III La signature d'une forme quadratique réelle
Le corollaire 2.3 montre qu' une forme quadratique est combinaison linéaire d'un nombre xepde carrés de formes linéaires indépendantes, bien qu'il y ait de nombreuses manières diérentes de le faire. Dans cette section, nous allons supposer que K = R et montrer une invariance plus forte appelée loi d'inertie de Sylvester.
Théorème 3.1. SoitQune forme quadratique de rangpsur l'espace réelEde dimension nie q. Si e est une base de diagonalisation de Q soit e[B]e = diag(a1, . . . , aq). Soit r le nombre de j tels que aj >0, soit s =p−r le nombre de j tels que aj <0 et t=q−ple nombre de j tels que aj = 0.Alors le triplet d'entiers (r, s, t), appelé signature de Q, est indépendant de la base de diagonalisation e choisie.
Démonstration : On a déjà vu quer+s=pne dépend pas deepuisque c'est le rang deQ.
Il sut donc de montrer quer est constant. Soite0 une autre base de diagonalisation avec
e0[B]e0 = diag(a01, . . . , a0q) correspondant au triplet (r0, s0, t) avec, sans perte de généralité r0 ≥r, avec aj >0 pour j = 1, . . . , r, aveca0j >0 pour j = 1, . . . , r0 et avec ap+1 =. . .= aq =a0p+1 =. . .=a0q = 0.
Montrons qu'alorse01, . . . , e0r0, er+1, . . . , eqsont linéairement indépendants. En eet, s'ils ne le sont pas on peut trouver des nombres λ1, . . . , λr0, µr+1, . . . , µq tels que
λ1e01+· · ·+λr0e0r0 =−µr+1er+1− · · · −µqeq. (3.7) Notons par x la valeur commune des deux membres de l'égalité précédente et calculons de deux manières le nombre Q(x) =B(x, x) : à cause de l'orthogonalité des ej entre eux et des e0j entre eux on obtient
Q(x) = a01(λ1)2+ +· · ·+a0r0(λr0)2 =ar+1(µr+1)2+· · ·+ap(µp)2.
Le membre de gauche est ≥ 0, le membre de droite est ≤ 0, ils sont donc tous deux nuls. Donc λ1 = . . . = λr0 = µr+1 = . . . = µp = 0. Donc (3.7) se transforme en 0 =
−µp+1ep+1 − · · · −µqeq. Comme les (ep+1, . . . , eq) sont indépendants, les derniers µ sont nuls et donc lese01, . . . , e0r0, er+1, . . . , eq sont indépendants. En conséquencer0+ (q−r)≤q et donc r0 ≤ r. Comme nous avions choisi r0 ≥ r on a bien r = r0 et le théorème de Sylvester est montré.
Proposition 3.2. Soit Q quadratique sur un espace réel E, de signature (r, s, t). Alors il existe p=r+s formes linéaires indépendantes sur E telles que
Q(x) = (f1(x))2+· · ·+ (fr(x))2−(fr+1(x))2· · · −(fp(x))2. Démonstration : On sait déjà qu'il existe une basee telle que
e[B]e= diag(a1, . . . , ap,0, . . . ,0)
avec a1, . . . , ar > 0 et ar+1, . . . , ap < 0. Si [x]e = (x1, . . . , xq)T, considérons les formes linéaires gj dénies par gj(x) = xj : elles sont indépendantes puisque e est une base. Il
sut maintenant de dénir fj(x) =|aj|1/2gj(x)pour j = 1, . . . , p. Les fj ont la propriété annoncée.
Remarques. Pour comprendre ce chapitre, assez abstrait, il est tout à fait essentiel de comparer les résultats de cette section avec ce qu'on sait déjà des formes quadratiques sur un espace euclidien étudiées au chapitre 2 section 9. On y a vu que si Q est quadratique sur l'espace euclidien E alors il est associé à Q un endomorphisme symétrique a tel que Q(x) = ha(x), xi. Si on applique à a le théorème spectral, on révèle une bon (au sens euclidien) de diagonalisation de a. Soit[a]ee = diag(µ1, . . . , µq)).Si[x]e = (x1, . . . , xq)T on a
Q(x) = µ1x21+· · ·+µqx2q,
c'est à dire que e est aussi une base de diagonalisation au sens des formes quadratiques.
Mais il y a beaucoup plus de bases de diagonalisation de la forme quadratique Q que de bases de diagonalisation pour l'endomorphisme a associé par la structure ambiante d'espace euclidien. Par exemple siE =R3 euclidien canonique etQ(x) = 2x1x2+ 2x2x3+ 2x1x3, alors l'endomorphisme associé a a pour matriceA dans la base canonique e
A=
0 1 1 1 0 1 1 1 0
de polynôme caractéristique (X+ 1)2(X−2). La signature est bien(r, s, t) = (1,2,0).Ce n'est pas une surprise, car on avait vu en exemple à la section 2 de l'algorithme de Gauss que
2x1x2+ 2x2x3+ 2x1x3 = 1
2(x1+x2+ 2x3)2− 1
2(x1 −x2)2−2x23.
