7 Nombres complexes
8.3 Variations et limites
u0 = 3 un+1 = 2
1+un 1. Calculeru1etu2. La suite(un)est-elle arithmétique ? Géométrique ? Ni l’un ni l’autre ? 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a 0<un≤3.
3. On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturelnparvn= un−1 un+2. a) Calculerv0,v1etv2. Démontrer que la suite(vn)est géométrique.
b) Exprimervnen fonction den.
c) Exprimerunen fonction devn. Que vautu10? La raison de(vn)est−12.
8.3 Variations et limites
Exercice 134. Étudier le sens de variation de chacune des suites suivantes et préciser leur limite éventuelle : 1. un=1+1
n pourn≥1.
2. vn=n+1
n pourn≥1.
3. wn= 1
3 n
.
1. Décroissante vers 1.
2. Croissante vers+∞.
3. Décroissante vers 0.
Exercice 135. On considère la suite(un)définie par récurrence par : u0 = 1
un+1 = 1+u1
n
1. Calculeru1,u2 etu3.
2. Démontrer, par récurrence, que : 0≤un≤1 pour toutn∈N.
2014-2015 Exercice 136. Déterminer la limite de la suite(un)définie par :
un=3 sinn+2 cosn+5n n
Exercice 137. On considère la suite(un)définie par récurrence par :
Exercice 138. Étudier les limites suivantes : 1. lim
2014-2015 Exercice 140. Soit f la fonction définie surR\{1 ; 2}par f(x) = 2x3−5x2−x+6
x2−3x+2 .
1. SoitP(x) =2x3−5x2−x+6. Vérifier que 2 est racine deP, puis factoriserPparx−2.
2. Étudier la limite de f en 2.
3. Étudier la limite de f en−∞.
4. Montrer que la droite d’équationx=1 est asymptote à la courbeCreprésentant f.
Exercice 141. Le but de cet exercice est de déterminer les limites en −∞, +∞, 3− et 3+ de la fonction f définie surR\{3}par f(x) =x2−4x+2
x−3 .
Pour tout ce qui suit, on noteP(x) =x2−4x+2,Q(x) =x−3 etCf la courbe représentant la fonction f. 1. Étude en+∞et en−∞:
a) Déterminer lim
x→+∞P(x)et lim
x→+∞Q(x). Peut-on conclure directement pour lim
x→+∞f(x)? b) Démontrer que, pout toutx6=0, on a f(x) =x1−4x+x22
1−3x
. c) En déduire lim
x→+∞f(x)et lim
x→−∞f(x).
d) Y a-t-il une asymptote horizontale à la courbe Cf en +∞? Et en −∞? Si oui, en donner une équation.
2. Étude au voisinage de 3 : a) Déterminer lim
x→3+P(x)et lim
x→3+Q(x). En déduire lim
x→3+ f(x).
b) Procéder de même pour déterminer lim
x→3− f(x)
Exercice 142. On considère la fonction f définie surR\{2}par f(x) =x2−3x+2 x−2 . 1. Étudier la limite de f en−∞et en+∞.
2. Étudier la limite de f en 2+ et en 2−.
Exercice 143. Soit f la fonction définie surR\{3}par f(x) =−x+1 x+3 . 1. Calculer lim
x→+∞f(x)et lim
x→−∞f(x). En déduire l’existence d’une asymptote horizontale dont on précisera l’équation.
2. calculer lim
x→−3+f(x)et lim
x→−3− f(x). En déduire l’existence d’une asymptote verticale dont on précisera l’équation.
2014-2015 Exercice 144. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3+2x2+9x+2
x2+1 . On noteCf sa représentation graphique.
1. Déterminer trois réelsa,betctels que f(x) =ax+b+ cx x2+1. 2. Calculer lim
x→+∞f(x)et lim
x→−∞f(x).
3. Démontrer que la droite∆d’équationy=x+2 est une asymptote à la courbeCf. 4. Préciser la position relative deCf et de∆.
Exercice 145.
1. Soitλ,µdes réels etkun réel non nul. Soit f la fonction définie par f(x) =λ+ k x−µ. a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
b) Démontrer que la courbeCf représentant la fonction f admet une asymptote horizontale et une asymptote verticale dont on précisera les équations (en fonction deλetµ).
