VARIABLES D’ENTRÉE INDÉPENDANTES DU MODÈLE ET PLAGES DE VARIATION

L’étude du modèle microscopique de RAG du LMDC, présentée dans le chapitre précédent, nous a permis de recenser 20 variables d’entrée indépendantes, sachant que nous avons considéré que la plus petite classe granulaire (sable) a des propriétés physico chimiques différentes des classes moyennes et grandes (graviers et cailloux), contrairement à l’hypothèse de similitude faite habituellement [Poyet et al. 2007 , Ichikawa 2009 , Multon et al. 2009 , Gao 2010 , Charpin & Ehrlacher 2012 , Gao, Multon, et al. 2013 , Multon & Sellier 2016]. Cette hypothèse est basée sur les données de construction du barrage de Song Loulou et des observations pétrographiques effectuées en 2011, consignées dans des documents internes de l’entreprise eneo-The energy of Cameroon. Le Tableau II.2 contient des indications sur les vingt variables d’entrée du modèle. Les 7 premières variables (𝑋₁ à 𝑋7) sont des paramètres physiques déduits de la formulation du béton. Les plages retenues pour ces derniers sont en concordance avec les informations recoupées de la documentation de Song Loulou. La plage de variation de la porosité du mortier découle des mesures effectuées sur des éprouvettes extraites du barrage (Figure II.6) par l’IFSTTAR pour l’entreprise eneo, à travers le cabinet d’expertise ISL. Nous avons ensuite procédé à une recherche bibliographique pour définir les plages de variations sur chacune des 12 autres variables [Poyet et al. 2007, Multon et al. 2009 , Gao 2010 , Sanchez, Multon, et al. 2014 ]. En plus de ces quatre références utilisées pour toutes les variables, nous avons utilisé des références spécifiques pour certaines variables : les plages pour la concentration initiale en alcalin "CNA0" et le volume molaire de gel "VMGEL" proviennent de [Taylor 1997], et pour les deux coefficient de diffusion des granulats "DIFFG", les plages retenues sont de [Goto & Roy 1981]. Le Tableau II.2 contient les plages initiales obtenues. Avant d’utiliser ces plages de variations dans une analyse de sensibilité, il est important de vérifier qu’elles produisent des résultats en conformité avec les valeurs expérimentales présentées dans le paragraphe ci-après.

II.4.1 Synthèse des résultats des essais accélérés sur Song Loulou

Suite à une étude commandée auprès du cabinet d’experts ISL, des échantillons ont été prélevés du barrage de prise et de l’évacuateur de crue de Song Loulou pour subir différents tests au rang desquels l’essai de gonflement accéléré LPC N°44 réalisé par l’IFSTTAR en 2011.

II.4 Variables d’entrée indépendantes du modèle et plages de variation

Figure II.6 : Eprouvettes extraites du barrage de SL pour essais LPC N°44, Guedon - IFSTTAR 2010

Les ouvrages de l’aménagement hydroélectrique de Song Loulou sont présentés dans le paragraphe V.4.1 et en Annexe E. Les codes attribués aux points d’extraction sont indiqués ci- après : C45-1 (à la base du contrefort 45), C45-2 (sur la galerie aval du plot 4), C45-3(sur la galerie haute du plot 4), C45-4 (sur la galerie amont du plot 4), P12-1 (sur le sommet de la pile 12), P12-2 (sur le bajoyer rive droite de la passe1, depuis la passerelle du bras de la vanne), P12-3 (sur le côté aval de la galerie axe de la pile 12), C01-2 (sur la galerie aval du plot 1), P34-1 (sur le sommet de la pile 34 vers l’amont), P34-4 (sur le sommet du parement aval de la pile 34).

Figure II.7 : Résultats essais accélérés sur 10 échantillons prélevés dans le barrage

La Figure II.7, adaptée de [Guillemot et al. 2013], récapitule les résultats obtenus. Nous avons retenu comme valeurs expérimentales, les courbes des échantillons C45-1, P12-1 et P12-2 qui ont été extraites dans les zones qui nous intéressent et englobent à peu près l’ensemble des autres courbes.

