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JE PREPARE MON ENTREE EN CPI

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Texte intégral

(1)

JE PREPARE MON ENTREE EN CPI

13 MAI 2021 – GUIDE POUR LES APPRENANTS

Préambule

Suite à l’actualité sanitaire, l’école d’ingénieurs du CESI a mis en place un plan de remédiation en sciences pour cette rentrée 2021-2022. Un accompagnement spécifique en mathématiques est proposé afin que vous abordiez dans de bonnes conditions les projets scientifiques à venir.

Vos objectifs sont de vous assurer :

 Qu’aucune lacune dans les bases de mathématiques ne subsiste après votre travail préparatoire ;

 De gagner en fluidité en pratiquant les exercices : les mathématiques, c’est comme le sport, si vous voulez maitriser il faut vous entrainer.

 D’être prêt pour l’évaluation du TOMIC (Test of Maths for Integrated Curricula)

Il vous appartient de profiter de ce cahier en vous y investissant pleinement. Sans votre engagement, rien ne sera possible, ni maintenant, ni après.

SOMMAIRE

CONTENU 2

1) Le test de positionnement TOMIC 2

2) Le cahier de vacances : TAC, Calculatoire 5

3) Le cahier de vacances : Raisonnement et Modélisation 7

4) Annexe le cahier de vacances par chapitres 8

(2)

CONTENU

1) Le test de positionnement TOMIC

Vous allez passer un test de positionnement TOMIC de 3h00. Dans ce test, des questions de calcul, de raisonnement, de recherche, de représentation, d’expression et de modélisation qui devraient à ce stade être acquises, vont vous être proposées. Sachez que la calculatrice n’est pas autorisée car elle ne vous sera d’aucune utilité. Votre esprit doit être plus vif.

Ce premier test ne fera pas l’objet d’une note sur le dossier de synthèse; c’est un test pour permettre de connaître votre niveau et vous proposer le meilleur programme de remise à niveau possible. L’analyse sera sur les compétences [Fig 1] et les chapitres abordés [Fig 2]. Dans ces exemples, il est évident que l’apprenant doit se perfectionner en calcul. De même, les chapitres sur les fonctions, l’algèbre de Boole, les nombres complexes ne sont pas acquis.

Figure 1 Analyse TOMIC par compétences

Figure 2 Analyse TOMIC par chapitres

(3)

Vos tuteurs vont récupérer vos notes et analyser avec vous vos résultats afin de vous aider durant toute l’année. Les autres tests TOMIC seront en revanche évalués et placés dans votre dossier de synthèse. Vous devrez donc être au rendez-vous !

En attendant de passer ce premier examen de positionnement au début de votre formation, nous vous invitions à réviser sérieusement les chapitres suivants :

Chapitres/Capacités Document pour réviser

Techniques de calcul Voir partie 2) et Consulter l’annexe

Analyse: suites Consulter l’annexe

Analyse: Equations différentielles Consulter l’annexe Analyse: Primitives-Intégrations Consulter l’annexe Analyse: fonctions (dérivation, convexité,

limites, variations) Consulter l’annexe

Probabilité (discrète/continue/Grands Nombres)

Consulter l’annexe

https://www.lelivrescolaire.fr/page/16683286

Statistiques univariés et bivariés https://www.lelivrescolaire.fr/page/6956999 https://www.lelivrescolaire.fr/page/33736726

Nombres complexes Consulter l’annexe

Arithmétique https://www.lelivrescolaire.fr/page/15055203 Graphes et matrices https://www.lelivrescolaire.fr/page/11190312

Géométrie Consulter l’annexe

Algèbre https://www.lelivrescolaire.fr/page/16683286

Figure 3 : Tableau des chapitres à réviser pour la rentrée des A1 (liste à compléter par vos soins au besoin)

Si vous identifiez que vous n’avez pas acquis certains chapitres en raison soit de l’actualité, soit en fonction de vos choix de spécialités dans le secondaire, nous vous incitons à profiter de ces ouvrages en libre accès ( https://www.lelivrescolaire.fr/matiere/mathematiques ) et de ce site très bien réalisé (https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/niveau-terminale ).

(4)

IMPORTANT :

Il est important de construire un agenda de révision et de balayer tout le programme. La régularité est la clef (1H/jour durant 2 mois est préférable à 1.5 mois de vacances puis 2 semaines intensives).

Il est conseillé de parcourir toutes les ressources et de trouver celles qui vous conviennent le mieux par rapport à votre niveau.

Certaines sont plus simples, d’autres plus poussées. Utiliser les ressources qui vous conviennent doit vous permettre de progresser petit à petit. A vous d’aller au maximum de vos possibilités, étant entendu que les exercices les plus difficiles que vous trouverez dans ces ressources sont exigibles dans un cycle ingénieur.

Nous vous souhaitons de bonnes révisions.

(5)

2) Le cahier de vacances : TAC, Calculatoire

L’objectif est de travailler la virtuosité calculatoire nécessaire à l’ensemble des chapitres. Cette compétence est transversale.

(6)
(7)

3) Le cahier de vacances : Raisonnement et Modélisation

Mais aussi sur https://www.lelivrescolaire.fr/page/16683286 (chapitre sur la logique)

(8)

4) Annexe le cahier de vacances par chapitres

(9)

2014-2015

Révisions lycée TD

Proposition de correction

1 Calculs numériques

1.1 Développer, factoriser

Exercice 1. Le but de cet exercice est de calculer le nombre suivant :

x=83 875 683 4702−83 875 683 469×83 875 683 471 1. Que donne ce calcul avec la calculatrice ?

2. On posea=83 875 683 470. Exprimerxen fonction dea, puis en simplifiant, déterminerx.

Exercice 2. On considère le nombre suivant :x= 8n+1+8n2

(4n−4n1)3.

1. Calculerxlorsquen=0 ;n=1 ;n=2 etn=3. Que constate-t-on ? 2. Justifier la constatation précédente en simplifiantx.

Exercice 3. Simplifier l’écriture des nombres suivants : A=1+ 2

1+√

3 B=1+ 1

1+ 1

1+√ 3

Exercice 4. Calculer et mettre sous la forme la plus simple possible : 7+1

3 6−13

4

3−52

+√ 3

9−√

3 √

72+√

32−6√ 8

Exercice 5. Simplifier au maximum : 37×265

× 2

3

33 4−2 4×493×

−4 7

5

(10)

2014-2015 Exercice 6. Factoriser :

A(x) = (5x−3)2−(5x−3)(x+2) B(x) =4(1+2x)2−9x2

C(x) =6x−1−(5−x)(6x−1)

Exercice 7. Simplifier en donnant le résultat sous forme de fraction irréductible.

A=5× 32

54 3

×255

3−4 B= 14×1036

×109 494×0,025

Exercice 8.

1. Comparer les nombres suivants :A=5−√

2 etB=p

26−10√ 2.

2. On posea=1−√

2 etb=√

2. Calculera+b2;(a+b)2;a2+b2. 3. Simplifier au maximum :√

72+√

32−√

8 ;p√

5+1×p√

5−1 ;√

32+42;√ 32+√

42. 4. Simplifier au maximum :

2 3

2

×33; 32×22

× 1

3 3

;

−1 3

2

×52× 3

5 3

; 2

7 7

× 7

4 2

×

−49 2

3

.

