Théorème 7.1. SoitE euclidien de dimension 2 et a dans O(E). Alors ou bien a∈O−(E).Alors il existe une bon e = (e1, e2)telle que [a]ee =
1 0 0 −1
. Dans ce cas,a est une symétrie orthogonale par rapport à la droite du plan Re1. ou bien a∈O+(E).Si de plusE est orienté, alors il existe un nombreθ tel que pour
toute bon directe e on ait
[a]ee=R(θ) =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
, (7.12)
et pour toute bon indirecte on ait [a]ee =R(−θ).
Remarques : Le nombre θ apparaissant quanda∈SO(E)est appelé angle orienté de la rotation a.Il n'est pas unique en ce sens qu'on peut le remplacer par θ+ 2kπ pourk ∈Z. Il est remarquable qu'il ne dépende pas de la bon directe e. Il dépend de l'orientation : changer l'orientation du plan euclidien changerait θ en −θ. L'angle orienté est relié à la notion d'angle introduite à la Proposition 3.2 ainsi : si a ∈ SO(E) et si [a]ee = R(θ) dans une bon directe alors pour x6= 0 on a ha(x), xi=kxk2cosθ.Bien que θ ne soit pas nécessairement dans[0, π],il existe certainement unθ1 ∈[0, π]tel quecosθ = cosθ1.Ceθ1 est l'angle des deux vecteursa(x)etx. Il n'est pas orienté, il ne change pas si on échange a(x)etx, il ne dépend pas de l'orientation du plan euclidien. Cette notion d'angle orienté est spéciale au plan euclidien et ne généralise pas aux dimensions supérieures.
Démonstration : Si deta = −1 alors le polynôme caractéristique de a est Pa(X) = X2−traceaX−1.Il a donc deux racines réelles distinctes, qui sont donc−1et 1d'après le Corollaire 6.2. aest donc diagonalisable car q= 2 et il y a 2 valeurs propres distinctes.
Soit e1 un vecteur propre associé à la valeur propre1 ete2 un vecteur propre associé à la valeur propre −1.On les prend de norme 1. Ils sont orthogonaux car
he1, e2i=ha(e1), a(e2)i=he1,−e2i=−he1, e2i.
VII. LE GROUPE ORTHOGONAL DU PLAN ; DIMENSIONS SUPÉRIEURES. 73 Le résultat s'ensuit.
Si maintenant deta= 1, soit e une bon directe et [a]ee=
α β γ δ
. Comme c'est une matrice orthogonale on a α2 +β2 =γ2 +δ2 = 1, et le cours de première année entraîne l'existence de nombresθ et θ1 tels que
α= cosθ, β =−sinθ, γ = sinθ1, δ= cosθ1. De plus
1 = deta =αδ−βγ = cos(θ−θ1),
et donc θ =θ1 mod 2π : donc [a]ee =R(θ). Au passage, nous venons de montrer que siP est une matrice orthogonale de SO(2) alors il existe un nombre t tel que P =R(t).
Observons ensuite que R(θ)R(θ0) = R(θ +θ0) par les formules de trigonométrie. Si alorsf est une autre bon directe, alorsP = [idE]ef est dans SO(2) et il existe un réelt tel queP =R(t). Donc P−1 =R(−t)et
[a]ff = [idE]fe[a]ee[idE]ef =R(−t)R(θ)R(t) =R(−t+θ+t) = R(θ).
Finalement, si f = (f1, f2) est une bon indirecte alors e = (f1,−f2) est une bon directe et donc
[a]ff = [idE]fe[a]ee[idE]ef =
1 0 0 −1
R(θ)
1 0 0 −1
=R(−θ).
Théorème 7.2. Soit E un espace euclidien de dimension q et soit a ∈ O(E). Alors il existe une bon e, des entiers positifs ou nuls r, p et n tels que p+n+ 2r = q et des nombres réels θ1, . . . , θr dans tels que [a]ee s'écrive par blocs :
[a]ee = diag(R(θ1), . . . , R(θr), Ip,−In).
De plus, sia∈SO(E)on peut prendren = 0. Finalement, poura∈L(E)alorsa ∈SO(E) si et seulement si il existe b ∈L(E) tel que b+b∗ = 0 eta =eb.
Remarques : Il n'y pas tout à fait unicité de (p, n, r) avec l'énoncé précédent puisque I2 = R(0) et −I2 = R(π). On pourrait arriver à cette unicité en imposant que les θj soient dans ]0, π[ mais nous ignorons ce ranement, laissé en exercice. L'énoncé montre que SO(E) est connexe par arcs, un terme déni dans le cours d'analyse : si a ∈ SO(E) soit b ∈ L(E) tel que b∗ = −b (on dit que b est antisymétrique) et tel que a = eb. Soit at = ebt. Alors t 7→ at est une application continue de [0,1] dans SO(E), ce qui conduit facilement à la connexité annoncée.