Nous avons considéré que les résultats expérimentaux obtenus pour les essais accélérés sur l’éprouvette C45-1, prélevée dans une zone sèche où il y a eu peu de RAG, sont suffisamment

représentatifs de la totalité de la cinétique réelle de la RAG dans le béton de Song Loulou. La part de RAG ayant eu lieu avant extraction est ainsi négligée. Cette simplification s’est imposée sans toutes les garanties, à cause de la rareté des données. Pour mieux déterminer la cinétique réelle, on aurait pu soit exploiter les indices de fissuration du béton (malheureusement inexistants) tels que précisé dans [Fasseu et al. 2003] et [Fournier et al. 2010], soit procéder à des essais accélérés sur des éprouvettes reconstituées à partir de granulats sains extraits de carottes suivant les indications de [Sellier et al. 2009], qui permettent d’obtenir une cinétique plus pertinente caractéristique de la RAG dans les ouvrages existants.

Le paragraphe suivant établit la comparaison entre ces valeurs expérimentales et la tendance globale des résultats obtenus avec les plages des vingt variables définies précédemment ainsi que le recalage effectué.

II.4.2 Recalage des plages de variation

Nous avons effectué une simulation de Monte Carlo en faisant 10 000 tirages aléatoires sur des distributions uniformes dans les intervalles définis précédemment pour chacune des 20 variables. Nous avons ensuite déterminé les valeurs minimales, moyennes et maximales de l’ensemble pour vérifier que les plages d’entrées choisies donnaient des réponses encadrant les valeurs expérimentales. Ayant constaté que les valeurs déterminées étaient très éloignées des valeurs expérimentales, elles ont été classées, 5% des valeurs extrêmes (cumul des valeurs minimales et maximales) ont été supprimées, et les valeurs minimales (moyennes et maximales) obtenues sont présentées sur la figure ci-après.

Figure II.8 : Cinétiques de gonflement Min- Moy et Max pour 10 000 tirages - p=95% - Plages initiales

Nous constatons sur la Figure II.8 que la majorité des cinétiques obtenues avec nos plages de valeurs sont très éloignées des cinétiques expérimentales, malgré le retrait des 5% de valeurs aux extrémités. Nous avons donc décidé d’affiner nos intervalles initiaux en les faisant varier et en

II.4 Variables d’entrée indépendantes du modèle et plages de variation

moyennes et maximales obtenues à chaque simulation étaient comparées aux valeurs expérimentales. Une fois que les valeurs calculées ont bien enveloppé les courbes expérimentales, nous avons complété le nombre de simulation à 18 000. La figure ci-après, tracée à partir des statistiques découlant de ces simulations montre qu’on encadre bien les valeurs expérimentales surtout avec le quantile de 95%.

Figure II.9 : Cinétiques de gonflement Min- Moy et Max pour 18 000 tirages - p=95%, 99%, 100% - Plages finales

Les plages correspondantes sont reportées sur le Tableau II.2. Il est à noter que les sept premières variables (𝑋₁ à 𝑋7), déduites de la formulation du béton de Song Loulou (en conformité avec [De Larrard 2000]) ont été maintenues constantes, et que seules les 13 autres ont fait l’objet de variations. Cela permettrait d’être le plus proche possible de la réalité. De plus, nous avons constaté que le fait de considérer que la plus petite classe granulaire (sable) a des propriétés physico-chimiques différentes des classes moyennes et grandes (graviers et cailloux), permet d’obtenir des allures de cinétiques plus proches des cinétiques expérimentales surtout en fin de réaction (voir Figure II.9).

Les plages finales, indiquées dans le Tableau II.2, sont celles que nous utiliserons dans la suite du travail pour nos analyses de sensibilité.

