Calcul intégral

4. Faire le tableau de variations de la fonction f.

Exercice 187. Soitn∈N^∗,x∈]0 ;+∞[et l’équation(E): lnx=xⁿ.

1. Dans cette question, n=1. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par f(x) =x−lnx. En déduire que dans le casn=1, l’équation(E)n’a aucune solution dans]0 ;+∞[.

2. Dans cette question,nest quelconque. En choisissant la bonne fonction, démontrer, comme ci-dessus, que l’équation(E)n’a aucune solution dans]0 ;+∞[, quelque soitn∈N^∗.

2014-2015 Exercice 188. Étudier les variations de la fonction f définie surR∗

+ par f(x) =tlnt.

En déduire que pour tousxetyde₁

e;+∞

,xlnx<ylny⇒x<y.

Exercice 189. On considère la fonction f définie sur]0 ;+∞[par f(x) = ^2+lnx_x . On noteC_f sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1. Étudier les limites de f en 0⁺et en+∞.

2. Calculer la dérivée f^′de f puis résoudre l’inéquation f^′(x)≥0.

3. En déduire le tableau de variation de la fonction f. On précisera la valeur exacte des éventuels extre-mums.

4. Tracer la courbeC_f. On pourra se placer sur l’intervalle]0 ; 2].

5. Préciser, à l’aide d’un calcul, les coordonnées exactes du point d’intersection de C_f avec l’axe des abscisses.

Exercice 190.

1. Étudier le sens de variation de la fonctionhdéfinie sur l’intervalle]0 ;+∞[parh(x) =x−lnx.

2. En déduire quehest strictement positive sur]0 ;+∞[.

3. On définit sur l’intervalle]0 ;+∞[la fonction f par f(x) = _x−^x_lnx.

a) Étudier les limites de f en 0⁺ et en+∞. En déduire les équations des éventuelles asymptotes.

b) Étudier le sens de variation de la fonction f.

c) Tracer la représentation graphiqueCf de f dans un repère orthonormé (sur[0 ; 5]).

Exercice 191.

Partie A

On considère la fonctiongdéfinie pourx∈]0 ;+∞[parg(x) =xlnx−x+1.

1. Calculerg(1)etg(e).

2. Étudier la limite deglorsquextend vers 0.

3. étudier la limite deglorsquextend vers+∞.

4. Calculer la dérivéeg^′deg. En déduire le tableau de variations deg.

5. Justifier quegest positive sur]0 ;+∞[.

6. Tracer soigneusement la courbeC_gde la fonctiong.

Partie B

On considère la fonction f définie pourx∈]0 ;+∞[par f(x) =1+lnx.

En vous aidant des résultats de la partieA, déterminer la primitiveF de la fonction f vérifiantF(e) =e.

Exercice 192. Soit f la fonction définie sur]0 ;+∞[par f(x) =ln(2^x)−ln(x²).

1. Démontrer que f peut se ré-écrire sous la forme f(x) =xln 2−2 lnx.

2. Calculer f(2)et f(4).

3. Calculer la dérivée f^′de f. En déduire le tableau de variations de f. 4. À l’aide des questions2et3, préciser le signe de f.

5. Déterminer l’ensemble des entiersnpour lesquels on a 2ⁿ≥n².

2014-2015 Exercice 193. Soitnun entier naturel non nul. On appelle f_nla fonction définie sur[0 ;+∞[par

f_n(x) =ln(1+xⁿ) On poseI_n=

Z ₁

0 ln(1+xⁿ)dx. On noteC_nla courbe représentative de f_ndans un repère orthonormal.

1. a) Déterminer la limite de f₁en+∞.

b) Étudier les variations de f₁sr[0 ;+∞[.

c) À l’aide d’une intégration par parties, calculerI₁et interpréter graphiquement le résultat.

Indication. On pourra utiliser le fait que pour toutx∈[0 ; 1], x

x+1 =1− 1 x+1. 2. a) Montrer que pour tout entier naturel non nuln, on a 0≤In≤ln2.

b) Étudier les variations de la suite(In).

c) En déduire que la suite(In)est convergente.

3. Soitgla fonction définie sur[0 ;+∞[parg(x) =ln(1+x)−x.

a) Étudier le sens de variation degsur[0 ;+∞[.

b) En déduire le signe degsur[0 ;+∞[. Montrer alors que pour tout entier naturelnnon nul, et pour tout réel positifx, on a :

ln(1+xⁿ)≤xⁿ c) En déduire la limite de la suite(In).

13 Exponentielle

13.1 Manipulations

Exercice 194. Simplifier au maximum l’expression suivante :A(x) = (e^x+e^−x)²−(e^x−e^−x)².

Exercice 195. Résoudre les inéquations suivantes : 1. e^1x−4≤3

2. (e^x−2)(e^x−3)≥0

3. (e^x+2)(e^x+3)<0

Exercice 196.

1. Démontrer que lim

x→+∞xln 1+¹_x

=1.

2. En déduire la limite lim

x→+∞ 1+¹_xx

.

