Sélection du meilleur plan

Soit PAl'ensemble des plans admissibles sélectionnés dans la section5.2.2du chapitre5. Rap-pelons qu'un plan admissible est un chemin dans le graphe ET/OU qui respecte les contraintes temporelles qualitatives et quantitatives. Chaque plan admissible Pa∈ P_Aest composé d'un en-semble de tâches t1, t₂, . . . , t_nreliées par des relations de précédence indiquant un ordre d'exécu-tion entre elles et dont leurs réalisad'exécu-tions entraînent la réalisad'exécu-tion du but initial. Chaque tâche ti ∈ T (P_a) (i = 1..n) possède un ensemble d'intervalles d'exécution possibles Iti = {I_t¹_i, I_t²_i, . . . , I_t^m_i} tel que Ij

ti = [s^j_ti, e^j_ti] où sj ti et ej

ti sont respectivement une date de début et une date de n d'exécution possibles de tiavec une probabilité d'exécution P r(Ij

ti)où j = 1..m. Rappelons aussi 105

que la valeur espérée de coût de ti est notée ϑ(cout(ti)) et la valeur espérée de temps de ti est notée ϑ(temps(ti)).

7.1.1 Sélection selon la probabilité

Le plan-solution le plus probable [Baki et al. 04, Baki & Beynier 04], est celui ayant la plus grande probabilité. An de choisir le plan le plus probable, le planicateur calcule les probabilités de tous les plans admissibles et sélectionne celui ayant la probabilité la plus élevée. La probabilité d'exécution d'une tâche est égale au produit de toutes les probabilités de ses intervalles d'exécution possibles. La probabilité d'exécution d'un plan admissible est égale à la somme de toutes les probabilités d'exécution de ses tâches. Ainsi, la probabilité d'exécution d'un plan est égale au produit cartésien de tous les intervalles d'exécution de toutes ses tâches. Plus formellement : P r(P_a) = n X i=1 Π^m_j=1P r(I_t^j_i) (7.1)

Nous notons par Ps le plan-solution choisi pour être exécuté. Si l'utilisateur souhaite avoir le plan le plus probable en respectant toutes les contraintes de l'environnement, il choisit celui dont la probabilité est la plus élevée :

Ps = argmax P r(P_a)

P_a∈ P_A (7.2)

7.1.2 Sélection à base d'une seule fonction de valeur espérée

Si l'utilisateur souhaite avoir un compromis entre une grande probabilité d'exécution et un coût et temps réduits [Baki & Bouzid 05b, Baki 05], le planicateur tient compte dans la sélection du plan-solution des valeurs espérées de coût et de temps des tâches calculées dans la section6.2 du chapitre 6. Nous présentons dans ce qui suit la méthode de calcul des valeurs espérées de coût et de temps des plans admissibles. Ensuite, nous sélectionnons le meilleur plan-solution en utilisant une fonction de valeur espérée valorisant l'importance qu'attache l'utilisateur au temps et au coût.

La valeur espérée totale de coût d'un plan admissible Pa, notée ϑ(cout(Pa)), est calculée en additionnant toutes les valeurs espérées de coût (section6.2.1du chapitre6) de toutes les tâches de ce plan. Plus formellement :

ϑ(cout(P_a)) =

n

X

i=1

ϑ(cout(t_i)) (7.3)

tel que n est le nombre des tâches dans le plan Pa.

La valeur espérée totale de temps d'un plan admissible Pa (initialisée à max(ϑ(temps(t))) où t ∈ TI) est calculée selon le type de la tâche courante comme suit :

7.1. Sélection du meilleur plan 107  si ti est une tâche OU et a un seul prédécesseur tj (tj → t_i) avec une valeur espérée ϑ(temps(t_j)), alors on ajoute ϑ(temps(tj))à la valeur espérée totale du plan. Plus formel-lement :

ϑ(temps(P_a)) = ϑ(temps(P_a)) + ϑ(temps(t_j)) (7.4)  si ti est une tâche ET et a un ensemble de prédécesseurs t1, t₂, . . . , t_r ([t1, t₂, . . . , t_r] → t_i) alors, on ajoute le maximum de la valeur espérée des tâches t1, t2, . . . , trà la valeur espérée totale du plan. Plus formellement :