2. Soita,b,cetddes réels avecc6=0. Soit f la fonction définie surR\
−d c
par f(x) = ax+b cx+d. a) Déterminer des réelsλetµtels que f(x) =λ+ k
x−µ.
b) En déduire que la courbeCf représentant la fonction f admet une asymptot horizontale et une asymptote verticale dont on précisera les équations (en fonctions dea,cetd)
λ= ac,µ=−dc etk= bc−adc2 donc effectivement, les asymptotes ne dépendent pas deb.
10 Dérivées
Exercice 146. Dériver les fonction définies ci-dessous : 1. f(x) =x2
2. g(x) =3x4−2x3+5x−4 3. h(x) =√
x
1−1 x
4. i(x) = x+5 x2+1 5. j(x) =4x2−3x+1 6. k(x) = (2x+3)(3x−7)
7. l(x) = 2x+4
3x−1 pourx6= 1 3. 8. m(x) = 2x2+3x+15
Exercice 147. Soit la fonction f définie surRpar f(x) =−x3−3x2+9x.
1. Calculer la dérivée f′et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Exercice 148. On considère la fonction f définie par f(x) =x2−x−1. On noteCf sa représentation gra-phique. On considère également la fonctiongdéfinie parg(x) =3−x. On noteDsa représentation graphique.
1. Calculer le dérivée f′de f.
2. Déterminer une équation de la tangenteT à la courbeCf au point d’abscissex0=2.
3. Résoudre, par calcul, l’équationg(x) = f(x).
4. Préciser les coordonnées des points d’intersections deCf etD.
5. Tracer dans un même repère les droitesT,Det la courbeCf.
2014-2015 Exercice 149. Soit la fonction f définie surR\{1}par f(x) =2x+3
x−1 . On noteCf sa représentation graphique.
1. calculer la dérivée f′de f.
2. SoitA le point d’intersection deCf avec l’axe des abscisses. Calculer les coordonnées de A, puis une équation de la tangenteTAà la courbeCf enA.
3. SoitBle point d’intersection deCf avec l’axe des ordonnées. Calculer les coordonnées deB, puis une équation de la tangenteTBà la courbeCf enB.
4. Tracer dans un même repèreTA,TB etCf.
Exercice 150. On considère les deux fonctions f etgdéfinies surRpar f(x) =x2−3xetg(x) =x3−3x.
1. Étude de f.
a) Calculer la dérivée f′de f. b) Étudier le signe de la dérivée f′.
c) En déduire le tableau de variations de la fonction f. 2. Étude deg.
a) Calculer la dérivéeg′deg.
b) Étudier le signe de la dérivéeg′.
c) En déduire le tableau de variations de la fonctiong.
3. Comparaison des deux fonction.
a) Graphiques :
i. Tracer soigneusement, dans un repère, les courbesCf etCg représentant les fonctions f etg.
On se limitera à l’intervalle[−2 ; 2]et on prendre un pas de 0,5.
ii. À l’aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de points d’intersection entreCf etCg?
B. Quelles sont leurs coordonnées ?
b) Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par calcul : i. Résoudre l’équation f(x) =g(x).
ii. En déduire, par calcul, les coordonnées des pointsAetBd’intersection entreCf etCg.
Exercice 151. On considère la fonction f définie par f(x) = x
x2+1 surR. 1. Démontrer que f est une fonction impaire.
2. calculer la dérivée f′de la fonction f. 3. Quel est le signe du dénominateur de f′(x)? 4. Résoudre l’inéquation f′(x)≥0.
5. Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant la valeurM de son maximum et la valeur mde son minimum.
6. tracer la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle[−4 ; 4].
2014-2015 Exercice 152. On considère les deux fonctions f etgdéfinies durRpar f(x) =x−1 etg(x) = x2
x−1. 1. Étude de f
a) Calculer la dérivée f′de f. b) Étudier le signe de la dérivée f′.
c) En déduire le tableau de variations de la fonction f. 2. Étude deg
a) Calculer la dérivéeg′deg.
b) Étudier le signe de la dérivéeg′.
c) En déduire le tableau de variations de la fonctiong.