Exercice 197. Résoudre dansRl’équation 5e^4x−13e^2x−6=0 Indication. On pourra poserX =e^2x.

13.2 Calcul intégral

2014-2015 Exercice 198. Déterminer les primitives suivantes

1. ^Z e^x+4 3 dx 2. ^Z e^3x+1dx 3. ^Z 2xe^x2dx 4. ^Z 1

x²e^1xdx

5. ^Z (3x⁴−2x³−7x²+x+1)e^3x−5dx 6. ^Z sin(ln(x))dx

7. ^Z e^x e^x+1dx 8. ^Z 1

e^2xdx 1. ^ex+4x₃ +k

2. ^e3x+1₃ +k 3. e^x2+k 4. −e^1x+k

5. Par identification en cherchant une solution de la forme(ax⁴+bx³+cx²+dx+e)e^3x−5 et en dérivant cette fonction.(x⁴−2x³−¹₃x²+⁵₉x+₂₇⁴)e^3x−5+k.

6. Poseru=ln(x)puis faire 2 IPP. Ou alors passer par les complexes (sin(ln(x)) =Im(xⁱ). . .).

x2(sin(ln(x))−cos(ln(x))) +k.

7. ln(e^x+1) +k 8. −_2e¹2x+k

13.3 Problèmes

Exercice 199. On considère deux fonctions, notées ch et sh, définies surRpar chx= e^x+e^−x

2 et shx= e^x−e^−x 2 1. Démontrer que ch^′x=shxet que sh^′x=chx.

2. Résoudre surRles inéquations shx≥0 et chx≥0.

3. En déduire les tableaux de variations des fonctions ch et sh. On justifiera soigneusement le calcul des limites en−∞et en+∞.

Exercice 200. On considère le polynômePdéfini parP(X) =X³+2X²−5X−6.

1. Factoriser le polynômeP.

2. Résoudre l’équation e^3x+2e^2x−5e^x=6.

3. Résoudre l’équation(lnx)³+2(lnx)²−5 lnx=6.

Exercice 201. Soit f la fonction définie sur]0 ;+∞[par f(x) = ^e_e^xx⁺¹−1. 1. Calculer la dérivée f^′. Quel est son signe ?

2. En déduire si la fonction f est croissante ou décroissante sur]0 ;+∞[.

2014-2015 Exercice 202. On considère la fonction f définie sur R∗ par f(x) = ^x−_x⁴e^x. On note C_f sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1. Étudier les limites de f en−∞, 0⁻, 0⁺ et+∞.

2. Calculer la dérivée f^′de f et préciser son signe.

3. En déduire le tableau de variation de la fonction f. On précisera la valeur exacte des éventuels extre-mums.

4. Déterminer une équation de la tangenteT à la courbe au point d’abscissex₀=2.

5. Tracer la courbeC_f. On pourra se placer sur l’union[−2 ; 0[∪]0 ; 5].

Exercice 203. On considère la fonction f définie surR^∗par f(x) =2x−1+_ex¹−1. On noteCf sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

1. Expliquer pourquoi la fonction est définie surR^∗.

2. Déterminer les limites de f(x)lorsquextend−∞, 0⁻, 0⁺et+∞.

3. En déduire les éventuelles asymptotes deC_f et préciser leurs équations.

4. Déterminer les limites suivantes : lim

x→−∞[f(x)−(2x−2)]et lim

x→+∞[f(x)−(2x−1)].

5. En déduire quec_f admet une asymptote oblique∆⁺en+∞et une asymptote oblique∆⁻ en−∞dont on précisera les équations.

6. Montrer que la fonction dérivée f^′de f est définie pour toutx∈R^∗par f^′(x) =2e^2x−5e^x+2 (e^x−1)² . 7. Résoudre l’inéquation 2e^2x−5e^x+2>0.

8. Dresser le tableau de variations de la fonction f surR^∗. 9. Tracer les droites∆⁺,∆⁻ puis la courbeC_f.

Exercice 204.

Partie A

Soitula fonction définie surRparu(x) = ¹⁻₂^x2. 1. Étudier les limites deuen+∞et−∞.

2. Calculeru^′(x).

Partie B

On considère la fonction f définie surRpar f(x) =e^1−2x2.

1. Étudier les limites de f en−∞et en+∞. Préciser les éventuelle asymptotes horizontales.

2. Calculer f^′(x). En déduire le tableau de variations de f.

3. SoitAle points deCf d’abscissex₀=1. Calculer l’ordonnée deA.

4. Déterminer une équation de la tangente∆àC_f enA.

5. Tracer∆etCf dans un repère orthonormal.

Exercice 205. On considère la suite(un)définie pour tout entier naturelnpar : u_n=

Z 1 0

e^−nx 1+e^−xdx

2014-2015 1. a) Montrer queu₀+u₁=1.

b) Calculeru₁. En déduireu₀.

2. Monter que pour tout entier natureln,u_n≥0.

3. a) Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,u_n+1+u_n= 1−e⁻ⁿ n . b) En déduire que pour tout entier naturelnnon nul,n≤ 1−e⁻ⁿ

n . 4. Déterminer la limite de la suite(un).