Validation numérique

Pour valider les choix des paramètres numériques, nous avons effectué plusieurs tests afin d’analyser l’effet de discrétisation (maillage), l’effet des paramètres de l’amortisseur, et l’effet de la vitesse de compression. L’objectif est de choisir des paramètres permettant d’optimiser les temps de calcul tout en assurant des résultats corrects et robustes. Pour ces tests de validation, nous avons réalisé des simulations impliquant 50 particules déformables, avec le coefficient de frottement µf = 0, 3 entre les particules, et entre les particules et les parois. Les paramètres du matériau (module de Young, coefficient de Poisson, dimensions et proportions des particules) sont ceux présentés précédemment.

3.2.2.1 Effet de la discrétisation en maillage

Plusieurs simulations ont été effectuées en changeant la résolution spatiale relative κ. La figure 3.6(a) montre l’évolution de la compacité et la figure 3.6(b) l’évolution de la force de compression, en fonction de la déformation compressive cumulée pour plusieurs valeurs de la résolution spatiale relative. On remarque qu’avec κ ≤ 0, 071, l’effet de la discrétisation du maillage devient négligeable sur le résultat final.

La figure 3.7 montre le temps de calcul en fonction de la résolution spatiale relative κ lorsque le système atteint la compacité Φ = 0, 95. La vitesse de compression est v_h = 0, 1 m/s. Nous trouvons que les simulations avec le maillage dense sont très coˆuteuses en temps de calcul. En analysant le résultat macroscopique obtenu à la figure 3.6 et les temps de calcul indiqués à la figure 3.7, nous avons décidé d’utiliser des maillages pour lesquels κ = 0, 071 pour toutes les simulations présentées ultérieurement (chapitres 3 et 4).

3.2.2.2 Dissipation d’énergie

Le système expérimental est analysé à la fin de chaque pas de compression après un long temps d’attente qui suit l’immobilisation du piston. La vitesse de n’importe quel élément du système est alors nulle. Ceci résulte de la dissipation d’énergie qui a lieu au sein même de chaque particule (en raison des propriétés visco-élastiques du matériau) et de la dissipation visqueuse entre les particules et le plancher. Afin de reproduire une telle situation statique dans les simulations numériques, nous avons ajouté à la dynamique du

numérique et expérimentale

Figure 3.6 – Évolution de la compacité (a) et de la force de compression adimensionnée par LHµ (b) en fonction de la déformation compressive cumulée pour plusieurs valeurs de la résolution spatiale relative κ = δ

D/2.

Figure 3.7 – Temps de calcul pour que le système atteigne la compacité Φ = 0, 95, en fonction de la résolution spatiale relative κ.

système un amortissement. L’objectif est de se placer en régime sur-amorti pour que les ondes élastiques et les vitesses des mouvements solides des particules n’aient pas d’effets significatifs sur les résultats.

3. Compression uniaxiale quasi-statique d’un assemblage de cylindres élastiques : Étude numérique et expérimentale

Nous utilisons un amortisseur de Rayleigh (Strutt et Rayleigh (1945)) qui est très couramment utilisé dans la résolution des problèmes d’éléments finis associés aux systèmes continus modélisés par éléments finis. La matrice d’amortissement de Rayleigh est une combinaison linéaire des matrices de masse et de rigidité, M et K respectivement :

C_Rayleigh= αM + βK , (3.3)

où α et β sont les coefficients relatifs de masse et de rigidité du système, respectivement. Ces deux coefficients sont sélectionnés pour obtenir le taux d’amortissement souhaité. L’effet d’amortisseur proportionnel à la masse est dominant pour les basses fréquences et celui proportionnel à la rigidité est dominant pour les hautes fréquences. Par conséquent, α et β sont des attributs des basses et hautes fréquences respectivement.

Figure3.8 – Évolution du rapport entre l’énergie de déformation et l’énergie cinétique du système en fonction de la compacité, pour différents coefficients relatifs de masse α (a) et de rigidité β (b).

À la figure 3.8, nous présentons le rapport entre l’énergie de déformation et l’énergie cinétique d’un système, en fonction de la compacité pour plusieurs simulations en variant α (figure 3.8(a)), ou β (figure 3.8(b)). La vitesse de compression est vh = 0, 1 m/s. Dans le premier cas, on a fixé le coefficient β = 10−5 en variant α = [5, 10, 20, 25, 30, 40, 45]. Dans le deuxième cas, on a utilisé le coefficient α = 30 avec plusieurs valeurs différentes de β = [10−3, 10−4, 10−5, 10−6]. Nous observons que, avec α ≥ 30 et β ≤ 10−5, l’énergie ciné-tique devient suffisamment faible pour que la compression du système puisse être considérée comme quasi-statique.

