Variation de λ || avec le diamètre

Dans cette section, nous étudions comment la valeur de λ|| varie avec le diamètre adi-

mensionné β qui quantifie le confinement, lorsque le cylindre est situé à mi-distance des plaques.

1.4.4.1 Traitement des données expérimentales

Expérimentalement, nous déterminons λ|| à partir de la mesure de la force sur le cylindre,

et nous faisons varier le confinement en changeant le diamètre de celui-ci ou l’ouverture de la cellule.

Cependant, dans notre dispositif, la distance entre les plaques (et donc le confinement) n’est pas constant à l’entrée (en haut) de la cellule. En conséquence, la force par unité de longueur augmente continûment le long du cylindre et n’est constante que dans la zone d’ouverture h0 constante. Pour déterminer la valeur de λ||, nous avons répété deux fois la

même expérience avec deux cylindres de longueurs L1 et L2 (assez longs pour atteindre

la partie où l’ouverture est constante). À partir de l’équation 1.5, nous en déduisons que ∆F = λ||Um(L1− L2), ce qui permet de mesurer λ||.

La figure 1.9(a) présente les valeurs obtenues en soustrayant les forces mesurées pour deux cylindres de longeurs différentes (symboles (,
, )). Les résultats numériques pour une cellule de rapport de forme W/h0 = 18 (i.e. d’ouverture h0 = 4, 9 mm) qui correspond à

ces expériences sont aussi représentés sur la même figure, et sont en accord avec les résultats expérimentaux.

Dans nos expériences, la partie l de la longueur du cylindre située dans la partie en Y est généralement plus petite que la longueur L à l’intérieur de la zone d’ouverture constante, de sorte que son influence sur la valeur de la force totale est relativement faible. En pra- tique, et de manière à déterminer λ|| à partir d’une seule mesure de force, nous avons

estimé de manière approchée la force à l’intérieur du Y en supposant que, même si h dé- pend de z, la valeur de λ|| est la même dans toutes les sections. La diminution de la force

dans le Y a été ainsi partiellement prise en compte en écrivant la diminution de la vitesse moyenne U(z) = h0Um/h(z) (à cause de la conservation du débit). L’équation (1.5) devient

alors : F = λ||ηUm(L +

R0

−l(h/h(z))dz) avec h(z) = h0 + (h0 − hi)z/l (hi est l’ouverture

deans le haut de la partie en Y). λ|| est alors reliée à la force F par : λ|| = F/(η UmL∗) où L∗ = L+l h0 ln(_hhi

0)/(hi−h0)est une longueur équivalente. Tous les points de la figure 1.9(a),

sauf ceux correpondant aux symboles (,
, ), ont été obtenus par la méthode de la lon- gueur équivalente que nous venons de décrire. Cette approximation est validée par la faible

1.4 Résultats expérimentaux et numériques pour λ|| 27 16 14 12 10 8 6 4 2 0

λ

_β

(b)

λ

_β

(a)

Figure 1.9 – Variation de λ|| avec β = d/h0 pour des cylindres situés à mi-distance des

deux plaques. Les symboles correspondent aux points expérimentaux, et sont définis dans la table 1.1. Lignes continues : résultats numériques 2D. (a) : cellule de rapport de forme W/h0 ≈ 18 (h0 = 4, 9 mm). Tirets : résultats numériques dans la limite W/h0 → ∞. (b) :

cellule de très grand rapport de forme W/h0 = 120 (h0 = 0, 75 mm) ; Pointillés : terme de

différence entre les valeurs obtenues pour les mêmes paramètres expérimentaux par cette méthode (⊗) et par soustraction de la force pour deux cylindres de longueurs différents (). 1.4.4.2 Influence de la nature du cylindre

Les valeurs expérimentales et numériques obtenues pour λ|| sont en bon accord (voir Fig.