Tableau II.2 : Plages de variations recalées des variables d’entrées du modèle [Multon et al. 2009]

Paramètres du béton

V.A Description Abréviation Symbole Plage _initiale Plage _finale Unité X1 Diamètre minimal de la plus petite classe

granulaire DMIN(1) 𝑅(𝑎=1,2,3)= (DMIN(a) + DMAX(a)) / 2 0 à 2 0 à 2 mm

X2 Diamètre minimal de la classe granulaire

intermédiaire

DMIN(2) =

DMAX (1) 4 à 6 4 à 6 mm

X3 Diamètre minimal de la plus grande classe

granulaire

DMIN(3) =

DMAX (2) 10 à 20 10 à 20 mm

X4 Diamètre maximal de la plus grande classe

granulaire DMAX(3) 32 à 125 32 à 125 mm

X5 Concentration volumique de granulat par m 3 _de

béton CONGRA

𝐶𝑎𝑔𝑔 _{0.6 à 0.75 0.6 à 0.75 -}

X6 Fraction de la plus petite classe granulaire

dans les granulats FRAGRA(1)

𝜙(𝑎=1,2,3)= Function of (FRAGRA(a), SILSOL(a)) 0.25 à 0.55 0.25 à _0.55 - X7

Fraction de la classe granulaire intermédiaire dans les granulats

FRAGRA(2) = FRAGRA(3) 0.05 à 0.25 0.05 à 0.25 - Paramètres Physico-chimiques

V.A Description Abréviation Symbole Plage _initiale Plage _finale Unité X8 Concentration initiale d’alcalin dans la pâte de

ciment CNA0

𝐶_𝑁𝑎𝑐𝑝 _{100 à 800} 100 à

250 mol/m3

X9

Quantité de silice soluble pour la plus petite

classe granulaire (Sable) SILSOL(1)

𝜙(𝑎=1,2,3)= Function of (FRAGRA(a), SILSOL(a)) 1000 à 5000 1000 à 3000 mol/m 3 _de gran. X10

Quantité de silice soluble prise identique pour les autres classes granulaires et réactivité moyenne SILSOL(2) = SILSOL(3) 1000 à 5000 1000 à 3000 mol/m 3 _de gran.

X11 Porosité du mortier POROMO 𝑃𝑚𝑜𝑟𝑡 0.1 à 0.3 0.1 à 0.3 - X12 Porosité des petits granulats POROG(1) 𝑃𝑎𝑔𝑔1 0.01 à 0.05 0.01 à

0.05 -

X13 Porosité des granulats prise identique pour les

autres classes granulaires

POROG(2) =

POROG(3) 𝑃𝑎𝑔𝑔2,3 0.01 à 0.05 0.01 à 0.05 -

X14 Distance sur laquelle le gel peut migrer pour

les petits granulats COLC(1) 𝑡𝑐(𝑎=1) 1 à 15 1 à 10 µm

X15 Distance sur laquelle le gel peut migrer pour

les autres granulats

COLC(2) =

COLC(3) 𝑡𝑐(𝑎=2,3) 1 à 15 1 à 10 µm X16 Coefficients de diffusion des alcalins pour les

petits granulats DIFFG(1)

𝐷(𝑎=1) 2.10-13 à 7.10-13

2.10-13 _à 7.10-13 m²/s X17 Coefficients de diffusion des alcalins pour les

autres granulats DIFFG(2) = DIFFG(3) 𝐷(𝑎=2,3) 2.10 -13 _à 7.10-13 2.10-13 _à 7.10-13 m²/s paramètres du gel de RAG

V.A Description Abréviation Symbole Plage _initiale Plage _finale Unité X18 Volume molaire du gel créé VMGEL 𝑉𝑔𝑒𝑙𝑚𝑜𝑙 1.10-5 à

10.10-5

1.10-5 _à

1,6.10-5 m3/mol

X19

Nombre de mole de Na réagissant avec 1 mole de Si pour former le gel (dépends de

Na2Oeq/SiO2)

RNSc Ratio

Na2O/SiO2 0,2 à 0,8

0,39 à 0,59 - X20 Coef. de fixation des alcalins pris idem pour

toutes les classes FIXNA 𝑓

-1.10-7 _{à -} 1.10-9

-1.10-7 _{à -}