Démonstration : On procède par récurrence sur q. C'est évident pour q= 1 et c'est un conséquence du Théorème 7.1 si q = 2. Si c'est vrai pour tous les entiers inférieurs à q on utilise le Théorème 1.2 : puisque E est un espace réel, il y a un sous espace F de E de dimension 1 ou 2 qui est stable par a. On utilise alors la Proposition 6.5 qui dit que F⊥ est stable par a. Comme dimF⊥ < q on peut trouver une bon e0 de F⊥ telle que la
restriction aF⊥ de a à F⊥ ait la forme voulue. De même il y a une bon f deF pour que aF ait aussi la forme voulue, et la bon e=e0∪f convient : la récurrence est étendue. Si a ∈ SO(E) il est clair qu'alors n = 2m doit être pair. En écrivant −I2 = R(π) on a la forme annoncée.
Enn si a ∈ SO(E), pour voir qu'il existe b ∈ L(E) tel que b+b∗ = 0 et a = eb on utilise l'exemple 9.1 du chapitre 1 qui dit que si A =
0 −1
1 0
alors exp(θA) = R(θ).
Donc pour a∈SO(E) on peut écrire dans une certaine bone [a]ee = diag(R(θ1), . . . , R(θr), Ip) = expB
avec B = diag(θ1A, . . . , θrA,0p). Dénissons b ∈L(E) par [b]ee=B. On a bien a= expb.
Puisque e est une bon, alors [b∗]ee = BT. Comme AT = −A on a donc BT = −B et b∗ = −b. Inversement, a = expb satisfait a∗ = expb∗ par dénition de l'exponentielle. Si alors b∗ = −b alors a∗ = a−1 et donc a ∈ O(E). Mais det expb > 0 (ou bien parce que det expb = exptraceb, ou bien plus simplement parce que expb = exp(b/2) exp(b/2) et donc det expb = (det exp(b/2))2).Donc a∈SO(E).
Corollaire 7.3. Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3 et a∈SO(E). Alors 1 est valeur propre, a a une droite Re3 de vecteurs xes (appelée axe de rotation) et il existe un nombre θ tel que pour toute bon directe e= (e1, e2, e3)on ait
[a]ee =
R(θ) 0 0 1
.
En particulier,cosθ = 12(tracea−1).Sia ∈O−(E)alors−1est valeur propre. Sie3 est tel quea(e3) =−e3 alors il existe un nombre θ tel que pour toute bon directe e= (e1, e2, e3) on ait
[a]ee =
R(θ) 0 0 −1
.
Remarques : On pourrait énoncer un résultat voisin sans orienter E, mais la présente version est plus utile. Notez qu'on ne peut pas parler d'angle algébrique de rotation en 3 dimensions, même à2πprès. En eet sia∈SO(E)le choix dee3 a une ambiguité de signe qui se reporte sur θ. On peut quand même visualiser un élément de SO(E) comme une rotation autour d'un axe, et un élément de O−(E) comme la donnée d'un plan vectoriel F par rapport auquel on fait une symétrie orthogonale suivie d'une rotation autour de l'axe perpendiculaire au plan F. Si a ∈ SO(E), on parlera de sa représentation a = eb à la Proposition 8.2 plus loin.
Démonstration : Il sut d'appliquer le Théorème 7.2 : si a∈SO(E) alors il existe une bon e telle que [a]ee = diag(R(θ),1)ou [a]ee =I3, puisque 2r+p= 3 n'a que les solutions (r, p) = (1,1) ou (0,3). Si a ∈ O−(E) alors il faut n impair, et donc n = 1 correspond à [a]ee = diag(R(θ),−1) ou[a]ee = diag(I2,−1), etn= 3 correspond à [a]ee=−I3.
VII. LE GROUPE ORTHOGONAL DU PLAN ; DIMENSIONS SUPÉRIEURES. 75 Proposition 7.4. Si θ ∈R notons
P(θ) =
R(θ) 0 0 1
, Q(θ) =
1 0 0 R(θ)
.
Alors pour tout A∈SO(3) il existe trois nombres (ψ, θ, ϕ)tels que A=P(ϕ)Q(θ)P(ψ).
