CONSTRUCTION DU DCP POUR LA RAG EN CONDITIONS ATMOSPHÉRIQUES DE SONG LOULOU

Dans cette section, l’algorithme de construction d’un développement en chaos de polynômes (DCP), les données et les résultats obtenus dans le cas d’un modèle de substitution du gonflement volumique dû à la RAG en conditions atmosphériques de Song Loulou seront présentés.

III.3.1 Algorithme de construction du DCP et données

L’algorithme présenté ci-dessous a été élaboré en se basant sur les éléments bibliographiques de la section III.2.2. Il utilise les équations rappelées ci-après.

Transformation isoprobabiliste de l’espace physique vers l’espace uniforme centré réduit pour l’utilisation des polynômes de Legendre :

𝜉𝑖= 2𝑋𝑖− 𝑋𝑖𝑚𝑎𝑥− 𝑋𝑖𝑚𝑖𝑛 𝑋𝑖𝑚𝑎𝑥− 𝑋𝑖𝑚𝑖𝑛 ↔ 𝑋𝑖= (𝑋𝑖𝑚𝑎𝑥− 𝑋𝑖𝑚𝑖𝑛)𝜉𝑖+ 𝑋𝑖𝑚𝑎𝑥+ 𝑋𝑖𝑚𝑖𝑛 2 Eqn III.24

III.3 Construction du DCP pour la RAG en conditions atmosphériques de Song Loulou

Matrice des polynômes multivariés :

𝑍 = [ 1 Ψ11 1 Ψ12 … Ψ𝑃−11 … Ψ𝑃−12 … … 1 Ψ1𝑟 … … … Ψ𝑃−1𝑟 ] _{Eqn III.25} Coefficients du DCP : [𝑎₀, 𝑎1, … , 𝑎𝑃−1]𝑇= (𝑍𝑇. 𝑍)−1. 𝑍𝑇. 𝑌 Eqn III.26 Expression du DCP : ℳ𝐷𝐶𝑃(𝑡, 𝜉1, … , 𝜉𝑘) = 𝑎0+ 𝑎1. 𝛹1+ ⋯ + 𝑎𝑃−1. 𝛹𝑃−1 Eqn III.27 L’algorithme de construction du DCP qui a été implémenté est donné dans le tableau ci- après.

Tableau III.2 : Algorithme de construction du Développement en Chaos Polynomial plein

Entrées : 𝑘, le nombre de variables d’entrées auxquelles s’ajoute le temps; 𝑝 le degré maximal des

polynômes du développement en chaos polynomial ; 𝑃=(𝑘+𝑝)!_{𝑘! 𝑝!}, le nombre de coefficients du DCP ; 𝑟(𝑟 ≥ 𝑃), le nombre de trajectoires ; 𝑟0≤ 𝑟 , le nombre de trajectoires initialement traitées ; 𝑋𝑖𝑚𝑖𝑛

et 𝑋𝑖𝑚𝑎𝑥, les valeurs minimales et maximales respectives des variables 𝑋𝑖 avec 𝑖 = 1, . . , 𝑘 ; 𝑀𝑋𝑟×𝑘,

la matrice des 𝑟 tirages sur les 𝑘 variables ; 𝑀𝑌𝑟, le vecteur des 𝑟 réponses du plan d’expériences,

Q2 _{seuil, la valeur minimale du coefficient de qualité du DCP.} Sortie : ℳ𝐷𝐶𝑃_(𝜉

1, … , 𝜉𝑘) et Q2 Début

1-Lire les 𝑗 = 1, … , 𝑟0 (𝑘 + 1)-uplets de 𝑋𝑖 , 𝑌𝑗 = ℳ(𝑋𝑖) = ℳ(𝜉𝑖), 𝑗ième ligne de 𝑀𝑋𝑟×𝑘 et de 𝑀𝑌𝑟

2-Calculer les 𝜉𝑖, 𝛹(𝜉𝑖 ) et 𝑍

Calculer les coefficients 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑃−1 Construire le DCP, ℳ𝐷𝐶𝑃_(𝜉

1, … , 𝜉𝑘)

Estimer l’erreur Q2 Si (Q2 _{< Q}2 _{seuil ou 𝑟}

0< 𝑟 )

Incrémenter 𝑟0 et revenir à l’étape 1 Sinon Enregistrer ℳ𝐷𝐶𝑃_(𝜉 1, … , 𝜉𝑘) et Q2 Fin Si Retour Fin

Il est important de souligner que l’algorithme ci-dessus suppose la présence initiale d’une base de données contenant les tirages 𝑀𝑋𝑟×𝑘 du plan d’expériences ainsi que leurs réponses

respectives 𝑀𝑌𝑟.

