Partie III Stratégie de calcul pour la mise en oeuvre du modèle micro-
1.3 Adaptation des cellules au contour exactement
La procédure de génération de maillage structuré permet de créer des cellules rectangu-laires adaptées aussi bien que possible au contour. Cependant, dans de nombreux cas, il n’est pas raisonnable d’utiliser de telles géométries de cellules (par ailleurs elles mêmes maillées) car les angles droits entraînent nécessairement de fortes concentrations de contraintes qui n’existent pas en réalité. Ainsi une procédure d’adaptation des cellules de bord a été pro-posée. Elle permet de garder le maillage structuré tout en adaptant le pavage au contour (FigureA.3).
Lors de la création des cellules, le résultat du test d’appartenance de chaque point à l’in-térieur du contour a été stocké. Ainsi, on ne s’intéresse qu’aux cellules ayant au moins un point en dehors strictement (les points au voisinage immédiat du contour sont maintenant considérés comme étant à l’intérieur du contour). Le but de la procédure est de définir une nouvelle forme de cellule à partir des sommets de la cellule rectangulaire initiale (création de nouveaux sommets). Pour chaque cellule, on parcourt successivement tous ses sommets. Pour chaque sommet A, on note B le sommet suivant dans la liste des sommets. La figure A.4détaille la procédure pour une cellule de bord et permet de mettre en évidence quelques possibilités de construction. Chaque point possède une indication d’appartenance ou non au contour. Si les deux points sont en dehors du contour fermé (figureA.4cas 3), on passe au sommet suivant sans rien stocker. Si les deux points sont à l’intérieur, on ajoute le point A à
Figure A.3: Pavage avant et après adaptation
la nouvelle liste de sommets (figureA.4cas 1). Par contre si un des deux points seulement est à l’extérieur, on effectue une opération particulière (figureA.4cas 2 et 4).
Soit M le point d’intersection du segment [AB] avec le contour (on suppose qu’il n’y a qu’une intersection, sinon la taille de la cellule est trop grande pour décrire le contour exactement). On définit une longueur minimale lmin = ABn où n est un entier. Les distances AM et BM seront comparées à lminde manière à éliminer des cellules dont la forme serait trop écrasée, ceci afin d’éviter des problèmes de maillage éléments finis par la suite sur ces cellules. Ainsi deux cas sont à considérer :
– Si le point A est à l’extérieur du contour et que la distance BM 6 lmin, on n’ajoute aucun point à la liste des nouveaux sommets. Par contre pour toutes les autres dis-tances, on ajoute seulement le point M à la liste des nouveaux sommets (figureA.4 cas 4). Cependant pour permettre une génération correcte des maillages éléments fi-nis par la suite, si la distance AM 6 lmin, on impose que le point M soit donné par
~
AM = n1AB.~
– Si le point A est intérieur au contour, on ajoute nécessairement ce point à la liste. Si ensuite la distance AM 6 lmin, on n’ajoute aucun point supplémentaire ; sinon on ajoute en prime le point M dans les autres cas avec comme pour le cas précédent une adaptation lorsque BM 6 lmin, on choisit ~AM = n−1n AB (figure~ A.4cas 2). Cette procédure est donc fiable pour la plupart des exemples traités et fonctionne idéa-lement pour n’importe quel type de cellules (quelque soit le nombre de sommets).
L’intersection d’un segment avec une entité du contour (exemple segment) est faite de la façon suivante.