Exercice 9. Développer et réduire les expressions suivantes :

2(x+8)−(x+6) 5(x−1) +3(x+1) x−4(x−3) +3(x−2)

Exercice 10. Factoriser les expressions suivantes :

f(x) =x2−4x+4 g(x) = (x−2)(2x+6) +x2−4x+4

Exercice 11. Calculer et simplifier au maximum : A=p

42+52 B=p

12−√

75+3√ 3

C=

√18

√2+√

18 D=12100×

3 2

50

×6149

E =p

52−42×√

32 F = 3

2√ 7−1

G=5√

18−18√

50 H =

4 3

50

×0,7551

Exercice 12.

1. Démontrer que(a+b)3+ (a−b)3=2a(a2+3b2)

(11)

2014-2015 2. En déduire une simplification de l’expression f(x) =

x+√

1+x23

+ x−√

1+x23

Exercice 13. Factoriser les expressions suivantes :

(x+3) + (2x+6)(x−1) 8x3+4x x2−3

5(x−2)(x2+7) +8x(2−x) 8x(x−1)2−2x3 8x(x−1)2−2x3

(5x−2)(4x−3)−7x(3−4x) 16x2−9 12x3−3x

(4x+1)(3x+6) +x(x+2) 4x2+4x+1 27x3−36x2+12

3x(x−2) +x(x−5)(2−x) 9x2+24x+16 (2x+1)(2x−6) + (x−2)(3−x) 5x(−2x+6)−(x+2)(x−3) 4x2−12x+9 (x+1)(2x−1) +6x2−3x (4x+1)(x−1)−(x−4)(1−x)−3x(x−1) x4−2x3+x2−2x

1.2 Équations

Exercice 14. Résoudre (dansR) les équations suivantes :

3x+7=0 (2x+3)2=9 x2−3x=2x2+5x x2(1−x) =0

(2x−1)2= (x+3)2 (x+1)2−3x(x+1) =0 (2−x)(3+x) =2(3−2x)(2−x)

x2= (x+1)2 x(3x+1) =x2 (5x−4)2−(3x+7)2 (x−2)2=161(5−2x)2 (x−1)2= (x+1)2 3x(x+1) = (x+2)(x+1) 2

x2−25 = 1

x−5 |x−5|=2 (x+2)(2x−4) +x2+4x+4

Exercice 15. Un père de trois enfants laisse en héritage 1 600 couronnes. Le testament précise que l’aîné doit recevoir 200 couronnes de plus que le deuxième, le deuxième 100 couronnes de plus que le dernier. De quelle somme hérite chacun des enfants ?

Exercice 16. Résoudre les systèmes linéaires suivants : 2x − 7y =−12

x − 2y =0

x − 3y =2 4x + 2y =1







 2

3x − 3

2y =6 1

9x − 1

4y =−1







 2

3x − 3

2y =6 1

9x − 1

4y =1

(12)

2014-2015 Exercice 17. Résoudre dansRles inéquations suivantes :

x2(1−x)≤0 (3−x)(2+x)(1−x)<0 (x−2)(π−x)(3x+5)<0 25−x2 3x+2 ≤0 2−x

3+x≥0 (1+x)2(5−x)

(1−2x) ≤0 (x+1)2(x−2)

(2−x)(3−2x)≥0 x−1 x+1 >2

−5x+3

2x+1 ≥2 2x+3

x+4 ≥3 4

(x−1)2 ≥1 4−x

8−x ≤ 1−3x 2+x 2x+3

x+1 ≥ x−3 2x+1

3+x

1−x ≤2 |x+3|>1,5 x≤x3

1

x ≤x x3≤x2 1

x ≥x3 x2≥ 1

x

Exercice 18. Résoudre dansRles systèmes d’inéquations suivants x2(1−x) ≤ 0

(3−x)(2+x)(1−x) < 0







x2(1−x) ≤ 0 ou

(3−x)(2+x)(1−x) < 0

2 Fonctions et représentations graphiques

2.1 Les droites

Exercice 19. On définit la fonction f sur l’intervalleI= [−1,5 ; 1,3]. La courbe représentative de la fonction f est donnée sur la figure1.

1. Déterminer la ou les ordonnées des points de la courbe d’abscisse 0,5.

2. Déterminer la ou les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 9.

3. Étudier les variations de la fonction f.

4. Donner le tableau de variations de la fonction f. 5. Donner les maxima et minima de f surI.

(13)

2014-2015

5 10 15 20

0.5 1.0

−0.5

−1.0

−1.5

C

f

FIGURE1 – Courbe représentative de la fonction f.

Exercice 20. Pour chacune des fonctions affines suivantes, 1. Déterminer leur coefficient directeur.

2. Déterminer leur ordonnée à l’origine.

3. Déterminer leur sens de variations.

4. Déterminer les images de 0 et de 1.

5. Déterminer les antécédents de 0 et de 1.

a) f :x7→7−2x b) g:x7→(x−1)√

7 c) h:x7→ (3−7x)(√

7−1)

−3

d) La fonctionipassant par les points de coordon- nées(3 ; 7)et(5 ; 2).

e) La fonction j dont la représentation graphique est donnée sur la figure2.

Exercice 21.

1. Représenter les solutions de l’inéquation suivante : 3x+2y−1>0 2. Résoudre graphiquement les systèmes d’inéquations suivants :

a)

x−5>0

x+y−3<0 b)



3x+2y−5<0 x−y+4>0 x+3y−4<0 Exercice 22. Dans un repère orthonormé :

1. Placer les pointsA(2; 2),B(−1; 3)etC(−3; 1)

2. Définir l’intérieur du triangleABCpar un système d’inéquations

(14)

2014-2015

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

C

j

FIGURE2 – Courbe représentative de la fonction j.

Exercice 23. Représenter dans le plan muni d’un repère orthonormal direct l’ensemble des solutions de l’in- équation(x+2y−3)(x−y+3)(x+y−6)<0

Exercice 24. Dans une école, un groupe d’élèves se charge de la distribution de paninis et de sandwichs lors de la pause de dix heures. Pour pouvoir satisfaire la demande, ils doivent disposer au minimum de 108 paninis et de 96 sandwichs. Deux boulangers proposent pour le même prix :

— l’un, le lotAcomprenant 12 paninis et 8 sandwichs.

— l’autre, le lotBcomposé de 9 paninis et 12 sandwichs.

Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B qui doivent être achetés pour satisfaire la demande au moindre coût. On souhaite s’aider d’un graphique.

Pour cela, on rapporte le plan à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) et, à l’achat dexlotsAet dey lotsB, on associe le point de coordonnées(x;y).

1. Placer :

— le pointE associé à l’achat de 13 lotsAet de 14 lotsB.

— le pointF associé à l’achat de 10 lotsAet de 1 lotB.

Les achats associés aux pointsEetF permettent-ils de satisfaire la demande ? 2. On s’intéresse à la satisfaction de la demande.

a) Montrer que, pour que l’achat correspondant au point de coordonnées(x;y)permette de satisfaire la demande , les nombresxetydoivent vérifier les inégalités 4x+3y≥36 et 2x+3y≥24.

b) Colorier ou hachurer la région du plan dans laquelle se trouvent les points dont les corrdonnées (x;y)ne sont pas solutions du système

4x + 3y ≥36 2x + 3y ≥24

3. On cherche à inimiser le coût, c’est-à-dire le nombre totalx+yde lots achetés.

a) Les points associés à des achats d’un nombre total denlots sont situés sur la droite∆n, d’équation x+y=n.

