Énergie de déformation du sytème

Nous venons de voir qu’il n’est pas possible d’utiliser la force mesurée par le capteur de force pour comparer les résultats expérimentaux aux résultats numériques, car la force est déterminée uniquement par le contact entre les particules et le piston, et ce contact est biaisé par un pincement local des particules. Ici, nous nous intéressons à une troisième grandeur macroscopique, l’énergie de déformation stockée dans les particules constituant le système. Cette énergie est égale à l’intégrale de la densité d’énergie de déformation calculée sur le domaine constitué par l’ensemble des particules. Le poids relatif des zones pincées

3. Compression uniaxiale quasi-statique d’un assemblage de cylindres élastiques : Étude numérique et expérimentale

sous les parois est ainsi largement diminué par rapport à ce qu’il était lors de la mesure de la force. La densité d’énergie de déformation est déterminée expérimentalement à partir du champ de déformation calculé par corrélation d’images, en utilisant la méthode établie à la section 2.2.1.

La technique de corrélation d’images numériques calcule difficilement le déplacement lorsque qu’une particule s’est déplacée avec une rotation d’angle important, ou si la zone analysée dans l’image représentant l’état final manque de contraste pour que l’algorithme puisse détecter finement les nouvelles positions. Dans ce cas, on obtient des valeurs de déplacement inexactes qui conduisent à des valeurs erronées des déformations. Pour gom-mer l’effet de ces erreurs sur le résultat expérimental final, nous avons établi un critère basé sur les valeurs du premier invariant I1 (Eq. (1.7) ). I1 étant calculé pour chaque point de l’image par DIC, nous constatons qu’en un nombre limité de points, sa valeur est trop grande pour être réaliste (voir la particule représentée à la figure 3.13) et en d’autres points, elle paraˆıt tout à fait juste. Notre approche est la suivante : le nombre de points pour lesquels la valeur de I1 est soit aberrante soit suspecte étant limité, nous calculons la densité d’énergie de déformation moyenne de chaque particule en excluant toute zone où la valeur de I1 excède une valeur seuil I∗

1. Nous calculons ensuite l’énergie de cette particule en multipliant cette énergie moyenne par le volume total de la particule. En sommant sur l’ensemble des particules, nous en déduisons une énergie de déformation partielle. Cette énergie de déformation partielle dépend à priori de la valeur de I∗

1.

La figure 3.13 montre l’énergie de déformation partielle ˜_{E en fonction du seuil I}∗

1 de

l’invariant I₁, pour différentes valeurs de compacité Φ. En l’absence de déformation I₁ = 2 pour chaque particule. Dans le but d’obtenir un encadrement de la valeur de l’énergie de déformation du sytème, nous prenons :

— comme valeur minimale de l’énergie, la valeur de l’énergie de déformation partielle calculée en prenant I∗

1 = 2, 2. En effet, lorsque la DIC conduit à une valeur de I₁ inférieure à 2,2, les champs de déplacement sont correctement calculés. Ne considérant pas les contributions des zones plus déformés pour lesquelles I₁ serait supérieur à 2,2, nous obtenons une borne inférieure pour l’énergie ;

— comme valeur maximale de l’énergie, la valeur de l’énergie de déformation partielle calculée en prenant I∗

1 = 5. Il est en effet exclu que I₁ atteigne des valeurs aussi grandes que 5. La valeur de 5 est ici choisie arbitrairement de fa¸con à avoir de la marge. En prenant par exemple I∗

1 = 4, nous aurions diminué la valeur de la borne maximale et donc les barres d’erreur.

L’évolution de l’énergie de déformation ainsi déterminée est tracée en fonction de la com-pacité à la figure 3.14. Ces résultats sont obtenus en calculant la moyenne de l’énergie de déformation sur les trois configurations présentées précédemment.

L’énergie de déformation calculée à partir des simulations numériques peut ainsi être comparée avec le résultat expérimental. Le meilleur accord est trouvé pour le coefficient de frottement µ_f = 0, 3, comme représenté à la figure 3.14. L’encart présente une comparaison entre le résultat expérimental et des simulations numériques avec les coefficients de frot-tement µf = 0, 1 et µf = 0, 7. On remarque un décalage entre ces résultats, ce qui indique

numérique et expérimentale

Figure 3.13 – Énergie élastique partielle en fonction du seuil I∗

1 de l’invariant I1 pour déterminer l’énergie de déformation dans le système expérimental pour différents niveaux de compacité (Φ = 0, 775; 0, 824; 0, 850; 0, 873 et 0, 888). La particule déformée représentée sur la droite est extraite d’un assemblage de compacité Φ = 0, 888, et fait apparaˆıtre des zones dans lesquelles le calcul de l’invariant I₁ par DIC a échoué.

que ces coefficients de frottement (µ_f = 0, 1 et µ_f = 0, 7) ne conviennent pas. La valeur trouvée pour le coefficient de frottement, µf = 0, 3, est cohérente avec le résultat issu des courbes compacité-déformation. S’agissant de l’énergie, la sensibilité avec le coefficient de frottement est nettement plus marqué que lors de l’étude de la compacité, et permet de conclure que le coefficient de frottement µf = 0, 3 peut être retenu.

Dans la suite de cette étude comparative entre résultats numériques et expérimentaux, le coefficient de frottement sera fixé (sauf indication contraire) à µf = 0, 3 dans les simu-lations numériques.

Nous nous sommes jusqu’à présent intéressés à des grandeurs définies à l’échelle macro-scopique du système : déformation cumulée, compacité, force, énergie de déformation. Nous allons maintenant nous intéresser à des grandeurs se manifestant à l’échelle des particules.

3. Compression uniaxiale quasi-statique d’un assemblage de cylindres élastiques : Étude numérique et expérimentale

Figure 3.14 – Énergie de déformation totale en fonction de la compacité lors de la com-pression d’un assemblage de particules néo-hookéennes. Les données expérimentales sont indiquées par les symboles carrés rouges ; les données numériques, calculées avec le coeffi-cient de frottement µ_f = 0, 3, sont représentées par les disques bleus. Encart : comparaison expérience-numérique de l’énergie de déformation en prenant cette fois des coefficients de frottement µf = 0, 1 (disques cyans) et µf = 0, 7 (disques verts).