Soit A(xA, yA) et B(xB, yB) les deux sommets consécutifs, C1(xc1, yc1) et C2(xc2, yc2) les extrémités d’un segment de contour. On teste tout d’abord si les deux droites supports
1 Création du maillage super macro
Intérieur
Extérieur
A B
Cas 1 : A conservé
Intérieur
Extérieur B
M
Cas 2 : A et M
conservés
Intérieur
Extérieur
A
A
Cas 3 : aucun
point stocké
Intérieur
Extérieur
A
B
Cas 4 : M
conservé
B
M
Intérieur
Extérieur
Nouvelle cellule
Figure A.4: Exemple d’adaptation de cellule au contour
des segments sont colinéaires en calculant le produit vectoriel correspondant. Si tel est le cas, il n’y a aucune intersection et l’on renvoit l’indication de non intersection. Si les deux droites ne sont pas colinéaires, elles se coupent en un point M(x, y). Soit n(xn, yn) la normale à la droite support de [C1C2] et m(xm, ym) la normale à la droite support de [AB]. L’intersection est déterminée en résolvant le système :
~
AM .m = 0 (A.1)
~
C1M .n = 0 (A.2)
On obtient alors l’intersection :
x = (yA− yc1) ∗ myny+ mxnyxA− nxmyxc1
mxny− mynx (A.3)
y = (xA− xc1) ∗ mxnx+ mynxyA− nymxyc1
2 Génération des cellules pour les différents plis
La procédure quadtree permet de générer des cellules rectangulaires permettant de dé-crire des empilements [0/90]. L’ajout d’orientations supplémentaires (notées γ) entraîne deux difficultés. La première est que le maillage doit être structuré pour cette orientation (cellules rectangulaires orientées selon γ). La seconde difficulté provient du fait que le pa-vage doit être compatible avec les autres papa-vages obtenus précédemment. En effet l’incom-patibilité des cellules pourrait certes être envisageable mais nécessiterait le traitement de maillages incompatibles aussi bien au niveau micro qu’au niveau macro, ce qui fera certai-nement l’objet d’un travail futur. Nous nous sommes donc restreint aux cas particuliers de stratifiés [0, 90, ±γ] qui couvrent un nombre déjà important de cas possibles.
Le pavage des plis orientés à ±γ est réalisé à partir du pavage quadtree initial. En effet, lorsque le stratifié contient des orientations à 0˚ ou 90˚ et des orientations à γ˚, les cellules doivent être compatibles numériquement, c’est à dire que les sommets doivent coïncider dans toutes les configurations. Le choix retenu est donc de découper les cellules rectangu-laires initiales en 4 cellules triangurectangu-laires reliant les sommets au centre de gravité. En jouant sur la forme de la cellule rectangulaire, on peut générer des orientations variées telles que 45˚, 65˚ · · · Le découpage du pavage est exécuté après l’adaptation des cellules et nécessite un traitement spécial des cellules de bords adaptées au contour.
ANNEXE
B
Compléments
théoriques sur la
Troisième échelle
Cette annexe apporte les éléments nécessaires à la compréhension et l’implantation d’une troisième échelle pour résoudre le problème macro quand la taille de celui-ci est trop importante. Plusieurs approches ont été testées et implémentées dans le code prototype sous Matlab. Le problème macroscopique de l’étape linéaire peut devenir gigantesque si le nombre d’interfaces est important. Pour traiter ce problème, une solution consiste à le ré-soudre de manière approchée. Les sous-structures et interfaces sont regroupées en cellules super-macro. Entre les cellules super-macro sont définies des interfaces super-macro sur lesquelles on cherche à déterminer les efforts et les déplacements. L’approximation du pro-blème macro nécessite la connaissance d’opérateurs permettant d’exprimer les inconnues (effort et multiplicateur) sur les interfaces en fonction des inconnues sur les interfaces super-macro. L’objectif de ce complément est d’une part de préciser les formulations exactes et approchées en déplacement (multiplicateur) et en effort mais aussi de proposer plusieurs constructions d’opérateurs reliant quantités macro et super-macro.
1 Retour sur le problème macroscopique
Le problème macroscopique est un problème linéaire constitué des équations suivantes : – Des équations d’admissibilité cinématique portant sur la continuité des
multiplica-teurs macro :
∀ΓEE′, fWMEE′ = fWME′E
∀Γ ∈ ∂Ωu , fWM = 0
– Des équations d’admissibilité statique traduisant la continuité des efforts macro : ∀ΓEE′, FMEE′+ FME′E = 0
∀Γ ∈ ∂ΩF , FM = ΠΓ(Fd) où ΠΓest l’opérateur de projection macroscopique sur Γ
– Une relation de comportement entre les efforts macro et les multiplicateurs macro, la relation de comportement homogénéisé :
FME = LFE WfME+ FM
La différence par rapport à un problème de mécanique des milieux continus est que le problème macro est un problème discret par définition (il porte sur des quantités finies que sont les inconnues macro par interface). Le problème ainsi défini peut être résolu en utilisant une formulation variationnelle en déplacement ou une formulation en effort. La résolution de ces deux problèmes donne la solution exacte du problème macro. Nous pré-sentons dans la suite la résolution de chaque formulation en précisant la construction des différents opérateurs.