1.9 (a)). Les données expérimentales ont été obtenues pour des cylindres de natures diffé- rentes (voir Tab. 1.1 ) : tiges rigides (PMMA, fer), tubes (verre), fils de couture multibrins de diamètre irrégulier (soie, polyester). Ceci montre que la valeur de λ|| dépend essentiellement

du diamètre moyen et pas des irrégularités de la surface du cylindre, comme cela est attendu en régime de Stokes (voir comme autre exemple la partie correspondant aux faibles nombre de Reynolds dans le diagramme de Moody cité dans [35]). En ce qui concerne les tubes (verre), la force due à l’écoulement à l’intérieur du tube compense exactement le défaut de la force de pression (cela résulte du bilan de quantité de mouvement sur le fluide à l’intérieur du tube).

1.4.4.3 Influence des parois latérales

Dans la figure 1.9(a), les points expérimentaux sont (comme cela est attendu) plus proche des résultats numériques (ligne continue) obtenus en prenant en compte le rapport de forme fini de la cellule W/h0 = 18 que lorsque la largeur W de la cellule est supposée

infinie (tirets). La différence entre ces deux courbes est néanmoins faible, de l’ordre de 10%, ce qui montre que l’effet des parois latérales est faible. L’effet de ces parois solides est d’augmenter la vitesse près du cylindre (voir section 1.4.3) ; et donc la force et de λ|| (ce qui

va bien dans le sens des deux courbes de Fig. 1.9 (a)).

Cette correction devient complètement négligeable dans le cas de la cellule plus étroite (h0 = 0, 75 mm mm et W/h0 = 120) et les résultats sont les mêmes que pour W/h0 →

+∞. Pour cette cellule, il est plus difficile de contrôler expérimentalement la position du cylindre. Les deux valeurs expérimentales obtenues (en utilisant la méthode de la longueur équivalente) sont toutefois en bon accord avec les calculs numériques (voir Fig. 1.9 (b)). De plus, l’utilisation des deux cellules permet de confirmer que le diamètre du cylindre n’intervient que par le rapport adimensionné β = D/h0.

D’autre part, notons que la valeur de λ|| ne dépend pas de la position exacte du cylindre

dans la direction x (tant que celui-ci se trouve à plus de 2h0 de la paroi latérale), parce

que la perturbation du champ de vitesse due au cylindre s’amortit sur une longueur h0. La

variation avec x est si faible que nous n’avons pas pu la mesurer. 1.4.4.4 Variation de λ|| avec β

Dans cette section nous nous focalisons sur le cas d’une cellule sans paroi latérales. La valeur de λ|| augmente avec β, c’est-à-dire que la force augmente avec le diamètre.

Ceci est en accord (heureusement !) avec le théorème d’inclusion monotone valable en régime de Stokes (Hill et Power cités dans [71]). Ce théorème, qui repose sur l’ellipticité et la linéarité de l’équation de Stokes, assure que si un objet A est inclus dans un objet B, la force hydrodynamique qui s’exerce sur A est inférieure à celle qui s’exerce sur B, si les conditions aux limites sont les mêmes (ce qui est bien le cas pour une cellule infinie).

Toujours dans le cas d’une cellule de rapport de forme infini, nous calculons séparément le terme de pression (pointillées dans Fig. 1.9 (b)) et le terme de friction visqueuse (tirets dans Fig. 1.9 (b)). La force de friction visqueuse sature pour β > 0, 2, puis diminue pour

1.4 Résultats expérimentaux et numériques pour λ|| 29

β >0, 8 ; la force de pression augmente rapidement avec β (comme l’aire du cylindre, c’est- à-dire en β2_{, voir section 1.3.1). Pour β > 0, 2, la somme des deux contributions (i.e. λ}

||)

augmente de manière approximativement linéaire avec β (λ|| ≈2, 1 + 13, 8 β). La valeur de

λ|| ne diverge pas pour β = 1, parce que le cylindre perturbe faiblement l’écoulement : le

fluide peut facilement passer à côté du cylindre (voir section 1.4.3).

1.4.5

Variation de λ

avec la position G

du cylindre dans l’ouver-