTORIEL EN DIMENSION 3 ET QUATERNIONS 81 Le 3) et le 4) sont des conséquences immédiates de la dénition (8.16) du produit des qua-ternions. Pour l'isomorphisme avec l'algèbreA,la linéarité et la bijectivité sont évidentes.
La vérication de A(xy) =A(x)A(y) est un peu laborieuse, mais élémentaire.
Voici maintenant deux extraordinaires paramétrisations des groupes SO(3) et SO(4) par la sphère unité des quaternions.
Théorème 8.6. SoitSla sphère unité de l'algèbreHdes quaternions et soitEl'ensemble des quaternions purs. Alors
1. S est un groupe pour la multiplication.
2. Si s∈S alors E est stable pourx7→sxs−1. Siϕs est la restriction de x7→sxs−1 à E alors s 7→ϕs est un homomorphisme surjectif du groupe S sur le groupe SO(E) de noyau±1.
3. Si s ett sont dansS et si ψs,t(x) =sxt−1 alors (s, t)7→ψs,t est un homomorphisme surjectif du groupe8 S×S sur le groupe SO(H) de noyau ±(1,1).
Démonstration : Le 1) est évident avec la Proposition 8.5. Pour le 2), on observe que x7→sxs−1 est dansO(H)puisque linéaire et puisque préservant la norme (d'après le 2) de la Proposition 8.5). De pluss1s−1 =1et doncR1est stable. Donc d'après la Proposition 6.5 son orthogonal E est stable. La restriction ϕs à E est donc un élément de O(E).
Explicitement :
ϕs(~x) = (s20− k~sk2)~x+ 2s0(~s∧~x) + 2(~s·~x)~s. (8.18) Si~s =~0 alors s = ±1 et ϕs = idE. Si~s 6=~0 et si e = (i, j, k) est une bon directe de E telle que k=~s/k~sk, alors
[ϕs]2e = diag(R(θ),1) (8.19) avec cosθ =s20− k~sk2 et sinθ = 2s0k~sk, et detϕs = 1 est clair. En fait, (8.18) et (8.19) permettent de voir que tout élément a de SO(E) est de la forme ϕs pour un s ∈ S convenable. En eet si a ∈ SO(E) alors il existe une bon directe e = (i, j, k) telle que [a]ee = diag(R(θ),1) pour un θ ∈ [0,2π[. On prend alors α = θ/2 et s = (cosα, ksinα).
Enn s7→ϕs est un homomorphisme car
ϕt◦ϕs(x) =ϕt(sxs−1) = tsxs−1t−1 = (ts)x(ts)−1 =ϕts(x).
On a vu qu'il est surjectif. Son noyau est l'ensemble des s ∈ S tels que s~xs−1 = ~x pour tout ~x ∈ E c'est à dire tels que ~s∧~x =~0 pour tout ~x ∈ E. Ceci n'est possible que si
~s=~0, c'est à dire si s=±1.La partie 2) est donc montrée.
Pour le 3) il est clair que ψs,t est dans O(H) par le 2) de la Proposition 8.7. Pour voir quedetψs,t = 1 on peut écrire ψs,t =ψs,1◦ψ1,t, calculer la matrice représentative de ψs,1 dans une bon (1, i, j, k)telle que~s est proportionnelle à k et calculer le déterminant de cette matrice d'ordre 4 pas trop compliquée. On procède ensuite de même pour ψ1,t. Toutefois une méthode moins élémentaire mais plus rapide utilise la connexité : il est clair que s 7→ detψs,1 est une application polynomiale, donc continue sur S. La sphère unité d'un espace euclidien étant une partie connexe par arc, l'ensemble des valeurs prises sur
8muni du produit(s, t)(s1, t1) = (ss1, tt1).
S par s 7→ detψs,1 est connexe. Cet ensemble est une partie de {−1,1}, et il contient 1 comme on le voit en faisants=1.Il est donc réduit au singleton{1}et doncψs,1 ∈SO(H).
