Comme l’a montré la section précédente, les oscillations ne peuvent pas être expliquées de manière classique, par l’émission de tourbillons ou un effet de type pendule. Pour com- prendre les mécanismes de l’instabilité, il faut caractériser les forces hydrodynamiques qui s’exercent sur le cylindre. Pour connaître ces forces, nous avons choisi de simuler numérique- ment l’oscillation du cylindre. Dans cette section, nous présentons les hypothèses physiques des simulations numériques, nous validons les simulations numériques en comparant les ré- sultats numériques et expérimentaux, et nous donnons des exemples de résultats obtenus pour les champs de vitesse et de pression. L’utilisation des simulations numériques pour modéliser la dynamique du cylindre est l’objet de la section 2.4.
2.3.1
Hypothèses des simulations numériques
Nous avons choisi de restreindre les expériences au cas L ≈ W . Dans le chapitre 1, nous avons montré que la traînée dans cette configuration est bien modélisée par une approche
2.3 Présentation des simulations numériques 47
2D (numérique ou analytique). Comme l’oscillation du cylindre est parallèle aux plaques, nous continuons d’utiliser une modélisation 2D dans le cas où le cylindre oscille.
Le fluide est modélisé par l’équation de Navier-Stokes et l’équation d’incompressibilité. À l’interface avec les parois latérales et le cylindre, nous choisissons la condition aux limites classiques de non-glissement. En particulier, la condition de non-glissement à la surface du cylindre représente la condition cinématique de couplage qu’impose le cylindre sur le fluide. La longueur de la cellule en amont du cylindre vaut environ 20h0 : pour les nombres de
Reynolds considérés (Re < 60) le profil de Poiseuille est effectivement établi en amont du cylindre [62]. Dans les simulations numériques, nous imposons donc un profil de Poiseuille comme condition aux limites en entrée. En sortie, nous choisissons une condition de sortie libre dont l’influence sur l’écoulement situé en amont de la sortie est faible.
Le cylindre est modélisé comme un solide rigide. Expérimentalement, nous n’observons pas de rotation du cylindre, probablement à cause de la rigidité non nulle des fils de sus- pension. Numériquement, nous empêchons donc la rotation du cylindre.
À cause des fils de suspension, le cylindre ne peut se déplacer que sur un arc de cercle. Comme le rayon de ce cercle (Ls) est grand par rapport à l’écartement entre les plaques
(h0), cette condition revient presque à imposer que le déplacement du cylindre soit nul selon
x et libre selon y ; numériquement nous imposons cette dernière condition.
Le déplacement du cylindre est donné par la deuxième loi de Newton, qui relie l’accélé- ration du cylindre aux forces s’exerçant sur celui-ci, notamment la force hydrodynamique. Ceci constitue la condition dynamique de couplage qu’impose le fluide sur le cylindre.
Les équations traduisant cette modélisation ainsi que les détails de la méthode numérique sont présentés en annexe B. Les équations et les résultats numériques sont adimensionnés en utilisant la distance entre les plaques h0, la vitesse moyenne Um et la masse volumique
du fluide ρf : à partir de maintenant, le diamètre adimensionné β = D/h0 sera simplement
noté D, par exemple. Sauf mention contraire, la gravité n’est pas prise en compte.
2.3.2
Validation : comparaison avec les résultats expérimentaux
Dans cette partie, nous présentons et commentons des résultats numériques sur l’ampli- tude et la fréquence du cylindre, et nous les comparons aux résultats expérimentaux afin de valider la méthode numérique.
L’instabilité est observée dans les simulations numériques : si le nombre de Reynolds est suffisant, le cylindre oscille spontanément de manière quasiment sinusoïdale (voir Fig. 2.7 ). Pour les nombres de Reynolds faibles, le cylindre se déplace vers le centre puis y reste immobile. La position initiale du cylindre est sans influence sur l’amplitude et la fréquence en régime permanent : il n’y a pas d’hystérésis, ce qui est cohérent avec les expériences.
Plus quantitativement, les résultats numériques pour l’amplitude et la fréquence sont comparés aux résultats expérimentaux dans la figure 2.8 (il n’y a pas de paramètre ajustable). Les valeurs du seuil sont en accord à 20% près, les valeurs de la fréquence également. L’accord entre ces résultats est acceptable, ce qui valide les simulations numériques et permet de les utiliser pour étudier les mécanismes de l’instabilité . L’écart pour les débits importants s’explique par un artefact expérimental : à cause de l’élasticité des fils de suspensions, le cylindre oscille également dans ce cas selon x. L’écart aux autres débits est peut-être dû à des effets 3D, et notamment à la fine couche de fluide cisaillée entre l’extrémité du cylindre et la paroi latérale (selon z).
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 G y 15 14 13 12 11 10 t
Figure 2.7 – Position en fonction du temps pour un cylindre en oscillation libre (Re = 20, ρs = 0, 01, D = 0, 66). La ligne bleue correspond aux résultats numériques, les pointillés à
l’ajustement par une sinusoïde, et les droites rouges donnent l’amplitude maximale possible.
A
(a) (b)
Figure 2.8 – Comparaison entre les expériences et les simulations pour β = 0, 66 et ρs= 1, 19. Symboles : expériences, ligne continue grise : simulations. (a) : amplitude. Ligne
2.3 Présentation des simulations numériques 49
2.3.3
Champs de vitesse et de pression
Les simulations permettent d’obtenir les champs de vitesse et de pression. Des exemples de ces champs, pour un cylindre qui oscille (voir Fig. 2.7 ), sont présentés en figure 2.9. Ces champs correspondent à des simulations numériques pour un cylindre de masse presque nulle, ce qui signifie que l’inertie du solide n’est pas un ingrédient nécessaire de l’instabilité. Les forces hydrodynamiques sur le cylindre sont obtenues lors des simulations numé- riques, à partir des champs de vitesse et de pression. Tout comme la position, les forces oscillent au cours du temps (voir Fig. 2.10 ). Pour des raisons de symétrie, la force hydrody- namique de traînée (selon x) oscille à une fréquence double de celle la position Gy. Pour des
nombre de Reynolds modérés (20), cette force diffère peu de la force en régime de Stokes (écart3 de 20% à Re = 20). Comme dans ce régime, la force est surtout due à la composante
de pression (à 80% dans l’exemple de la figure 2.9a). La force de portance (selon y) oscille à la même fréquence que la position du cylindre, et sa valeur moyenne est nulle. Elle est nettement plus faible que la force selon x (voir Fig. 2.10b ), ce qui est cohérent avec le fait que la force selon y est nulle à Re = 0 mais pas la force selon x. Comme le montre la figure 2.10, pour des cylindres de densités proches ou supérieures à celle du fluide, la force Fy est essentiellement due à la pression.
0 2 1 3 4 (a) 0 -1 1 (b) 0 30 10 20 (c)
Figure 2.9 – Champs de vitesse et de pression pour un cylindre en oscillation libre (Re = 20, ρs = 0, 01, D = 0, 66). Le cylindre est légèrement décalé vers le haut, et se déplace vers
le bas. (a) : la couleur donne la valeur de la vitesse selon x, les lignes noires correspondent aux lignes d’écoulement. (b) : vitesse selon y. (c) : pression.
30 20 10 0 Forces selon x 15 14 13 12 11 10 t (a) -1 0 1 Forces selon y 15 14 13 12 11 10 t (b)
Figure 2.10 – Force totale (trait plein) et composante de pression (ligne pointillée) pour un cylindre D = 0, 66, Re = 20, ρs = 1, 19 (a) : forces selon x. (b) : forces selon y.