Barre fléchissant sous son propre poids

3.6.1.1 Dispositif expérimental

Dans cette section, nous validons la VIC à un problème mécanique pour lequel la solution est connue. Nous avons choisi le cas, simple mais non trivial, d’une barre initialement droite fléchissant sous son propre poids. Nous avons choisi une barre cylindrique en aluminium (de type 2017-T4), parce que le module d’Young E de l’aluminium est connu (72 GPa, voir [128]) et dépend peu de l’échantillon. De plus, cet aluminium est un matériau dont la limite d’élasticité est bien nette, éliminant tout problème de plasticité ou de viscosité. Le module d’Young a été vérifié par un test de flexion 3 points en utilisant une machine d’essai Instron, qui donne E = 72, 6 GPa. La longueur de la poutre choisie vaut 2459 mm et son diamètre 4, 95 ± 0, 02 mm. Une extrémité de la barre est tenue dans le mandrin d’une fraiseuse qui assure une condition d’encastrement. L’autre extrémité est libre. La résolution numérique des équations de la statique d’une poutre (voir annexe A) donne, sans paramètre ajustable, la position, la longueur et la courbure de la poutre.

La figure 3.23(a) montre l’image de la barre, prise avec un appareil photo Nikon D300, lorsque la barre est au repos (ce qui peut prendre plusieurs minutes). Un rideau noir a été placé derrière la barre, afin d’avoir un fond uniforme noir. La partie de l’image qui est présentée est constituée de 4288 × 2848 pixels.

Cette image a été traité en imposant l’abscisse x0,1, afin la corrélation ne prenne pas

en compte le mandrin (voir Fig. 3.23 (b)). Le diamètre du fil virtuel vaut 2Rg = 20 pixels

(celui du la barre environ WF ∼10 pixels). L’extraction discrète nécessite M = 274 poutres

(a)

(b) (c) (d)

Figure 3.23 – (a) Barre d’aluminium fléchissant sous son propre poids. Zooms : (b) près du mandrin, (c) au milieu de la barre et (d) à l’extrémité libre. Ligne continue verte : ligne moyenne obtenue par la méthodeVIC.

3.6 Validation de la méthode pour des images expérimentales 105

physique. Le temps de calcul est inférieur à la minute en utilisant un ordinateur MacBook Pro (deux processeurs de 2, 8 GHz).

3.6.1.2 Comparaison du résultat la VIC et de l’image physique

Nous vérifions tout d’abord que la forme de la barre issue de la VIC coïncide avec celle de l’image physique. Les zooms (Fig. 3.23 (b),(c) et (d)) montrent que la ligne moyenne issue de la VIC (en vert) coïncide effectivement avec l’axe de la barre, et ceci sur toute sa longueur. Comme la corrélation ne se fait que sur le domaine de définition de l’image virtuelle, le traitement d’image n’est pas sensible aux objets situés loin de la barre, comme par exemple les pierres visibles dans la figure 3.23a.

s r R L (a) s r R L (b) s r R L (c)

Figure 3.24 – Image physique dans le repère déplié [−R, R] × [0, L] de l’image virtuelle pour (a) : N = 3 , (b) : N = 7 et (c) : N = 11.

Les résidus peuvent être tracés dans le repère (déplié) de l’image virtuelle (voir Fig. 3.24 ). Dans le cas d’une corrélation parfaite, quelle que soit la tortuosité de la poutre, la figure est symétrique par rapport à la droite r = 0. À cause du zoom important selon r, nous voyons dans la figure 3.24 pour un ordre N = 3 une ondulation selon s, qui devient plus faible pour N = 7, et presque invisible pour N = 11. Les inhomogénéités d’éclairage sont visibles (la barre est plus éclairée en s ≈ L/2 que sur les bords) mais n’influencent pas le résultat final.

3.6.1.3 Comparaison des résultats de la VIC et de la théorie des poutres Pour valider la mesure de l’angle et de la courbure issus de la VIC, nous comparons ces grandeurs à celles calculées à partir de la théorie des poutres et des caractéristiques géométriques et élastiques de la barre. Ces caractéristiques de la barre ne sont pas connues exactement, notamment la rigidité en flexion. De plus, la forme à vide n’est pas exactement droite : les images de la barre avant et après rotation de 180◦ _{ne coïncident qu’à 10 mm près}

(pour une longueur de la barre de 2459 mm). La solution issue de la théorie des poutres est donc affectée d’une incertitude.

Une vérification préliminaire consiste à comparer les résultats de la VIC et de la théorie des poutres pour la position du fil. La figure 3.25 montre que la position obtenue par la VIC coïncide, pour les différents ordres testés, avec le résultat issu de la théorie des poutres,

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.45 −0.4 −0.35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 y/L x/L

Figure 3.25 – Position de la barre en aluminium en coordonnées adimensionnées. Ligne continue bleue : N = 3, tirets verts : N = 7, pointillés rouges : N = 11. Cercles noirs : solutions théorique. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1

θ

3.6 Validation de la méthode pour des images expérimentales 107 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

γ

Figure 3.27 – Courbure de la barre en aluminium. Mêmes symboles que Fig. 3.25 .

et ceci sans paramètre ajustable. L’écart est de l’ordre de 10 mm. Cet écart est similaire à l’écart entre l’image présentée et l’image la barre après rotation de 180◦ _{: ceci montre qu’il}

est essentiellement dû au fait que la forme naturelle de la barre n’est pas exactement une droite.

Les figures 3.26 montre que l’angle mesuré est en accord avec le résultat de la théorie des poutres (à 0, 01 rad = 0, 6◦ _{près), pour les différents ordres utilisés. En particulier, l’angle}

initial θ(s = 0) = 0 est correctement mesuré (cette valeur n’est pas imposées par la suite de polynômes de Legendre).

La courbure mesurée pour N = 3 est en accord avec le résultat de la théorie des poutres (voir Fig. 3.27 , à une précision de l’ordre de 3% (de la valeur maximale de γ). La valeur finale γ(s = L) = 0 est effectivement retrouvée.

Ces résultats valident la précision de la méthode VIC, sur une image expérimentale.

3.6.1.4 Choix de l’ordre N

La position et l’angle dépendent peu de l’ordre N choisi, pourvu qu’il soit suffisant pour que le fil virtuel coïncide avec le fil physique (voir Fig. 3.25 et Fig. 3.26 ). Par contre, la courbure mesurée dépend de l’ordre N au voisinage des extrémités (voir Fig. 3.27 ). Ce phénomène n’est pas observé lors de la mesure de la courbure d’une image synthétique (voir section 3.5.2). Étant donné que l’écart à la solution théorique n’est pas dans le même sens au début de la poutre (s = 0), cet écart ne peut pas être dû à une variation «physique» de la courbure à cet endroit. Il s’agit d’un artefact, peut-être lié au fait que l’algorithme cherche à décrire de possibles ondulations à haute fréquence de la forme à vide.

En pratique, le meilleur choix est souvent la plus petite valeur de N pour lequel le fil virtuel se superpose au fil physique.