Le point plus ingénieux de la démonstration est de montrer que tout élément a de SO(H)est de la forme ψs,t pour quelque (s, t) deS×S. Pour cela on noter =a(1),qui est de norme 1. On introduit ensuite b = ψr,1 ∈ SO(H). Alors b−1a est dans SO(H) et préserve 1. Donc sa restriction àE est un élément deSO(E). D'après le 2) il existe donc t ∈ S tel que b−1a(x) = txt−1, ce qui montre que a = ψrt,t. Vérier que (s, t)7→ ψs,t est bien un homomorphisme de S×S dans SO(H) est facile. Pour voir que ψs,t = idH si et seulement si (s, t) = ±(1,1), on exploite sx =xt pour tout x ∈H en faisant x=s−1 ce qui montre t=s. Le 2) permet de conclure.
Exercice 8.1. Si c= 1/√
2 soit la matrice de SO(3) suivante
A=
−c c2 c2 c c2 c2 0 c c
.
A l'aide du corollaire 8.3 donner l'axe de rotation dansR3 correspondant. A l'aide du corollaire 7.3 donner le cosinus de l'angle de rotation correspondant.
Exercice 8.2. Calculer (u∧v)∧(w∧x).
Exercice 8.3. Soit(~i,~j, ~k)une bon directe de l'espace des quaternions purs ete = (1,~i,~j, ~k).
Si [x]e = (x0, x1, x2, x3)T calculer les matrices carrées d'ordre 4 représentatives dans la base e de l'espace H des quaternions des endomorphismesy 7→xy et y7→yx.
Exercice 8.4. Soit (~i,~j, ~k) une bon directe de l'espace des quaternions purs. Montrer que pour tout quaternion x on a
x=−1
2(x+~ix~i+~jx~j+~kx~k)
Exercice 8.5. Trouver tous les quaternions x tels que x2+ 1 = 0.
Exercice 8.6. Soit (~i,~j, ~k) une bon directe de l'espace des quaternions purs. Montrer que les 24 éléments de la sphère S unité des quaternions
±1, ±~i, ±~j, ±~k, 1
2(±1±~i±~j±~k)
forment un sous groupe G du groupe multiplicatif S. Ecrire les 12 matrices des rotations de l'espace E des quaternions purs dans la base (~i,~j, ~k) qui sont l'image de G par l'application s7→ϕs du théorème 8.6 partie 2. Soit G1 l'image de G. Montrer que si on note
s=~i+~j+~k, s1 = 2~i−s, s2 = 2~j−s, s3 = 2~k−s
IX. ENDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES, POSITIFS ET DÉFINIS POSITIFS 83 alorsT ={s, s1, s2, s3}forme un tétraèdre régulier et que g(T) = T pour toute rotationg de G1.
Exercice 8.7. Imiter l'exercice 8.6 quand le tétraèdre est remplacé par le cube C dont les huit sommets sont±~i±~j±~k.On admet que le groupeI(C)des isométriesg deE qui préserve C est ici formé des 48 g dont la matrice représentative dans la base (~i,~j, ~k) est de la forme P D où P est une des 6 matrices de permutation de 3 éléments et D = diag(±1,±1,±1).
Le sous groupeG1 formé des seules rotations a donc 24 éléments. Trouver les 48 éléments du sous groupe G de S tel que G1 soit l'image de G par l'homomorphisme s 7→ ϕs. Méthode : utiliser la formule 8.18 pour trouver les deux s deS tels que ϕs =g.
Exercice 8.8. Soit s= (s0,−→s)dans la sphère unité S des quaternions tel que −→s 6= 0. Soit θ tel que s0 = cosθ2 et k−→sk = sinθ2. Montrer que x 7→ sxs−1 est une rotation de l'espace E des quaternions purs d'axe −→s /k−→sk et d'angle θ.Méthode : analyser la démonstration du théorème 8.6 partie 2.