3.2.2.3 Vitesse de déplacement de la paroi mobile

Des tests numériques ont été réalisés en variant la vitesse de déplacement de la paroi mobile pour analyser l’effet de ce paramètre sur le résultat final. Pour ces simulations,

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Figure 3.9 – Évolution de la force (adimensionnée par le facteur constant LHµ) de pression uniaxiale en fonction de la compacité, pour différentes valeurs de vitesses de com-pression (exprimées en m/s).

nous avons utilisé le maillage avec la résolution spatiale relative κ = 0, 071, l’amortisseur de Rayleigh avec α = 30 et β = 10−5 validés précédemment. La vitesse est variée de 0,005 m/s à 0,5 m/s. La figure 3.9 montre l’évolution de la force de compression (adimensionnalisée) en fonction de la compacité du système. Nous remarquons que cette force ne change pas significativement pour ces différentes vitesses de compression. Cela indique que l’hypothèse d’une compression quasi-statique du système est bien compatible avec nos simulations. Nous avons choisi la vitesse de compression vh = 0, 1 m/s qui présente un bon compromis en termes de temps de calcul pour les simulations qui seront présentées ultérieures.

3.3 Compression uniaxiale d’un milieu granulaire

com-posé des particules élastiques hautement

défor-mables.

Trois tests expérimentaux de compression uniaxiale de 100 particules cylindriques faites en silicone réticulé et placées dans une boˆıte rectangulaire de longueur initiale D = 28, 6 cm et de largeur L = 20, 1 cm ont été effectués. Il s’agit de systèmes bidisperses avec comme diamètre des particules, D₁ = 20 mm et D₂ = 30 mm. La hauteur commune des particules est H = 9, 5 mm. La proportion de petites particules est de 70%. La figure 3.10 présente

3. Compression uniaxiale quasi-statique d’un assemblage de cylindres élastiques : Étude numérique et expérimentale

Figure3.10 – Images expérimentales brutes prises par un scanner d’un assemblage de 100 particules cylindriques de silicone réticulé. Le diamètre des cylindres est D₁ = 20 mm pour les petites particules et D₂ = 30 mm pour les grandes (composition bidisperse). La propor-tion de petites particules est de 70%. Les 3 vues du haut correspondent à 3 configurapropor-tions initiales différentes (chargement nul). La compacité vaut alors Φ = 0, 78. Les trois vues du bas correspondent à des états comprimés avec pour chacun une compacité Φ = 0, 88, la configuration initiale étant celle de la vue juste au dessus.

l’état initial Φ = 0, 78 et un état comprimé Φ = 0, 88 de ces trois systèmes. En parallèle, trois tests de compression uniaxiale numérique sont aussi réalisés en utilisant les mêmes configurations initiales que celles des systèmes expérimentaux. Répéter les expériences de compression pour trois systèmes équivalents, mais avec des configurations initiales diffé-rentes permet d’avoir une idée de l’influence de la configuration initiale sur les paramètres mesurés, et ainsi d’avoir quelques éléments statistiques. Dans la suite, certaines grandeurs

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seront moyennées sur ces trois états initiaux afin d’obtenir des informations moins bruitées et un comportement plus général de ce milieu granulaire.

Un des paramètres importants à déterminer dans le système expérimental est le coef-ficient de frottement. Des mesures d’angle de frottement µ_f effectuées sur plan incliné ne nous ont pas permis d’obtenir une mesure reproductible, car la quantité et la répartition d’huile sont cruciales. Nous avons dˆu renoncer à mesurer indépendamment µf. Dans la suite, ce paramètre est d’abord laissé libre : nous avons effectué plusieurs tests numériques en changeant le coefficient de frottement µf = [0; 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 7; 1], pour retenir celui qui correspond le mieux aux résultats obtenus avec le système expérimental. Notons qu’expéri-mentalement, la même quantité d’huile est ajoutée dans les mêmes conditions, si bien que l’on s’attend à retrouver le même coefficient de frottement µf pour les trois configurations différentes.