∆GI ∆GI,dc α + ∆GII ∆GII,dc α + ∆GIII ∆GIII,dc α1/α >1 Rupture de fibres
Pour les ruptures de fibres, on définit un critère volumique. On introduit la valeur moyenne sur le volume élémentaire de l’énergie de traction Y+
f , la moyenne de l’éner-gie de compression Y−
f et la moyenne de l’énergie de cisaillement Yd. Le critère est ensuite défini par deux fonctions :
lt(Yf+, Yd) > 1 lc(Yf−, Yd) > 1
2.2 Variabilité des taux de restitution critiques
Les critères de rupture définis précédemment nécessitent l’identification de grandeurs matériau que sont les taux de restitution critiques selon les différents modes. Dans le cas d’une répartition parfaite sans défaut des fibres dans la matrice, les valeurs de ces taux de restitution critiques seraient identiques en tout point. Cependant, la répartition aléatoire des fibres conduit à des zones riches en fibres pour lesquelles la création d’une fissure transverse ou l’apparition du délaminage local seront facilitées. Ce type de défaut, réparti de manière uniforme dans le pli, entraîne des variations du taux de restitution critique en fonction de la position. Ces "petits défauts" induisent une faible variation du taux de restitution critique. D’autres défauts plus conséquents (inclusions diverses, région très pauvre en fibres...) en-traînent une variation plus importante du taux de restitution critique.
Beaucoup d’articles de la littérature ont étudié cette variabilité des propriétés matériau critiques en fonction de la position dans le pli. (Manders et al.,1983) ou (Fukunaga et al.,
1984) proposent de considérer une distribution aléatoire de contrainte à rupture selon une loi de Weibull à deux paramètres déterminés de manière à faire correspondre la fonction de densité de fissuration aux résultats expérimentaux. Les résultats obtenus permettent de décrire de manière satisfaisante l’espacement entre deux fissures transverses. Berthelot et
al (Berthelot et al., 1996) utilisent une procédure numérique de développement des
fis-sures transverses dans des stratifiés croisés. Une distribution de contrainte à rupture est initialement appliquée au stratifié selon une loi normale modifiée (loi normale dont le do-maine de définition est limité). La distribution des contraintes est évaluée selon une analyse de type shear-lag 2D en certains points prédéfinis. Une fissure transverse est créé à l’en-droit où la contrainte à rupture est atteinte. La modification de la loi normale est nécessaire pour prendre en compte les défauts initiaux importants dont l’influence est visible pour des faibles taux de fissuration.
(Crossman & Wang,1982) introduisent deux lois de probabilité normales pour décrire la
longueur de défauts initiaux et leur espacement. En déterminant le taux de restitution as-socié à la propagation du défaut le plus important (par éléments finis par exemple), il est possible de comparer le taux obtenu à une valeur critique pour savoir si le défaut traverse le pli et forme ainsi une fissure transverse. Une autre fissure se formera lorsque le critère sera atteint pour un autre défaut en prenant en compte une réduction du taux de restitution
2 Modélisation des mécanismes discrets
d’énergie fonction de la distance relative entre ces deux fissures.
L’idée suivie dans le micromodèle est que l’apparition de fissures transverses est un phénomène stochastique mais quasi indépendant de la loi de probabilité (ceci est vrai pour de petits défauts seulement). On considère un stratifié [0m/90n]set on trace pour une confi-guration donnée de fissures transverses le taux de restitution en fonction de l’abscisse dans le pli à 90. On constate plusieurs plateaux pour lesquels toutes les fissures potentielles si-tuées dans ces zones sont susceptibles d’être créées (Figure2.10).
Figure 2.10: Evolution du taux de restitution dans un pli à 90˚ fissuré.
On compare alors deux procédures de création de fissures. La première consiste à utili-ser une loi de probabilité sur les taux de restitution critiques et à créer une nouvelle fissure lorsque le taux de restitution atteint le taux critique. La seconde méthode consiste à consi-dérer une zone à ±∆% par rapport à la valeur critique du taux de restitution. On sélectionne ensuite toutes les fissures potentielles pour lesquelles le taux de restitution est compris dans cette bande.
Gc(1 − ∆/100) 6 G(x) 6 Gc(1 + ∆/100)
Le taux de restitution n’est évalué qu’en un nombre fini de points pour limiter les calculs. Parmi les points sélectionnés, on tire aléatoirement selon une loi uniforme une abscisse et on crée une nouvelle fissure. Les taux de restitution sont ensuite réévalués et la procédure est poursuivie. On note cette approche, approche stochastique.
Pour comparer les résultats donnés par les différentes méthodes, on trace la contrainte macroscopique transverse du pli à 90 en fonction de la densité de fissuration. La figure 2.12montre les variations de la contrainte macroscopique lorsque l’on fait varier la largeur
de la bande dans l’approche stochastique. Plusieurs tirages sont réalisés. On remarque que l’influence de cette bande ne joue pas beaucoup sur l’apparition des microfissures.
Figure 2.11: Evolution de la contrainte σ90
xx en fonction du taux de fissuration pour diffé-rentes lois de probabilité. A gauche pour ∆ = 5%, à droite pour ∆ = 20% En prenant une répartition gaussienne (approche Gauss) et une loi de Weibull avec un faible écart type, on observe que la zone correspondant aux petits défauts est indépendante de la loi utilisée. Pour des taux de fissuration importants, un autre mécanisme (délaminage local) doit être pris en compte. Pour des faibles taux de fissuration, les différences sont essentiellement dues à la présence de défauts importants.
Figure 2.12: Evolution de la contrainte σ90
xx en fonction du taux de fissuration pour diffé-rentes lois de probabilité.
Cette première étude a ainsi montré que la loi de probabilité utilisée pour décrire la répartition aléatoire des fibres dans la matrice a une très faible influence.
3 Modélisation des mécanismes diffus