Tracer∆9et∆11. D’après le graphique, peut-on satisfaire la demande en achetant au total seulement 9 lots ? En achetant 11 lots ?

b) En utilisant le graphique, déterminer l’achat qi permet de satisfaire la demande au moindre coût.

(15)

2014-2015 2.2 Les polynômes du second degré

Exercice 25. Associer chaque fonction à sa courbe représentative. f(x) =4x2−2,g(x) = (1−x)2+2,h(x) = 3x−x2+1.

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2

−1

−2 O

C1

C3 C2

C4

La fonction f a un coefficient dominant (lea) positif, donc sa courbe représentative est soitC1, soitC4. Or f(0) =−2. Donc sa courbe représentative estC1.

La fonctionga un coefficient dominant (lea) positif (g(x) =x2−2x+3), donc sa courbe représentative est soit C1, soitC4. Org(0) =3. Donc sa courbe représentative estC4. On aurait aussi pu remarquer que le minimum degétait atteint en 1 et valait 2.

La fonctionha un coefficient dominant (lea) négatif, donc sa courbe représentative est soitC2, soitC3. Ces deux courbes passant toutes les deux par le point de coordonnées(0; 1), calculerh(0)ne nous sera pas d’une grande utilité. Le minimum dehest atteint enx=− 3

2×(−1) = 3

2. Donc sa courbe représentative estC3.

Exercice 26. Classer les carrés des nombres suivants dans l’ordre croissant :−2,3 ;−4,7 ;−1,5.

Ces nombres se classent dans cet ordre : −4,7<−2,3<−1,5<0. La fonction carré étant strictement décroissante sur ]−∞; 0], les carré de ces nombres seront classés dans l’autre sens : (−4,7)2>(−2,3)2>

(−1,5)2>0. L’ordre croissant est donc :(−1,5)2<(−2,3)2<(−4,7)2. Et tout cela sans calculatrice. . . Exercice 27.

1. Classer dans l’ordre décroissant les carrés des nombres suivants :−4,5 ; 5,3 ;−3,2 ; 3 ;−6,1 ;−6,2.

2. Puis leurs inverses.

1. Nous devons classer, sans calculs, dans l’ordre décroissant les carrés de nombres positifs et négatifs. Or ceci n’est pas possible directement. Or on sait quex2= (−x2). Il suffit donc de classer les carrés des distances à zéro de ces nombres, c’est-à-dire 4,52; 5,32; 3,22; 32; 6,12; 6,22. Or 0<3<3,2<4,5<

5,3<6,1<6,2. La fonction carré étant strictement croissante sur [0;+∞[, les carrés de ces nombres sont classés dans le même ordre. D’où 0<32<3,22<4,52<5,32<6,12<6,22. Finalement, une fois classé dans l’ordre décroissant :−6,22>−6,12>5,32>−4,52>−3,22>32.

2. Nous avons−6,2<−6,1<−4,5<−3,2<0<3<5,3. La fonction inverse étant décroissante surR−∗, les inverses des nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse. De plus ils sont négatifs. De même, la fonction inverse étant décroissante surR+, les inverses des nombres positifs sont rangés dans l’ordre inverse. De plus ils sont positifs. Donc 0> 1

−6,2 > 1

−6,1 > 1

−4,5> 1

−3,2 et 0< 1 5,3 < 1

3. Finalement, dans l’ordre décroissant on obtient : 1

3 > 1

5,3> 1

−6,2 > 1

−6,1 > 1

−4,5> 1

−3,2.

(16)

2014-2015 Exercice 28. La représentation graphique d’une fonction f est une parabole de sommetA(1; 2). Elle passe par le pointB(2; 5). Déterminer f.

La représentation graphique de f est une parabole, donc f est un polynôme de degré 2 de la forme f(x) =ax2+bx+caveca6=0. Puisqu’elle passe par les pointsAetB, on a déjà deux équations : 2=a+b+c et 5=4a+2b+c.

On sait de plus que Aest le sommet donc 2ab =1 (on a le droit de diviser par a), c’est-à-direb=−2a. On remplace dans les deux équations précédentes et on obtient : 2=−a+cet 5=c. D’oùc=5,a=3 etb=−6.

Finalement, f est la fonctionx7→3x2−6x+5.

Remarque

Une manière astucieuse de trouverCrapidement était d’utiliser la symétrie de la courbe : le symétrique de B par rapport à la droite d’équation x =1 (passant donc par le sommet A) est le point D de coordonnées (0; 5) et il appartient à la courbe. D’où f(0) =c=5.

3 Équations du second degré

Exercice 29. Résoudre dansRles équations suivantes : 1. 4x2−x−3=0

2. (t+1)2+3=0

3. 2(2x+1)2−(2x+1)−6=0

4. x2+1050x+25×1098=0 5. 6x4−5x2+1=0

Exercice 30. Le montage en dérivation de deux résistances R1 etR2 a une résistance de 1,5kΩ. Ces mêmes résistances montées en séries ont une résisance de 8kΩ. Calculer les valeurs des résistancesR1etR2.

Exercice 31. Résoudre les inéquations suivantes : 1. −2x2+7x−5≤0

2. (x2+2x+1)2<16 3. 3x2+x+1

x2−3x−10 >0

4. −x2+9x+22≥0 5. −2x2+7x−5≤0 6. x2+10x+25

−2x2−7x−3 ≤0

4 Statistiques

Exercice 32. Deux tireursX etY s’affrontent en vue d’une sélection lors d’une épreuve comportant vingt tirs sur cible. Les résultats obtenus sont les suivants :

Nombre de points 50 30 20 10 0 Nombre de tirs pourX 4 6 5 4 1 Nombre de tirs pourY 6 3 5 3 3

1. Calculer la moyenne de chaque tireur. La moyenne par tir permet-t-elle de départager les deux concur- rents ?

2. Donner l’étendue de la série de chaque tireur. L’étendue permet-elle de comparer la régularité de chaque tireur ?

(17)

2014-2015 3. Pour comparer la régularité de chaque tireur, on va calculer sa moyenne des écarts à la moyenne. Com-

pléter le tableau suivant :

Nombre de points 50 30 20 10 0 Écarts à la moyenne 24

Nombre de tirs pourX 4 6 5 4 1 Nombre de tirs pourY 6 3 5 3 3

Calculer la moyenne des écarts à la moyenne pour X et pourY; Peut-on dire quel est le tireur le plus régulier ?

Exercice 33. Une entreprise emploie 50 personnes dont l’ancienneté est comprise entre 1 an et 8 ans. Les effectifs sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Ancienneté 1 an 3 ans 3 ans 4 ans 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans Total

Effectifs 7 6 5 6 7 11 3 5 50

Effectifs cumulés croissants 7 13 50

1. Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants. En déduire la valeur médiane de l’ancienneté.

2. Calculer l’ancienneté moyenne des employés de cette entreprise.

3. Dans une autre entreprise, l’ancienneté moyenne est de 6 ans et on sait que l’ancienneté moyenne des deux entreprises réunies est de 5 ans. Combien de personnes emploie l’autre entreprise ?

