Valeurs espérées de coût et de temps

Exemple 8 La probabilité que l'exécution de la tâche t10, ayant deux prédécesseurs t6 et t7 dans le plan admissible Pa= [[t2 → t₇], [t1 → t₆]] → t10→ t₁₅→ t₁₈, dure 4 unités de temps lorsqu'elle commence à 20, est égale à 0.1. La probabilité que t10 s'exécute durant l'intervalle [20, 24] sachant que t6 se termine à 14 et t7 à 20 est égale à 0.1. En eet, P rt10(d¹_t10 = 4|s¹_t10 = 20) = 0.1 et

pr_debut(s¹_t10 = 20|(e¹_t6 = 14, e¹_t7 = 20)) = 1 et par suite P r([20, 24]|(14, 20)) = 1 · 0.1 = 0.1.

Par contre, la probabilité que t10 s'exécute durant l'intervalle [20, 24] sachant que t6 se termine à 14 et t7 à 22 est égale à 0. En eet, P rt10(d¹_t10 = 4|s¹_t10 = 20) = 0.1 et prdebut(s¹_t10 = 20|(e¹_t6 = 14, e²_t7 = 22)) = 0 et par suite P r([20, 24]|(14, 22)) = 0 · 0.1 = 0. Cela signie que cet intervalle n'est pas exécutable si t6 termine son exécution à la date 14 et t7 à la date 22.

Pour simplier, nous notons, que ce soit le type de la tâche t, la probabilité d'exécution de t durant un intervalle d'exécution possible Ir

t par P r(Ir t).

6.2 Valeurs espérées de coût et de temps

La valeur espérée de coût représente une moyenne (espérance) entre le coût et la probabilité. La valeur espérée de temps représente une moyenne (espérance) entre la durée d'exécution et la probabilité. Pour préférer un plan aux autres, il faut qu'il ait une valeur espérée minimale pour pouvoir réduire le coût et le temps tout en ayant une grande probabilité d'exécution. Pour en choisir un seul, nous calculons la valeur espérée de coût et de temps de toutes les tâches des plans admissibles. Ensuite, nous calculons les valeurs espérées totales de coût et de temps de chaque plan admissible en fonction des valeurs espérées de ses tâches.

6.2.1 Calcul des valeurs espérées de coût et de temps d'une tâche

Pour chaque tâche dans un plan admissible Pa, nous calculons les valeurs espérées de coût et de temps. La valeur espérée de coût est calculée en fonction des coûts associés aux durées d'exécution de la tâche et des probabilités associées à ses intervalles d'exécution (calculées dans la section 6.1.2). La valeur espérée de temps est quant à elle calculée en fonction des durées possibles d'exécution de la tâche et des probabilités associées à ses intervalles d'exécution.

Soit une tâche t appartenant à l'ensemble des tâches d'un plan admissible Pa(t ∈ T (Pa)). Soit ∆_t = {d¹_t, d²_t, ..., d^m_t } l'ensemble des durées d'exécution possibles de t. Soit Ct = {c¹_t, c²_t, ..., c^m_t } l'ensemble des coûts d'exécution de t, où cr

t est le coût de l'exécution de la tâche t pendant la durée dr

6.2.1.1 Cas d'une tâche initiale

La valeur espérée de coût d'une tâche initiale t est égale à la somme des produits des proba-bilités de chaque intervalle d'exécution possible de t par le coût associé à la durée de l'intervalle d'exécution. Plus formellement, la valeur espérée de coût de t est calculée de la façon suivante :

ϑ(cout(t)) =

m

X

r=1

P r(I_t^r) · c^r_t (6.4)

La valeur espérée de temps d'une tâche initiale t est égale à la somme des produits des probabilités de chaque intervalle d'exécution possible de t par la durée de l'intervalle d'exécution. Plus formellement, la valeur espérée de temps de t est calculée de la façon suivante :

ϑ(temps(t)) =

m

X

r=1

P r(I_t^r) · d^r_t (6.5)

Exemple 9 La valeur espérée de coût de la tâche t1 du plan admissible Pa = [[t2 → t₇], [t1 → t₆]] → t₁₀ → t₁₅ → t₁₈ de notre exemple, est égale à 0.2 · 12 + 0.8 · 20 = 18.4. Sa valeur espérée de temps est égale à 0.2 · 5 + 0.8 · 6 = 5.8.

6.2.1.2 Cas d'une tâche intermédiaire ou nale

Les valeurs espérées de coût et de temps d'une tâche intermédiaire ou nale dépendent des probabilités des intervalles d'exécution possibles de la tâche et soit des coûts associés à ses durées d'exécution soit des durées d'exécution possibles de la tâche.