Pour la construction de notre DCP, nous considérons les 9 variables retenus de l’analyse de sensibilité dont les nouveaux indices sont indiqués en gras : le diamètre maximal de la plus grande classe granulaire (DMAX(3) = X4 ≡ X1), la concentration volumique de granulat par m3 de

béton (CONGRA = X5 ≡ X2), la fraction de la plus petite classe granulaire dans les granulats

(COLC(1) = X14 ≡ X6), le volume molaire du gel crée (VMGEL = X18 ≡ X7), le nombre de mole de

sodium réagissant avec 1 mole de silice pour former le gel (RNSc = X19 ≡ X8), et le coefficient de

fixation des alcalins (FIXNA = X20 ≡ X9). Des tirages aléatoires ont été effectués sur ces variables

suivant des lois uniformes sur les plages finales indiquées dans le Tableau II.2. Pour chacun des 10 000 9-uplets obtenus, une cinétique de RAG avec 1450 échéances couvrant une période totale de 100 ans est calculée à l’aide du modèle [Multon et al. 2009]. Les 10 000 cinétiques obtenues constituent la base de données avec laquelle nous allons travailler tout au long de ce chapitre.

III.3.2 Résultats obtenus et problèmes

Pour l’implémentation de l’algorithme de construction du DCP, présenté dans le Tableau III.2, nous avons procédé par tirage aléatoire d’un point par cinétique (voir figure ci-après) pour constituer une base de données de 10 000 points (𝑋_1,…,9j _{,t, 𝜀}

𝑣) ≡ (𝜉1,…,9 j _{,t, 𝜀}

𝑣).

Figure III.8 : Illustration de la procédure de constitution de la base de données de construction du DCP

Le format de cette base de données est présenté dans le tableau ci-après. Tableau III.3 : Format des données utilisées pour la construction des DCP de εV

𝒋 _𝝃 𝟏 DM AX (3 ) 𝝃𝟐 CONG R A 𝝃𝟑 FRA GRA(1) 𝝃𝟒 CNA0 𝝃 𝟓 POROM O 𝝃𝟔 COL C( 1 ) 𝝃𝟕 V M G EL 𝝃𝟖 R NS c 𝝃𝟗 FI X NA 𝝃𝟏𝟎 𝒕 𝜺𝒗 1 0,851 -0,917 -0,628 -0,242 -0,078 -0,248 -0,420 0,961 -0,190 -0,950 1,99E-03 2 0,705 0,818 0,578 -0,041 0,078 -0,455 0,275 -0,037 0,459 -0,242 2,79E-03 … … … … 9999 -0,910 0,356 0,231 0,686 0,922 -0,451 -0,049 0,191 0,423 0,588 3,13E-03 10000 -0,053 0,266 -0,541 0,079 -0,408 -0,495 0,101 (𝑋1,…,91 , 𝑡1= 800𝑗, 𝜀𝑣(𝑋1,…,91 , 800) = 0,005) ( 𝑋1,…,94 , 𝑡4 = 2000𝑗 , 𝜀𝑣(𝑋1,…,94 , 2000) = 0,00101 )

III.3 Construction du DCP pour la RAG en conditions atmosphériques de Song Loulou

L’algorithme du Tableau III.2 a été implémenté en java sous Eclipse avec 𝑘 = 10, (9 variables de RAG plus le temps), 𝑟 = 10000. Nous avons construit des DCP de polynômes de Legendre d’ordre 2 (𝑃 =(10+2)!

10! 2! = 66), et 3 (𝑃 = (10+3)!

10! 3! = 286), 𝑄𝑉𝐶−𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙

2 _=0,99.

Comme on peut le constater sur la figure ci-après, les réponses des DCP obtenus sont assez éloignées de celle du modèle.

Figure III.9 : Résultat type obtenu pour des DCP de Legendre d’ordre 2 (PCE2) et 3 (PCE3)

Les coefficients de qualité du tableau ci-après, corroborent la remarque précédente en affichant des valeurs assez éloignées de 𝑄_{𝑉𝐶−𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙}2 _{. De plus, ces coefficients sont surestimés étant} donné qu’ils ne prennent en compte que certains points des cinétiques de RAG selon la procédure de construction du plan d’expériences que nous avons présentée sur la Figure III.8 et le Tableau III.3.