Exercice 34. Huit sprinters effectuent deux 100m. Leurs temps sont donnés dans le tableau suivant :

Sprinter A Sprinter B Sprinter C Sprinter D Sprinter E Sprinter F Sprinter G sprinter H

Sprint 1 10”14 10”17 9”94 10”05 10”25 10”09 9”98 10”32

Sprint 2 10”41 9”97 9”96 10”12 10”19 10”24 10”12 10”17

Soit(xi)1i8 les temps respectifs des sprinters A, B, . . ., H au sprint 1 et(yi)1i8les temps respectifs des sprinters au sprint 2.

1. Calculer les moyennesxetydes séries(xi)1i8et(yi)1i8. 2. Calculer les écarts-typessxetsy des séries(xi)1i8et(yi)1i8. 3. Lequel des deux sprints a été le plus homogène ?

Exercice 35. Le tableau suivant donne les effectifs des notes obtenues dans une classe en Maths et en Phy- sique :

Notes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Maths 0 0 0 0 1 0 1 1 3 4 4 1 3 2 2 1 1 0 0 0 0

Physique 0 1 0 0 2 0 1 2 1 1 4 2 2 0 3 2 1 0 1 0 1

Le but de l’exercice est de comparer la dispersion des notes en Maths et en Physique.

1. Utilisation des quartiles

a) Calculer médianemeet quartilesQ1etQ3en Maths.

b) Calculer médianemeet quartilesQ1etQ3en Physique.

2. Utilisation des écarts-types

a) Calculer la moyennemdes notes de Maths et la moyennemdes notes de Physique. Interpréter.

b) Calculer l’écart-typesdes notes de Maths et l’écart-typesdes notes en Physiques. Interpréter.

(18)

2014-2015

5 Trigonométrie

5.1 Trigonométrie élémentaire

Exercice 36. Sur le cercle trigonométrique, on trace un heptagone régulier de centreO:IABCDEF (le point Icorrespondant au réel 0).

Déterminer les coordonnées exactes de chacun de ces sept points.

Le pointI correspond au réel 0, donc ses coordonnées sontI(1; 0). L’heptagoneIABCDEF est régulier, de centre Oet inscrit dans le cercle trigonométrique. Les points divisent donc le cercle en sept parts égales.

Le cercle faisant un angle de 2π, chaque part fait 2π

7 . Les points A, B, C, D, E, et F correspondent donc respectivement à 2π

7 , 4π 7 , 6π

7 , 8π 7 , 10π

7 , 12π

7 . Or les coordonnées d’un pointMcorrespondant à un réelxsont (cosx; sinx). Les coordonnées sont donc :

A

cos 2π

7

; sin 2π

7

B

cos 4π

7

; sin 4π

7

C

cos 6π

7

; sin 6π

7

D

cos 8π

7

; sin 8π

7

E

cos 10π

7

; sin 10π

7

F

cos 12π

7

; sin 12π

7

Exercice 37. Calculer : cos

33π 4

sin 23π

4

cos 11π

6

cos 13π

3

.

— cos 33π

4

=cos

32π+π 4

=cos 8π+π

4

=cosπ 4

=

√2 2

— sin 23π

4

=sin

24π−π 4

=sin 6π−π

4

=sin

−π 4

=−sinπ 4

=−

√2 2

— cos 11π

6

=cos

12π−π 6

=cos 2π−π

6

=cos

−π 6

=cosπ 6

=

√3 2

— cos 13π

3

=cos

12π+π 3

=cos 4π+π

3

=cosπ 3

= 1 2

Exercice 38. Soit le pointMassocié au réelx∈[−π; 0]tel que cosx=−1 5. 1. Placer le pointMsur le cercle trigonométrique.

2. Calculer la valeur exacte de sinx.

1. Le pointM correspond àx, or cosx=−1

5. Donc l’abscisse deM est−1

5. De plusx∈[−π; 0]doncM est situé sur le demi-cercle inférieur. Voire la figure.

2. On sait que cos2x+sin2x=1 donc sin2x=1−cos2x=1−

−1 5

2

=1− 1

25 = 25−1 25 = 24

25. Donc sinx=±

r24

25. Or le pointMétant sur le demi-cercle inférieur son ordonnée est négative, donc sinx<0.

D’où sinx=− r24

25=−

√24 5 .

(19)

2014-2015 Exercice 39. On cherche à résoudre l’équation sinx=

√2+√ 6

4 avec x∈[−2π; 5π[. Une calculatrice scien- tifique nous donne le résultat suivant :

Arcsin

√2+√ 6 4

!

=5π 12 Déterminer alors toutes les solutions de l’équation.

La calculatrice nous donne toujours une solution dans l’intervalleh

−π 2;π

2

i. Sachant que sin(2π+x) = sin(x), à partir d’une solution, on peut en trouver d’autre en ajoutant (ou soustrayant) 2πautant de fois que l’on veut. Pour cet exercice, nous devons simplement nous assurer que l’on reste bien dans l’intervalle[−2π; 5π[ =

−24π 12 ;60π

12

. 5π

12+2π= 5π+24π

12 = 29π 12 . 29π

12 +2π= 53π

12 . Si on rajoute encore 2π, on voit que l’on va dépasser 60. Il faut donc arrêter.

12−2π=−19π

12 . De même si l’on retranche encore 2π, on va être inférieur à -24.

Nous avons donc déjà quatre solutions. L’indication nous rappelle qu’il en manque encore quatre ! π−5π

12 = 7π

12 est solution puisque sin(π−x) =sinx. Il reste à ajouter ou retrancher 2π.

12+2π= 31π 31π 12

12 +2π= 55π 7π 12

12−2π=−17π 12

Exercice 40. Résoudre surRles équations suivantes : sin2x=3

4 cos2x= 1

2 sin(2x) =cosx

Exercice 41. Résoudre les équations suivantes en vous aidant du cercle trigonométrique : 1. cosx=

√3

2 avecx∈[0 ; 2π[

2. cosx=−

√2

2 avecx∈[−π;π[

3. cosx=0 avecx∈[−6π; 2π]

4. cos2x= 1

4 avecx∈[0 ; 2π[

5. sinx=

√3

2 avecx∈[0 ; 2π[

6. sinx=−

√2

2 avecx∈[−π;π[

7. sinx=0 avecx∈[−6π; 2π]

8. sin2x= 1

4 avecx∈[−π;π[

Exercice 42. Résoudre dans]−π;π]l’équation sinx=sin(2x).

Exercice 43. Résoudre les inéquations suivantes en vous aidant du cercle trigonométrique :

(20)

2014-2015 1. cosx≥

√2

2 avecx∈]−π;π]

2. cosx≥

√2

2 avecx∈[0 ; 2π[

3. cosx< 1

2 avecx∈

−π 2;3π

2

4. sinx>

√3

2 avecx∈]−π;π]

5. sinx≤ −1

2 avecx∈]−π;π]

6. sinx<−1

2 avecx∈[0 ; 2π[

5.2 Duplication et addition, linéarisation de

sin

et

cos

Exercice 44. Simplifier au maximum les expressions suivantes : A(x) =cos(x+π)sinπ

2−x

−sin2(−x) B(x) =tan(x+π)−tanx(pourx∈]−π2;π2[) C(x) =sin2

x−π 2

+sin(π−x)sin(−x) D(x) =sinπ 3+x

−sinπ 3−x

Exercice 45. Sachant que cosπ 5

= 1√ 5

4 , Calculer les valeurs exactes de cos 2π

5

et de cos 3π

5

Exercice 46. En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de sin7π

12 et de cos7π

12. On pourra utiliser l’égalité 7

12 = 1 4+1

3.