Cas d'une tâche OU

Si t a un seul prédécesseur t0dont l'ensemble des dates de n possibles est Et0 = {e1 t0, e2

t0, . . . , e^p_t0}, alors soit P r(Ir

t|e^j_t0) (section 6.1.2) la probabilité que t s'exécute pendant une durée dr

t sachant que son prédécesseur t0 termine son exécution à ej

t0. Nous calculons les valeurs espérées de coût et de temps comme suit :

ϑ(cout(t|t⁰)) = p X j=1 m X r=1 P r(I_t^r|e^j_t0) · c^r_t (6.6) ϑ(temps(t|t⁰)) = p X j=1 m X r=1 P r(I_t^r|e^j_t0) · d^r_t (6.7)

6.3. Conclusion 103 Exemple 10 La valeur espérée de coût de la tâche t6 ayant un seul prédécesseur t1 dans le plan admissible Pa = [[t₂ → t₇], [t₁ → t₆]] → t₁₀ → t₁₅ → t₁₈ de notre exemple, est égale à 0.3·8+0.3·10+0.4·20 = 13.4. Sa valeur espérée de temps est égale à 0.3·8+0.3·9+0.4·10 = 9.1. Les valeurs espérées de coût et de temps de la tâche t7 ayant un seul prédécesseur t2 dans le même plan admissible sont égales à 85 et 32 respectivement.

Cas d'une tâche ET

Si t a un ensemble de prédécesseurs directs t1, t₂, . . . , t_n, alors soit Eti = {e¹_ti, e²_ti, . . . , e^ji

ti} l'ensemble des dates de n possibles de ti ∈ {t₁, t₂, . . . , t_n} alors :

la valeur espérée de coût de t est calculée de la façon suivante : ϑ(cout(t|t₁, . . . , t_n)) =

n

X

i=1

ϑ(cout(t|t_i)) (6.8)

la valeur espérée de temps de t est calculée de la façon suivante :

ϑ(temps(t|t1, . . . , tn)) = maxⁿ_i=1ϑ(temps(t|ti)) (6.9) Exemple 11 La valeur espérée de coût de la tâche t10 ayant deux prédécesseurs t6 et t7 dans le plan admissible Pa = [[t₂ → t₇], [t₁ → t₆]] → t₁₀ → t₁₅ → t₁₈ de notre exemple, est égale à 0.1 · 2 + 0.3 · 8 + 0.6 · 20 + 0.1 · 2 + 0.1 · 2 + 0.3 · 8 + 0.3 · 8 = 19.8.

Pour simplier, nous notons, que ce soit le type de la tâche t, la valeur espérée de coût de t par ϑ(cout(t))et la valeur espérée de temps de t par ϑ(temps(t)).

6.3 Conclusion

La propagation de probabilités dans les plans admissibles du graphe ET/OU permet de calculer les probabilités sur les intervalles d'exécution des tâches. Ces probabilités dépendent des probabilités des durées d'exécution et des probabilités que les tâches prédécesseurs aient terminé leur exécution. Les probabilités sur les intervalles d'exécution permettent de calculer les valeurs espérées de coût et de temps des tâches, pour ensuite les utiliser an de sélectionner un seul plan-solution. Le calcul de ces valeurs varie selon que la tâche est une tâche initiale, intermédiaire ou nale et aussi selon les deux types de tâches : tâches OU et tâches ET . La dernière étape de sélection du plan-solution est expliquée dans le chapitre suivant.

Chapitre 7

Sélection multi-critères

Choisir le meilleur plan parmi tous ceux qui sont temporellement admissibles est une étape très importante. C'est ici que les préférences de l'utilisateur entrent en jeu. Comme nous tra-vaillons dans un environnement incertain, il est dicile de trouver le meilleur plan au sens vrai du mot. Il s'agit plutôt d'un plan préféré selon un ou plusieurs critères. C'est pourquoi nous orons à l'utilisateur la possibilité d'indiquer ses critères de choix du meilleur plan selon ses attentes. Le planicateur en tient compte et lui propose un plan conseillé pour l'exécution an de réaliser l'objectif initial tout en respectant toutes les contraintes et répondant à ses attentes.

Dans ce chapitre, nous exposons les méthodes utilisées par notre planicateur an de sélec-tionner le meilleur plan parmi tous ceux qui sont admissibles. La sélection du meilleur plan se fait en fonction des probabilités, valeurs espérées, coûts et durées. Une fois le meilleur plan est sélectionné, le planicateur propose à l'utilisateur le meilleur ordonnancement possible pour les tâches du plan en question.

Dans ce qui suit, nous présentons tout d'abord les méthodes de sélection d'un plan-solution. Ensuite nous donnons la dénition d'un ordonnancement et détaillons les méthodes de sélection du meilleur ordonnancement.