Démonstration : L'espaceR3 est muni de sa structure euclidienne et de sa bon ordonnée e = (e1, e2, e3) canoniques et il est orienté pour que e soit directe. Soit a ∈ SO(R3) tel que A = [a]ee. Soit f = (f1, f2, f3) la bon directe dénie par a(ej) = fj. Le résultat est trivial si e3 = f3 : il sut de prendre alors θ = ψ = 0. Si f3 = −e3 il sut de prendre θ=π etψ = 0.Sie3 6=±f3, soitD la droite d'intersection des plans(e1, e2) et(f1, f2)et soit u celui des deux vecteurs de D de norme 1 tel que la base (u, e3, f3) soit directe. On considère alorsa1,a2 eta3 dansSO(R3)dénis par a1(e1) =u eta1(e3) = e3 qui satisfait donc [a1]ee = P(ψ) pour un ψ convenable ; a2(u) = u et a2(e3) = f3, qui satisfait donc [a2 ◦a1]ee = Q(θ)P(ψ) pour un θ convenable ; a3(f3) = f3 a3(u) = f1 qui satisfait donc [a3 ◦a2 ◦a1]ee = P(ϕ)Q(θ)P(ψ) pour un ψ convenable. Reste à vérier a = a3 ◦a2◦a1. Pour cela on calcule a3 ◦a2 ◦a1 sur e1 et e3 et on trouve f1 et f3. Comme a3 ◦a2 ◦a1 est dansSO(R3) qui respecte les bon directes cela entraîne que a3◦a2◦a1(e2) =f2 et le résultat est montré.
Remarques : L'angle ψ est dit de précession, l'angle θ est dit de nutation et l'angle ϕ est dit derotation propre. Ce sont les trois angles d'Euler d'une rotation, qui fournissent le paramétrage de SO(E) qu'utilisent les mécaniciens. La construction ci dessus montre que ces angles ne sont pas tout à fait uniques, mais on peut les rendre uniques si on reste pourA dans un voisinage deI3 assez petit. Ce paramétrage en fait ne renseigne pas directement sur l'axe de rotation et l'angle de rotation.
Exercice 7.1. Soit Det D0 deux droites vectorielles d'un plan euclidien orientéE. Soit~u et u~0 des vecteurs de norme 1 qui engendrent D et D0, et on suppose que (~u, ~u0) est une base directe. On note h~u, ~u0i = cosα, avec 0 < α < π. Soit sD et sD0 les symétries orthogonales par rapport à D et D0. (a) Calculer l'angle des rotations sD ◦sD0 et sD0 ◦sD par rapport à α. (b) Soit pD et pD0 les projections orthogonales sur D et D0. Soit e1 un vecteur de norme 1 proportionnel à u+u0. Soit e2 orthogonal à e1 de norme 1, et soit la bon e = (e1, e2).
Exprimer[pD]ee et[pD0]ee.Montrer que ±(pD−pD0)/sinαsont des symétries orthogonales par rapport aux droites R(e1±e2), les bissectrices des axes engendrés par e1 et e2.
Exercice 7.2. Soit E l'espace vectoriel sur R des matrices x=
a b c d
réelles (2,2). On note parx∗ la transposée dex.On note par P+ le sous espace vectoriel de E formé des xtels qued=a etc=−b, et parP− le sous espace vectoriel deE formé des x tels que d=−a et c=b. On note par O+ le sous groupe du groupe orthogonal O(2) des x tels que detx= 1.
On note par O− le sous ensemble du groupe orthogonal O(2) des x tels que detx = −1.
Montrer que hx, x0i = trace(x∗x0) est un produit scalaire sur E, qu'on considère désormais comme un espace euclidien de dimension 4. Montrer que P+ et P− sont orthogonaux et que
E =P+⊕P−.SoitS la sphère deE centrée en 0 et de rayon√
2.Montrer queO+ =S∩P+ et que O−=S∩P−.
Exercice 7.3. Soitaun endomorphisme antisymétrique de l'espace euclidienE.Montrer que siy:R→L(E)est dérivable et satisfaity0 =ay,alorsy(t)∈SO(E)pour toutt(Méthode : utiliser l'exercice 9.4 du chapitre 1).
Exercice 7.4. Soit a un endomorphisme orthogonal de l'espace euclidien E de dimension n. Montrer à l'aide du Théorème 7.2 et de l'exercice 7.1 a) que a est le produit d'au plus n symétries orthogonales par rapport à des hyperplans (c'est à dire des sous espaces vectoriels de dimension n−1).
Exercice 7.5. L'endomorphisme orthogonal du plan H de l'exercice 6.6 est-il une symétrie orthogonale ? (méthode : chercher s'il y a des vecteurs propres).