Exercice 47. Démontrer que pour tout réelx, on a cos4(x)−sin4(x) =cos(2x).

Exercice 48. Démontrer que pour tout réelxdifférent dekπ

2(k∈Z), on a sin3x

sinx −cos 3x cosx =2 Exercice 49. Simplifier cos(a+x)cos(a−x)−sin(a+x)sin(a−x).

cos(2a)

Exercice 50. Montrer que sin2(a+b) +cos2(a˘b) =1+sin2a+sin2b.

6 Vecteurs

6.1 Égalités et constructions

Exercice 51. Simplifier au maximum les relations suivantes 1. −→u =−→AC+−BA→+−→BC

2. −→v =−→DE−−→DF+−→EF−−→ED 3. −→w =−BA→+−→MA−−→MB 1. −→0

(21)

2014-2015 2. −→DE

3. 2−→ BA

Exercice 52. SoitABCun triangle.

1. Placer le pointE tel que−→AE=1 3

−→AB.

2. Placer le pointF tel que−→

AF=3−→AC.

3. Démontrer que les droites(CE)et(FB)sont parallèles.

Exercice 53. SoitABCDun parallélogramme.

1. Placer les pointsE etF tels que−→DE= 1 3

−→DBet−→DF =−1 4

−→DB.

2. Placer les pointsGetHtels queBAEGetBAFH soient des parallélogrammes.

3. Démontrer que les droitesCH−→=−→DF etCG−→=−→DE. 4. En déduire que les pointsC,GetH sont alignés.

−→AB=−→DC=−→EG=−→FH doncDCHF et DCGE sont des parallélogrammes et donc les égalités. Ensuite, CH−→=kCG−→d’où l’alignement.

Exercice 54. SoitABCun triangle etOun point quelconque à l’intérieur deABC.

1. Placer les pointsIetJetK tels queOABI,OBCJ etOCAK soient des parallélogrammes.

2. Démontrer queOest le centre de gravité du triangleIJK.

−→

OI+−→OJ+−→OK=−→AB+−→BC+−→CA.

Exercice 55. Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante et, dans chaque cas, illustrer par une figure :

1. −→AD=−→DB 2. −→AB=CD−→

3. −→DC=−→DA+−→DB 4. −→AD=−→BC

A. ABCDest un parallélogramme.

B. ABDCest un parallélogramme.

C. Dest le milieu de[AB].

D. ADBCest un parallélogramme.

Exercice 56. Soit 3 vecteurs−→u,−→v et−→w, et deux pointsAetD.

1. Construire les pointsBetCtels que−→

AB+−→u +−→v et−→

AC=−→u − −→v. Représenter ces vecteurs.

2. construire les pointsE etF tels que−→DE=−→w−3−→u et−→DF =−1

2−→w +−→u. Exercice 57. SoitABCDun parallélogramme de centreI.

1. Construire le pointMtel que−→IM=−→IA+−ID→et le pointNtel que−IN→=−→IB+−→IC.

2. Démontrer que−→IM+−IN→=−→0 . Que peut-on en déduire ?

(22)

2014-2015 3. Justifier les deux égalités suivantes :−→BN=−→

ICet−→

IC=−→AI. En déduire la nature du quadrilatèreABNI.

Exercice 58. Soit Gle centre de gravité d’un triangle ABC. Démontrer que pour tout point M du plan on a

−→MA+−→MB+−→MC=3−−→MG.

Exercice 59. Soit un parallélogrammeABCD et un pointE dans le demi-plan de frontière(DC)et ne conte- nant pas(AB). SoitGle centre de gravité du triangleAEC. Démontrer queGest le centre de gravité du triangle BDE.

6.2 Coordonnées et produit scalaire

Exercice 60. Soit ABC un triangle équilatéral de côté 5 cm et I est le milieu de[BC]. Calculer les produits scalaires suivants :

1. −BA→·−→BC 2. −→

CA·−→ CI

3. (−→AB−−→AC)·−→AI

Exercice 61. Soit un triangleABCetI le milieu de[BC]tel queBI=CI =2,AI=3 etAIBd= π

3. Calculer : 1. −→

AB·−→

AC 2. AB2+AC2 3. AB2−AC2 4. ABetAC 1. −→

AB·−→

AC= (−→

AI+−→IB)·(−→ AI+−→

IC) =AI2+−→ AI·(−→

IC+−→IB) +−→IB·−→

IC=9+0−4=5 2. Identité du parallélogramme :−→

AB·−→

AC= 1 2

−→

AB+−→

AC

2−AB2−AC2

. DoncAB2+AC2=k2−→ AIk2− 2×5=36−10=26

3. AB2−AC2= (−→

AB−−→AC)·(−→

AB+−→AC) =−→

CB·2−→

AI=2×CB×AI×cos(CB,−→ −→AI) =24×cos(−2π

3 ) =−12 4. AB=

r1

2 AB2+AC2+AB2−AC2

=√

7 etAC= r1

2 AB2+AC2−AB2+AC2

=√ 19

Exercice 62. SoitACun triangle dans lequelAB=2,AC=3 et−→AB·−→AC=4. Ce triangle est-il rectangle ? (Si oui, préciser en quel sommet).

SoitCle projeté orthogonal deCsur la droite(AB). Nous avons 4=−→AB·−→AC=−→AB·−→

AC=2×AC. Donc AC=2=ABetB=C. Ainsi le triangle est rectangle enB.

Exercice 63. Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.

SoitABCun triangle. On noteA,BetCles projetés orthogonaux respectifs deA,BetCsur(BC),(AC) et(AB). On note{H}= (BB)∩(CC).

(23)

2014-2015 1. Que valent les produits scalaires suivants :−→BH·−→

ACet−→

CH·−→

AB? 2. Calculer−→AH·−→BC.

3. Conclure.

−→AH·−→BC=−→AB·−BA+→ −→AB·−→AC+−→BH·−BA→+−→BH·−→AC=−→AB·−→BC+−→

BC·−BA→=−→AB·−→BC+−→

CB

=−→AB·−→

CC=0

Exercice 64. SoitABCDun rectangle tel queAD=3 etAB=5 etE le milieu de[AB].

1. Calculer les longueursACetDE.

2. En exprimant chacun des vecteurs −→AC et −→DE en fonction des vecteurs −→AB et −→AD, calculer le produit scalaire−→AC·−→DE.

3. En déduire la valeur de l’angleθ=−→DE;−→AC

en degrés à 0,01 près.

Exercice 65. On se place dans un repère orthonormé(O;−→i ;−→j). On considère un triangleABCdans un repère orthonormal avecA(−1; 2),B(3; 1)etC(2; 4).

1. Déterminer de deux manières différentes une équation de la médiatrice du segment[AB].

2. Déterminer une équation de la hauteur issue deAdans le triangleABC.

1. MA=MBouMI.AB=0 : 2y−8x+5=0.

2. MA.BC=0 :−3y+x+7=0.

Exercice 66. Dans un repère orthonormé(O;−→i ;−→j), on considère le pointA(3; 5). Déterminer une équation de la tangente enAau cercleC de centreOet de rayonOA.