Tableau III.4 : Coefficients de qualité obtenus pour des DCP de Legendre d’ordre 2 (PCE2) et 3 (PCE3) 𝒑 = 𝟐, 𝒌 = 𝟏𝟎, 𝑷 = 𝟔𝟔 𝒑 = 𝟑, 𝒌 = 𝟏𝟎, 𝑷 = 𝟐𝟖𝟔

𝒓𝟎 𝑹𝟐 𝑹𝒂𝒋𝟐 𝑸𝑽𝑪𝟐 𝑸𝑳𝑶𝑶𝟐 𝑸𝑳𝑶𝑶𝑨𝟐 𝒓𝟎 𝑹𝟐 𝑹𝒂𝒋𝟐 𝑸𝑽𝑪𝟐 𝑸𝑳𝑶𝑶𝟐 𝑸𝑳𝑶𝑶𝑨𝟐 200 0,933 0,900 0,887 0,816 0,725 900 0,915 0,876 0,846 0,797 0,702

250 0,912 0,881 0,843 0,808 0,739 1500 0,896 0,872 0,874 0,839 0,801

500 0,883 0,865 0,793 0,836 0,811 2500 0,897 0,884 0,874 0,866 0,848

Compte tenu des constats qui précèdent, la réflexion sur la manière de procéder pour obtenir un modèle de substitution de bonne qualité, nous a amené à élaborer une technique nouvelle. Sa présentation sous forme d’algorithme ainsi que son illustration sur 2 exemples simples feront l’objet de la prochaine section.

composition de fonction

Cette technique consiste principalement à déplacer la construction de DCP sur les paramètres d’une fonction de forme préalablement définie à partir de l’allure des cinétiques pour lesquelles on veut un modèle de substitution.

III.4.1 Algorithme de construction de modèle substitution par la composition de fonction

Il est donné dans le tableau ci-après.

Tableau III.5 : Algorithme de construction d’un modèle de substitution temporel par la composition de fonction et le DCP

Entrées: 𝑘, le nombre de variables d’entrées ; 𝑝 le degré maximal des polynômes des

développement en chaos polynomial ; 𝑟 (𝑟 ≥(𝑘+𝑚)!

𝑘! 𝑚! ), le nombre de trajectoires ; 𝑙, le nombre

de division du temps ; 𝑉𝑡, le vecteur de taille 𝑙 des valeurs du temps ; 𝑋𝑖𝑚𝑖𝑛 et 𝑋𝑖𝑚𝑎𝑥, les

valeurs minimales et maximales respectives des variables 𝑋𝑖 avec 𝑖 = 1, . . , 𝑘 ; 𝑀𝑋𝑟×𝑘, la

matrice des 𝑟 tirages sur les 𝑘 variables ; 𝑀𝑌𝑟×𝑙, la matrice des 𝑟 × 𝑙 réponses temporelles. Sortie : ℳ𝐶𝐹𝐷𝐶𝑃_{(𝑡, 𝜉}

1, … , 𝜉𝑘), modèle de substitution. Début

Identifier la famille de fonction (fonction de forme) des réponses temporelles

𝑴𝒀𝒓×𝒍 ainsi que son expression paramétrique. Ceci peut se faire à partir de la forme

de quelques-unes de ces réponses.

Soit 𝑚 le nombre de paramètres de cette expression, pour chaque trajectoire 𝑗 = 1,2, … , 𝑟, déterminer les valeurs des 𝑚 paramètres qui ajustent le mieux la courbe

des points 𝑀𝑌𝑗×𝑙 ; la matrice résultante est la matrice des paramètres 𝑀𝑃𝑟×𝑚.

En utilisant chacune des 𝑚 colonnes de la matrice 𝑀𝑃𝑟×𝑚,

Construire le développement en chaos de chacun des paramètres 𝒃𝒉 correspondant

(Eqn III.28) suivant l’algorithme du Tableau III.2. Enregistrer ℳ𝐶𝐹𝐷𝐶𝑃_{(𝑡, 𝜉}

1, … , 𝜉𝑘). Retour

Fin

Paramètres de la fonction de forme des cinétiques :

𝑏ℎ= 𝑎0ℎ+ 𝑎1ℎ𝛹1+ ⋯ + 𝑎𝑃−1ℎ 𝛹𝑃−1, ℎ = 1, … , 𝑚 Eqn III.28 Forme générale du modèle de substitution temporel :

ℳ𝐶𝐹𝐷𝐶𝑃(𝑡, 𝜉1, … , 𝜉𝑘) = 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑡, 𝑏1(𝜉1, … , 𝜉𝑘), … , 𝑏𝑚(𝜉1, … , 𝜉𝑘)) Eqn III.29 Il est important d’insister sur le fait que la construction des 𝑚 DCP de chacun des paramètres 𝑏_ℎ, ℎ = 1, … , 𝑚 se fait avec la même base de données que constitue la matrice des paramètres 𝑀𝑃𝑟×𝑚. La sous-section suivante illustre cette nouvelle technique de construction de

III.4 Proposition d’une technique de construction de modèle de substitution par DCP et composition de