Parfois même l'étude de la forme quadratique donne des renseignements sur les valeurs propres : l'algorithme de Gauss est de nature élémentaire alors que la recherche de va-leurs propres ne l'est pas, puisqu'il faut chercher les racines d'un polynôme. Reprenons l'exemple Q(x) = x21 +x22 + 2x23 −4x1x2 + 6x2x3 toujours dans R3 euclidien canonique.
L'endomorphisme associé a a pour matrice A dans la base canonique e
A =
1 −2 0
−2 1 3
0 3 2
.
Ici les racines du polynôme caractéristique sont compliquées. Pourtant, comme on a vu queQ= (x1−2x2)2−3(x2−2x3)2+ 14x23.on voit que la signature est(2,1,0)et donc que il y a 2 valeurs propres positives et une négative. En particulier, l'algorithme de Gauss permet de dire si un endomorphisme symétrique est déni positif, ou positif.
Exercice 3.1 Quelle est la signature de la forme quadratique de l'exercice 2.2 ?
Exercice 3.2 Soita un nombre réel. Discuter suivanta la signature de la forme quadratique (x1+· · ·+xn)(y1 +· · ·+yn)−a(x1y1+· · ·+xnyn)
III. LA SIGNATURE D'UNE FORME QUADRATIQUE RÉELLE 137 en lui associant un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien canonique Rn. Si e = (e1, . . . , en)est la bon canonique de Rn,il est intéressant de diagonaliser cet endomorphisme dans une base orthonormale dont un des vecteurs est proportionnel à f =e1+· · ·+en. Exercice 3.3 Soit F le sous espace vectoriel de Rn formé par les x = (x1, . . . , xn) tels que x1+· · ·+xn= 0.
1. Soit a1, . . . , an ∈R.Soit la forme quadratique sur Rn Q(x) =−1
2
n
X
i,j=1
|ai−aj|xixj.
Montrer que la restriction de Q à F est positive, c'est à dire que Q(x)≥ 0 pour tout x de E. Méthode : supposer sans perte de généralité que a1 = 0 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an, introduirep2k =ak−ak−1 et montrer
Q(x) =
n
X
k=2
p2k(
n
X
j=k
xj)2.
A quelle condition sur les aj la restriction de Q à F est elle dénie positive ?
2. Soit E un espace euclidien quelconque et soitv1, . . . , vn ∈E.Montrer que la restriction à F de la forme quadratique surRn
Q(x) =−1 2
n
X
i,j=1
kvi−vjk2xixj. est positive. Méthode : montrerQ(x) = kPn
j=1xjvjk2.Montrer que la restriction deQ à F est dénie positive si et seulement si les vecteurs v1, . . . , vn engendrent un espace ane de dimension n−1 (voir chapitre 5).
3. Soit A = (aij)1≤i,j≤n une matrice symétrique réelle telle que aii = 0 pour tout i.
On suppose que la restriction de Q(x) = Pn
i,j=1aijxixj à F est positive. On veut montrer la réciproque du 2, c'est à dire qu'il existe un espace euclidienE et des vecteurs v1, . . . , vn ∈ E tels que aij = −12kvi−vjk2. En fait on va le montrer avec E = Rn euclidien canonique. Pour cela, on introduit une base e = (e1, . . . , en−1) de F qui diagonalise Q c'est à dire que si x = f1(x)e1+· · ·+fn−1(x)en−1 où les fj sont des formes linéaires surF, alors
Q(x) = λ1(f1(x))2+· · ·+λn−1(fn−1(x))2,
avec par hypothèseλi ≥0. On considère l'endomorphisme ϕ de F déni par ϕ(x) =λ1/21 f1(x)e1+· · ·+λ1/2n−1fn−1(x)en−1,
qui satisfait Q(x) = kϕ(x)k2. Prendre alors v1, . . . , vn−1 dans F tels que ϕ(x) = x1v1 +. . .+xn−1vn−1 et montrer que v1, . . . , vn−1 complété par vn = 0 répond à la question.
4. Avec les notations de la question 1 et vi = (0, p2, . . . , pi,0, . . . ,0) ∈ Rn montrer que
|ai−aj|=kvi−vjk2.
Exercice 3.3 Soit F le sous espace vectoriel de Rn formé par les x= (x1, . . . , xn)tels que x1+· · ·+xn= 0. L'espace F est muni du produit scalairehx, yi =x1y1+· · ·+xnyn. Soit (a1, . . . , an)∈Rn et soit la forme quadratique sur F
Q(x) = a1x2+· · ·+anx2n. Montrer que l'endomorphisme deF associé à Q est
(x1, . . . , xn)7→ 1
n((n−1)a1x1−a2x2−· · ·−anxn, . . . ,(n−1)anxn−a1x1−a2x2−· · ·−an−1xn−1).