3. Comparaison des deux fonctions a) Graphiques
i. Tracer dans un repère les courbesCf etCgreprésentant les fonctions f etg. On se limitera à l’intervalle[−3 ; 5]et on prendra un pas de 0,25.
ii. À l’aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de point(s) d’intersection(s) entreCf etCg? B. Quelles sont leur(s) coordonnée(s) ?
b) Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par calcul : i. Résoudre l’équation f(x) =g(x).
ii. En déduire, par calcul, les coordonnées du point d’intersectionAentreCf etCg.
Exercice 153. On considère la fonction f définie surRpar f(x) =x3−4x2+4x.
1. Calculer la dérivée f′de f. 2. Étudier le signe de la dérivée f′.
3. En déduire le tableau de variations de la fonction f. On précisera les éventuels extremums.
4. Tracer la courbeCf représentant la fonction f su rl’intervalle[−1 ; 3].
5. Déterminer par un calcul, les coordonnées des points d’intersection deCf avec l’axe des abscisses.
Exercice 154. On considère la fonction f définie surRpar f(x) =x3−3x−3. On noteCf sa représentation graphique.
1. Calculer la dérivée f′de f puis étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3. Déterminer une équation de la tangenteT àCf au point d’abscisse 0.
4. TracerT etCf dans un même repère.
5. Démontrer que l’équation f(x) =0 admet une unique solutionαdans l’intervalle[2 ; 3].
6. donner une valeur approchée deα, par défaut, à 10−1près.
2014-2015 Exercice 155. On considère un rectangle dont le périmètrePest égal à 4 cm.
1. Déterminer ses dimensions (longueurLet largeurl) sachant que son aireSest égale à 34cm2. 2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aireSsoit maximale.
a) ExprimerSen fonction del.
b) On considère la fonction f définie surRpar f(x) =x(2−x). Calculer la dérivée f′ et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de f. Tracer la représentation graphiqueCf de la fonction f sur l’intervalle[0 ; 2].
c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètrePest égale à 4 cm et l’aireSest maximale.
Exercice 156. Soit la fonction f définie par f(x) = x3−x+2 sur l’intervalle [−2 ; 2]. Soit Cf sa courbe représentative.
1. Donner l’équation de la tangente àCf au point d’abscisse 0.
2. Tracer dans un même repèreCf et cette tangente sur l’intervalle[−2 ; 2].
Exercice 157. SoirP la parabole définie par la fonction f(x) =x2−3x+1 (x∈R). Calculer les coordonnées de son sommetS.
Exercice 158. Un camion doit faire un trajet de 150 km. Sa consommation de gasoil est de 6+300v2 l/h, oùv désigne sa vitesse moyenne en km/h. Le prix du gasoil est de 0,9 e le litre, et on paie le chauffeur 12 e de l’heure.
1. Soittla durée du trajet en heure. Exprimert en fonction de la vitessev.
2. Calculer le prix de revientP(v)du trajet en fonction dev.
3. Quel doit être la vitessevdu camion pour que le prix de revientP(v)de la course soit minimal ?
Exercice 159.
1. Dériver les fonctions f etgdéfinies ci-dessous : f(x) = x
x+√
x sur]0 ;+∞[ g(x) =
1 1+x
3
surR\{−1} 2. Calculer f′(16)etg′(2).
Exercice 160. On considère la fonction f définie surR∗par f(x) =x−2+4 x. 1. Calculer la dérivée f′puis étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
3. Tracer la représentation graphiqueCf de la fonction f sur[−4 ; 0[∪]0 ; 4].
2014-2015 Exercice 161. SoitC la représentation graphique de la fonction f définie surR\{2}par f(x) = x2+ax+b
x−2 avecaetbréels.
1. Déterminer f′(x).
2. Détermineraetbtels que la droite d’équationy=8 soit tangente àC au point d’abscisse 3.
3. Déterminer les limites suivantes :
x→lim+∞f(x) lim
x→−∞f(x) lim
x→2− f(x) lim
x→2+ f(x) 4. Déduire de la question3queC admet une asymptote dont on précisera une équation.
5. Déterminer l’abscisse de l’autre point deC où la tangente est horizontale.
Exercice 162. On considère les fonctions f etgdéfinies surRpar f(x) =−2x2+1 etg(x) =x3−3x+1 1. Étudier la parité des fonctions f etg.
2. Étudier les limites en−∞et en+∞des fonctions f etg.