ϑ(temps(Pa)) = ϑ(temps(Pa)) + max^r_k=1ϑ(temps(tk)) (7.5) Pour obtenir la valeur espérée totale du plan, nous additionnons ses valeurs espérées de temps et de coût. Nous pondérons cette somme par des coecients pour permettre d'ajuster l'importance relative aux diérentes valeurs espérées selon les préférences de l'utilisateur. Nous traduisons ces préférences en une fonction ϑ(Pa) : ϑ où ϑ est la fonction valeur espérée ayant comme coecients α pour le coût et β pour le temps. Ces coecients expriment l'importance qu'accorde l'utilisateur au coût ou au temps. L'équation obtenue représente un problème d'ana-lyse multi-critères. Plus formellement, cette valeur espérée est exprimée comme suit :

ϑ(Pa) = α · ϑ(cout(Pa)) + β · ϑ(temps(Pa)) (7.6) tels que α + β = 1, 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1 et Pa ∈ P_A. Dans le cas où l'utilisateur n'a pas de préférence entre le coût et le temps, les coecients α et β ont la même valeur (0.5). Dans le cas où il préfère un critère par rapport à l'autre, le coecient associé à celui-ci est plus élevé que l'autre (en gardant toujours α + β = 1).

Parmi tous les plans admissibles, nous choisissons pour l'exécution le plan qui a la valeur espérée minimale :

Ps = argmin ϑ(Pa)

P_a∈ P_A (7.7)

7.1.3 Sélection à base d'un ordre lexicographique

Lorsque plusieurs plans répondent aux critères de préférence de l'utilisateur, il donne une priorité à un seul critère par rapport aux autres. Dans ce qui suit, nous présentons certaines méthodes de choix d'un seul plan-solution selon un ordre lexicographique exprimé sous la forme des priorités données aux probabilité, coût et temps. Nous écrivons critère1 ≺ critère2 pour indiquer que critère1 est prioritaire sur critère2 dans le choix du plan-solution.

7.1.3.1 Probabilité ≺ coût ≺ temps

Étant donné que l'utilisateur voudrait un plan avec une très grande probabilité d'exécution et an de ne pas analyser tous les plans admissibles, nous éliminons ceux qui ont une probabilité inférieure à un seuil quelconque [Baki & Bouzid 05c,Baki & Bouzid 05a]. Déterminer un tel seuil est un problème ouvert. C'est pourquoi nous considérons que la moyenne des probabilités d'exécution des plans admissibles calculés dans la section 7.1.1 représente un seuil de compa-raison des plans. Soient P r la moyenne des probabilités d'exécution de l'ensemble PA des plans admissibles et |PA|sa cardinalité. La moyenne des probabilités est calculée comme suit :

P r = P|PA|

a=1(P r(Pa)) |P_A|

Ensuite, nous éliminons les plans admissibles qui ont une probabilité d'exécution inférieure au seuil trouvé. L'ensemble des plans vériant cette propriété est appelé PV.

Le deuxième critère de préférence par ordre de priorité est le coût. Parmi les plans sélectionnés dans l'étape précédente, nous sélectionnons celui qui a le coût total minimal. Soit cout(t) la moyenne du coût d'exécution de la tâche t. Cette moyenne est égale à la somme des coûts d'exécution des intervalles d'exécution de t divisée par leur nombre. Le coût d'exécution total d'un plan admissible Pv ∈ P_V est égal à la somme des moyennes des coûts d'exécution de toutes les tâches de Pv. Plus formellement : cout_total(Pv) = Pn

i=1cout(t_i) où ti ∈ T (P_v) et nreprésente le nombre des tâches de Pv. Le plan choisi est celui qui a le coût total d'exécution minimal :

Ps = argmin cout_total(Pv)

P_v ∈ P_V (7.8)

Enn, si plusieurs plans sont sélectionnés suite à l'étape précédente, le critère temps sera pris en compte. Ainsi, parmi les plans résultants, le planicateur sélectionne pour l'exécution le plan ayant le temps d'exécution minimal.

Le temps d'exécution total d'un plan admissible Paest égal à la diérence du maximum des dates de n des tâches nales moins le minimum des dates de début des tâches initiales. Ce temps représente la durée de l'exécution de Pa entre le début au plus tôt et la n au plus tard de son exécution eective. Plus formellement : temps_total(Pa) = max(ET_F) − min(ST_I) où T_F et TI sont respectivement l'ensemble de tâches nales et l'ensemble de tâches initiales de Pa. ETF et STI représentent respectivement l'ensemble des dates de n d'exécution possibles de TF

et l'ensemble des dates de début d'exécution possibles de TI.

Après le calcul des temps d'exécution totaux de tous les plans-solution (PS = ∪P^s) choisis ci-dessus, le planicateur sélectionne pour l'exécution le plan qui a le temps d'exécution total

7.2. Sélection du meilleur ordonnancement 109