7 Nombres complexes

7.1 Forme algébrique et trigonométrique

Exercice 67. Mettre sous la formea+ib(a,b∈R) les nombres suivants : 1. 3+6i

3−4i

2. 1

(1+2i)(3−i) 3. 2+5i

1−i +2−5i 1+i 4. 5+2i

1−2i

5. −1 2+i

√3 2

!3

6. (1+i)9 (1−i)7 7. −2

1−i√ 3

8.

1+i 2−i

2

+3+6i 3−4i 9. 1+2i

1−2i 10. 2+5i

1−i +2−5i 1+i Indication. Pour se « débarrasser » d’un dénominateur écrire z1

z2 = z1 z2·z¯2

¯

z2 = z12

|z2|2.

Remarquons d’abord que pourz∈C, zz=|z|2 est un nombre réel, ce qui fait qu’en multipliant le déno- minateur par son conjugué nous obtenons un nombre réel.

(24)

2014-2015

3+6i

3−4i = (3+6i)(3+4i)

(3−4i)(3+4i)= 9−24+12i+18i

9+16 = −15+30i 25 =−3

5+6 5i Calculons

1+i

2−i = (1+i)(2+i)

5 = 1+3i

5 ,

et 1+i

2−i 2

=

1+3i 5

2

= −8+6i

25 =− 8 25+ 6

25i.

Donc 1+i

2−i 2

+3+6i

3−4i =− 8 25+ 6

25i−3 5+6

5i=−23 25+36

25i.

Soitz=2+5i

1−i . Calculonsz+z, nous savons déjà que c’est un nombre réel, plus précisément :z=−3 2+7

2i et doncz+z=−3.

Exercice 68. Écrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants : 1. Nombre de module 2 et d’argumentπ/3.

2. Nombre de module 3 et d’argument−π/8.

Indication. Il faut bien connaître ses formules trigonométriques. En particulier si l’on connait cos(2θ) ou sin(2θ)on sait calculer cosθet sinθ.

1. z1=2ei π

3 =2(cosπ

3+isinπ

3) =2(1 2+i

√3

2 ) =1+i√ 3.

2. z2=3ei π

8 =3 cosπ8−3isinπ8 = 3

2+ 2 23i

2 2

2 .

Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cosπ

8 et sinπ

8 : posonsθ= π

8, alors 2θ= π 4 et donc cos(2θ) =

√2

2 =sin(2θ). Mais cos(2θ) =2 cos2θ−1. Donc cos2θ= cos(2θ) +1

2 = 1

4(2+√ 2).

Et ensuite sin2θ=1−cos2θ= 1

4(2−√

2). Comme 0≤θ= π 8 ≤ π

2, cosθ et sinθ sont des nombres positifs. Donc

cosπ 8 = 1

2 q

2+√

2 , sinπ 8 = 1

2 q

2−√ 2.

Exercice 69. Effectuer les calculs suivants : 1. (3+2i)(1−3i).

2. Produit du nombre complexe de module 2 et d’argumentπ/3 par le nombre complexe de module 3 et d’argument−5π/6.

3. 3+2i 1−3i.

(25)

2014-2015 4. Quotient du nombre complexe de module 2 et d’argumentπ/3 par le nombre complexe de module 3 et

d’argument−5π/6.

9−7i; −6i; −0,3+1,1i; −333i.

Exercice 70. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués : 1. 1+i(1+√

2).

2. p

10+2√

5+i(1−√ 5).

3. tanϕ−i

tanϕ+i oùϕest un angle donné.

ρ=p

4+2√

2,θ= 8 ; ρ=4,θ=−10π ; ρ=1,θ=2ϕ+π.

Exercice 71. Représenter sous forme trigonométrique les nombres : 1+i ; 1+i√

3 ; √

3+i ; 1+i√

√ 3 3−i .

Exercice 72. Établir les égalités suivantes : 1. (cos(π/7) +isin(π/7))(1−i√

3

2 )(1+i) =√

2(cos(5π/84) +isin(5π/84)), 2. (1−i)(cos(π/5) +isin(π/5))(√

3−i) =2√

2(cos(13π/60)−isin(13π/60)), 3.

√2(cos(π/12) +isin(π/12))

1+i =

√3−i 2 . Il s’agit juste d’appliquer la formule de Moivre :

e=cosθ+isinθ;

ainsi que les formules sur les produits de puissances :

eiaeib=ei(a+b) eteia/eib=ei(ab).

7.2 Forme exponentielle

Exercice 73. Placer dans le plan cartésien, les points d’affixes suivantes : z1=i, z2=1+i, z3=−2+2i, z4=eiπ3.

Exercice 74.

1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :z1=3+3i,z2=−1−√

3i,z3=

−4

3i,z4=−2, z5=e+e2iθ. 2. Calculer(1+i23)2000.

(26)

2014-2015 Exercice 75. Calculer le module et l’argument deu=

√6−i√ 2

2 etv=1−i. En déduire le module et l’argu- ment dew=u

v.

Indication. Passez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances : eiaeib=ei(a+b) eteia/eib=ei(ab).

Nous avons

u=

√6−√ 2i

2 =√

2

√3 2 − i

2

!

=√ 2

cosπ

6−isinπ 6

=√ 2ei

π 6. puis

v=1−i=√ 2ei

π 4. Il ne reste plus qu’à calculer le quotient :

u v =

√2ei π 6

√2ei π 4

=ei π 6+iπ

4 =ei π 12.

Exercice 76. Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe :

1+i−√

3(1−i) 1+i

!2

.

Exercice 77. Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ee et e+e2iθ.

Indication. Pour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser parei u+v

2 . D’après la formule de Moivre poure nous avons :

ee=ecosα+isinα=ecosαeisinα.

Orecosα>0 donc l’écriture précédente est bien de la forme « module-argument ».

De façon générale pour calculer un somme du typeeiu+eiv il est souvent utile de factoriser parei u+v

2 .

(27)

2014-2015 En effet

eiu+eiv=ei u+v

2

ei u−v

2 +ei u−v

2

=ei u+v

2 2cosu−v 2

=2 cosu−v 2 ei

u+v 2 .

Ce qui est proche de l’écriture en coordonées polaires.

Pour le cas qui nous concerne :

z=e+e2iθ=e 3iθ

2

e

2 +e iθ

2

=2 cosθ 2e

3iθ 2 .

Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si cosθ

2 ≥0 alors 2 cosθ 2 est le module de z et 3θ/2 est son argument ; par contre si cosθ

2 <0 le module est 2|cosθ

2| et l’argument 3θ/2+π(le+πcompense le changement de signe care=−1).

Exercice 78. Déterminer le module et l’argument de 1+i

1−i. Calculer(1+i 1−i)32. 1+i

1−i =

√2eiπ/4

√2eiπ/4 =eiπ/2=i.

On remarque 1=i0=i4=i8=···=i32.

Exercice 79. CalculerZ= (1+i√ 3)2000.

Exercice 80. Calculer(1+i√

3)5+ (1−i√

3)5et(1+i√

3)5−(1−i√ 3)5.