3. Calculer les dérivées f′etg′. Étudier leur signe.
4. Dresser les tableaux de variations des fonctions f etg.
5. Tracer les représentations graphiquesCf etCgdes fonctions f etg. On se limitera à l’intervalle[−3 ; 3].
6. Résoudre par calcul l’inéquation f(x)≤g(x).
Exercice 163. On considère la fonction f définie surR\{2}par f(x) =x2−3x+6 x−2 .
1. Étudier les limites de la fonction f en−∞,+∞, 2− et 2+. Préciser les éventuelles asymptotes horizon-tales et verticales.
2. Calculer la dérivée f′et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4. Le but de cette question est de démontrer que la courbeCf admet une asymptote oblique∆.
a) Déterminer trois réelsa,betctels que f(x) =ax+b+ c x−2.
b) En déduire que la droite∆d’équationy=x−1 est une qymptote oblique à la courbeCf en+∞et en−∞.
5. TracerCf et ses asymptotes.
Exercice 164. On considère la fonction f définie sur R\{−4}par f(x) = −3
x+2+2. On noteCf la courbe représentant la fonction f dans un repère orthogonal.
1. Étudier les limites de la fonction f en−∞,+∞,−4− et−4+. Préciser les éventuelles asymptotes hori-zontales et verticales.
2. Calculer la dérivée f′et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f. 4. TracerCf et ses asymptotes.
2014-2015 Exercice 165. On considère la fonction f définie sur]0 ;+∞[par f(x) =x2−3x+1
x . On noteCf sa représen-tation graphique dans un repère orthogonal.
1. Résoudre l’équation f(x) =0 ; 2. Vérifier que f(x) =x−3+1
x.
3. Étudier la limite de f quandxtend vers 0. En déduire queCf admet une asymptoteDdont on précisera une équation.
4. Étudier la limite de f quandxtend vers+∞.
5. Calculer lim
x→+∞[f(x)−(x−3)]. En déduire queCf admet une asymptote oblique∆en+∞dont on préci-sera l’équation. Quelle est la position deCf par rapport à∆?
6. Calculer la dérivée f′de f et montrer que l’on a f′(x) = (x+1)(x−1) x2 . 7. Étudier le signe de f′puis en déduire le tableau des variations de f.
Exercice 166. On considère la fonction f définie par f(x) =p
x2−4x. On note Cf sa représentation gra-phique dans un repère orthogonal.
1. Déterminer le domaine de définitionDf de la fonction f. 2. Étudier les limites de f en 4 et en+∞.
3. Étude de la fonction f sur[4 ;+∞[.
a) Calculer la dérivée f′(pourx>4).
b) Établir le tableau de variations de f sur l’intervalle[4 ;+∞[.
c) Tracer la courbeCf représentant f sur l’intervalle[4 ; 10].
Exercice 167. On considère la fonction f définie surR\{−1}par f(x) = x2+7x+10
x+1 . On noteCf sa repré-sentation graphique dans un repère orthonormal.
1. Calculer f(0). En déduire les coordonnées du point d’intersection de la courbeCf avec l’axe des ordon-nées.
2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection de la courbeCf avec l’axe des abscisses.
3. Déterminer les réelsa,betctels que f(x) =ax+b+ c
x+1 pour toutx∈R\{−1}.
4. Étudier les limites de f en−1+ et en−11. En déduire que la courbeCf admet une asymptote verticale Ddont on précisera l’équation.
5. Étudier les limites de f en+∞et−∞. La courbeCf admet-elle une asymptote horizontale ?
6. Démontrer que la droite∆d’équationy=x+6 est asymptote oblique à la courbeCf en+∞et en−∞.
Préciser la position relative deCf et de∆.
7. Calculer la dérivée f′de f puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de f.
8. Déterminer une équation des tangentesT−2etT−3aux points de la courbeCf d’abscisses respectives−2 et−3.
9. Tracer dans le repère,D,∆,T−2,T−3etCf. On se limitera à[−10 ;−1[∪]−1 ; 6].
2014-2015 Exercice 168. On considère la fonctiongdéfinie surRparg(x) = 2
1+x2. 1. Démontrer que 0<g(x)≤2 pour toutx∈R.
2. Démonter quegest décroissante sur[0 ;+∞[et décroissante sur]−∞; 0].
3. Déterminer la limite (si elle existe) de la fonctiongen+∞, en−∞et en 0 (expliquer le raisonnement).