Exercice 81. Calculer le module et l’argument dez= 1 1+itanα.

Exercice 82. Calculer les puissancesn-ièmes des nombres complexes : z1= 1+i√

3

1+i ; z2=1+javec j=e2iπ3 ; z3=1+itanθ 1−itanθ.

Exercice 83. Comment choisir l’entier naturelnpour que(√

3+i)nsoit un réel ? un imaginaire ?

(28)

2014-2015 Exercice 84. Soit zun nombre complexe de module ρ, d’argumentθ, et soitz son conjugué. Calculer (z+ z)(z2+z2). . .(zn+zn)en fonction deρetθ.

Indication. Utiliser la formule d’Euler pour faire apparaître des cosinus.

Écrivonsz=ρe, alorsz=ρe. Donc P=

n k=1

zk+zk

=

n k=1

ρk

(e)k+ (e)k

=

n k=1

ρk

eikθ+eikθ)

=

n k=1

kcoskθ

=2n.ρ.ρ2. . . . .ρn

n k=1

coskθ

=2nρ

n(n+1)

2

n

k=1

coskθ.

Exercice 85. Soientαetβdeux nombres réels. Mettre le nombre complexez=e+esous forme trigono- métriquez=ρe(indication : poseru= α+β

2 ,v= α−β 2 ).

En déduire la valeur de

n p=0

Cnpcos[pα+ (n−p)β].

Soit(α,β)∈R2etzle nombre complexez=e+e. Soitu= α+β

2 etv= α−β

2 . Alors,α=u+vet β=u−vet :

z=e+e

=eiu+iv+eiuiv

=eiu(eiv+eiv)

=2 cos(v)eiu

=2 cos(α−β 2 )ei

α+β 2 On en déduit la forme trigonométrique dez:

|z|=2|cos(α−β

2 )| et, lorsque cos(α−β 2 )6=0 : Arg(z) =



 α+β

2 [2π] si cosα−β 2 >0 π+α+β

2 [2π] si cosα−β 2 <0

(29)

2014-2015 (Attention, si cosα−β

2 <0,z=2 cosveiun’est pas la forme trigonométrique dez!).

Soitn∈N. Calculonsznde deux façons différentes : d’une part zn= (e+e)n=

n p=0

Cnpeipαei(np)β,

et d’autre part, en utilisant la forme obtenue plus haut :zn=2ncosnv einu. En comparant les parties réelles des expressions obtenues on obtient :

n p=0

Cnpcos[pα+ (n−p)β] =2ncosnα−β

2 cos(nα+β 2 ).

Exercice 86. Écrire l’expression(1+cosφ+isinφ)sous forme trigonométrique. En déduire l’expression de (1+cosφ+isinφ)n.

Exercice 87. Mettre sous forme trigonométrique 1+e où θ∈]−π,π[. Donner une interprétation géomé- trique.

1+e=e iθ

2 (e

2 +e iθ

2) =2 cosθ 2e

iθ 2. Commeθ∈]−π,+π[alors le module est 2 cosθ

2≥0 et l’argument estθ

2. Géométriquement, on trace le cercle de centre 1 et de rayon 1. L’angle en 0 du triangle(0,1,1+e)est θ

2 et donc est le double de l’angle en 0 du triangle(0,2,1+e)qui vautθ.

C’est le résulat géométrique (théorème de l’angle au centre) qui affirme que pour un cercle l’angle au centre est le double de l’angle inscrit.

Exercice 88. Montrer que si|z| ≤k<1 alors 1−k≤ |1+z| ≤1+k. Faire un dessin et montrer qu’il peut y avoir égalité.

Exercice 89. Montrer algébriquement et géométriquement que si|z|=1 alors|1+z| ≥1 ou1+z2≥1.

Exercice 90. Résoudre l’équation exp(z) =√ 3+3i.

Exercice 91. 1. Soientu,v∈C. Montrer que|u+v|+|u−v| ≥ |u|+|v|, et déterminer les cas d’égalité.

2. Soientz1,z2,z3,z4∈C. Montrer que∑4k=1|zk| ≤∑3k=14ℓ=k+1|zk+z|. 1. |u+v|+|u−v| ≥2|u|et|u+v|+|u−v| ≥2|v|. Il y a égalité ssiu=±v.

2. |z1|+|z2|+|z3|+|z4| ≤ |z1+z2|+|z1−z2|+|z3+z4|+|z3−z4|,

|z1−z2|+|z3−z4| ≤ |z1−z2+z3−z4|+|z1−z2−z3+z4| ≤ |z1+z3|+|z2+z4|+|z1+z4|+|z2+z3|.

(30)

2014-2015 Exercice 92. Soienta,b∈Udistincts etz∈C. On noteu=z+abz−a−b

a−b . Montrer queu2∈R. u=−u.

Exercice 93. Calculer de deux façons les racines carrées de 1+iet en déduire les valeurs exactes de cosπ 8 et sinπ

8 .

D’abord on a 1+i=√

2eiπ/4. Les racines carrées de 1+idansCsont donc√4

2eiπ/8 et−√4

2eiπ/8. On a aussi, pour(x,y)∈R2,

(x+iy)2=1+i⇔



x2−y2=1 x2+y2=√

2 xy>0 ⇔









x2= 1 2(√

2+1) y2= 1

2(√ 2−1) xy>0

⇔(x,y)∈



±

 s√

2+1

2 ,

s√ 2−1

2



.

Les racines carrées de 1+isont donc aussi±

r√ 2+1

2 +i r√

2−1 2

!

. Puisqueℜ(eiπ/8) =cosπ

8 >0, on obtient√4

2eiπ/8= r√

2+1 2 +i

r√ 2−1

2 , ou encore eiπ/8=

s√ 2+1 2√

2 +i s√

2−1 2√

2 = 1 2

q 2+√

2+i q

2−√ 2

et donc, par identification des parties réelles et imaginaires, cosπ

8 = 1 2

q 2+√

2 et sinπ 8 = 1

2 q

2−√ 2.

Exercice 94. Déterminer les complexesztels quez, 1

z etz−1 aient même module.

Soientzun complexe non nul,Mle point d’affixezetAle point d’affixe 1.

|z|= 1

z

⇔ |z|= 1

|z| ⇔ |z|2=1⇔ |z|=1, et

|z|=|z−1| ⇔OM=AM⇔M∈med[OA]⇔xM= 1

2 ⇔ℜ(z) =1 2. Donc,

|z|= 1

z

=|z−1| ⇔ |z|=1 etℜ(z) =1

2 ⇔z= 1 2±i

√3

2 ⇔z=−jouz=−j2.

Exercice 95. On noteU l’ensemble des nombres complexes de module 1. Montrer que :

∀z∈C, (z∈U\ {−1} ⇔ ∃x∈R/z= 1+ix 1−ix).

(31)

2014-2015 Soient x∈R et z= 1+ix

1−ix. Puisque 1−ix6=0, z est bien défini et |z|= |1+ix|

|1−ix| = |1+ix|

|1+ix| =1. Enfin, z= −1+ix+2

1−ix =−1+ 2

1−ix6=−1. On a montré que :

∀x∈R, 1+ix

1−ix ∈U\ {−1}.

Réciproquement, soitz∈U\ {−1}. Il existe un réelθ∈/π+2πZtel quez=e. Mais alors,

z=e= eiθ/2 eiθ/2 =

cosθ

2+isinθ 2 cosθ

2−isinθ 2

= cosθ

2(1+itanθ 2) cosθ

2(1−itanθ 2)

=

1+itanθ 2 1−itanθ 2

(cosθ

2 6=0 carθ 2 ∈/ π

2+πZ),

etzest bien sous la forme voulue avecx=tanθ 2.

Exercice 96. Forme trigonométrique de 1+cosθ−isinθ

1−cosθ+isinθ et de 1+e 1−e. 1. Soitθ∈R.

1+cosθ+isinθ=0⇔cosθ=−1 et sinθ=0⇔θ∈π+2πZ. Donc, 1+cosθ−isinθ

1−cosθ+isinθ existe pourθ∈/π+2πZ. Pour un telθ,

1+cosθ−isinθ 1−cosθ+isinθ=

2 cos2θ

2−2isinθ 2cosθ

2 2 sin2θ

2+2isinθ 2cosθ

2

= cosθ

2 sinθ 2

cos(θ/2)−isin(θ/2) sin(θ/2) +icos(θ/2)=

cosθ 2 sinθ 2

eiθ/2

ei(πθ)/2=−icotan θ

2

.

- 1er cas.] cotanθ

2 >0⇔ θ 2 ∈ [

kZ

]kπ,π

2+kπ[⇔θ∈ [

kZ

]2kπ,π+2kπ[. Dans ce cas, la forme trigono- métrique de 1+cosθ−isinθ

1−cosθ+isinθ est cotan(θ

2)eiπ/2(module=cotan(θ

2)et argument=−π 2 (2π)).

1+cosθ−isinθ 1−cosθ+isinθ =

cotan

θ 2

,−π

2

. - 2ème cas.cotanθ

2 <0⇔θ∈ [

kZ

]π+2kπ,2(k+1)π[. Dans ce cas, 1+cosθ−isinθ

1−cosθ+isinθ =−cotan(θ

2).eiπ/2=|cotan(θ

2)|eiπ/2, et donc,

1+cosθ−isinθ 1−cosθ+isinθ =

−cotan θ

2

,π 2

. - 3ème cas.cotanθ

2 =0⇔θ∈π+2πZ. Dans ce cas, on a 1+cosθ−isinθ 1−cosθ+isinθ =0.

(32)

2014-2015 2. Pourθ∈/2πZ, on a

1+e

1−e =eiθ/2(eiθ/2+eiθ/2) eiθ/2(eiθ/2−eiθ/2) =

2 cosθ 2

−2isinθ 2

=icotanθ 2.

Siθ∈ [

kZ

]2kπ,π+2kπ[,1+e

1−e = [cotanθ 2,π

2]. Siθ∈ [

kZ

]π+2kπ,2(k+1)π[,1+e

1−e= [−cotanθ 2,−π

2].

Siθ∈π+2πZ, 1+e 1−e =0.

Exercice 97. Calculer(1+i√ 3)9. (1+i√

3)9= (2eiπ/3)9=29e3iπ =−512.

La forme algébrique d’un complexe est particulièrement bien adaptée à l’addition.

La forme trigonométrique d’un complexe est particulièrement bien adaptée à la multiplication.

7.3 Équations du second degré

Exercice 98. Calculer les racines carrées de 1, i, 3+4i, 8−6i, 7+24i, 3−4i,et 24−10i.

Indication. Pourz=a+ibon chercheω=α+iβtel que(α+iβ)2=a+ib. Développez et identifiez. Utilisez aussi que|ω|2=|z|.

Racines carrées.Soitz=a+ibun nombre complexe aveca,b∈R; nous cherchons les complexesω∈C tels queω2=z. Écrivonsω=α+iβ. Nous raisonnons par équivalence :

ω2=z⇔(α+iβ)2=a+ib

⇔α2−β2+2iαβ=a+ib

Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :

2−β2=a

2αβ=b

Sans changer l’équivalence nous rajoutons la condition|ω|2=|z|.





α22=√

a2+b2 α2−β2=a

2αβ=b

(33)

2014-2015 Par somme et différence des deux premières lignes :





α2= a+a22+b2 β2= a+2a2+b2 2αβ=b







 α=±

qa+ a2+b2 2

β=±

qa+ a2+b2 2

αβest du même signe queb

Cela donne deux couples(α,β)de solutions et donc deux racines carrées (opposées)ω=α+iβdez.

En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pourz=8−6i, ω2=z⇔(α+iβ)2=8−6i

⇔α2−β2+2iαβ=8−6i

2−β2=8 2αβ=−6





α22=p

82+ (−6)2=10 le module dez α2−β2=8

2αβ=−6





2=18 β2=1 2αβ=−6





α=±√

9=±3 β=±1

αetβde signes opposés





α=3 etβ=−1 ou

α=−3 etβ= +1

Les racines dez=8−6isont doncω1=3−ietω2=−ω1=−3+i.

Pour les autres :

— Les racines carrées de 1 sont :+1 et−1.

— Les racines carrées deisont : 22(1+i)et−22(1+i).

— Les racines carrées de 3+4isont : 2+iet−2−i.

— Les racines carrées de 7+24isont : 4+3iet−4−3i.

— Les racines carrées de 3−4isont 2−iet−2+i.

— Les racines carrées de 24−10isont 5−iet−5+i.

(34)

2014-2015 Exercice 99.

1. Calculer les racines carrées de 1+i

2. En déduire les valeurs de cos(π/8)et sin(π/8).

2. Calculer les valeurs de cos(π/12)et sin(π/12).

Indication. Il s’agit de calculer les racines carrées de 1+i

2 =eiπ4 de deux façons différentes.

Par la méthode usuelle nous calculons les racines carréesω,−ωdez= 1+i2, nous obtenons

ω= s√

2+1 2√

2 +i s√

2−1 2√

2 , qui peut aussi s’écrire :

ω= 1 2

q 2+√

2+i1 2

q 2−√

2.

Mais nous remarquons quezs’écrit également z=eiπ4

eteiπ8 vérifie

eiπ82

=e2iπ8 =eiπ4.

Cela signifie queeiπ8 est une racine carrée dez, donceiπ8 =cosπ8+isinπ8est égal àωou−ω. Comme cosπ8 >0 alorseiπ8 =ωet donc par identification des parties réelles et imaginaires :

cosπ 8 = 1

2 q

2+√

2 et sinπ 8 = 1

2 q

2−√ 2.

Exercice 100. Montrer que les solutions deaz2+bz+c=0 aveca,b,créels, sont réelles ou conjuguées.

SoitP(z) =az2+bz+c, et∆=b2−4ac, si∆≥0 alors les racines sont réelles, seul le cas où∆<0 nous intéresse. Première méthode : il suffit de regarder les deux solutions et de vérifier qu’elles sont conjuguées...

Seconde méthode : sizest une racine deP i.e. P(z) =0, alors

P(z) =az2+bz+c=az2+bz+c=P(z) =0.

Donc z est aussi une racine de P. Or z n’est pas un nombre réel (car ∆<0 ) donc z6=z. Sachant que le polynômePde degré 2 a exactement 2 racines, ce sontzetzet elles sont conjuguées.

Exercice 101. Trouver les racines complexes de l’équation suivante : x4−30x2+289=0.

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