Vérité et Adéquation

§7.3.1 Comme dans le chapitre précédent, on supposera dans cette section queΩcontient 1 et que la fonction m choisie (voir §7.1) satisfait m(1) = ∞. On définit alors une notion de vérité, on montre un résultat d’adéquation forte, et on montre un résultat de complétude interne pour le tenseur.

Vérité

§7.3.2 DÉFINITION(GAIN).

Un projet additifa= (a, A) est gagnant lorsque a = 0 et A =P

i∈IAλAi, où 1_A= 1 et pour tout i ∈ I^A le graphe A_iest une union disjointe de transpositions (voir Définition §6.3.3).

§7.3.3 DÉFINITION(VÉRITÉ).

Une conduite A est vraie lorsqu’elle contient un projet additif gagnant. §7.3.4 PROPOSITION(CONSISTANCE).

Les conduites A et A‹_{ne peuvent être simultanément vraies.}

Démonstration. Soita= (0, A) eta⁰= (0, A⁰) deux projets additifs de même support V^A. Leur interaction est calculée par la somme

X

(i, j)∈IA×IA0

1

Card(IA)Card(IA0)JA_i, A⁰_jK

Il est facile de montrer (voir la démonstration de la Proposition §6.3.6) que les deux seuls cas possibles sont ¿a,a0À = 0 et ¿a,a0À = ∞. Cela montre queaeta0ne peuvent être

orthogo-naux. ,

§7.3.5 PROPOSITION(COMPOSITIONALITÉ).

Soitf= (0, F) eta= (0, A) deux projets additifs gagnants dans les conduites A(B et A respec-tivement. Alors B est une conduite vraie. De plus, si B 6= T_VB, alorsf::aest un projet additif gagnant.

Démonstration. Puisque les mises defetasont nulles, on a

¿f,aÀ =JF, A_K= ^X

(i, j)∈IF×IA

1

Or chacun des termes_JF_i, A_jKsont soit nuls soient égaux à ∞. On en déduit que ¿f,aÀ est soit nul, soit égal à ∞.

– Supposons que ¿f,aÀ = ∞. Puisquef::aest, par définition de A(B, un projet additif dans B de mise ¿f,aÀ, on en déduit que B contient un projet additif de mise infinie, et donc B = TVB par la Proposition §7.1.6. Donc B est vraie puisqu’elle contient le projet additif0_VB.

– Supposons maintenant que ¿f,aÀ = 0. Dans ce cas, le raisonnement de la proposition §6.3.7, appliqué à chaque couple de tranches (i, j) ∈ I^F× I^A, montre que F_i:: A_j est une union disjointe de transpositions. On conclut que

f::a= (0, ^X

(i, j)∈IF×IA

1

Card(IF)Card(IA)^{Fi:: Aj)} est un projet additif gagnant dans B.

En particulier, si l’on suppose que B 6= TVB, on se trouve nécessairement dans le second cas (c’est-à-dire ¿f,aÀ = 0) car ¿f,aÀ = ∞ implique B = TVB. ,

Calcul des séquents

§7.3.6 DÉFINITION.

On fixeV = {Xi( j)}_{i, j∈N} un ensemble de variables localisées⁴. Pour i ∈ N, l’ensemble Xi= {Xi( j)}_j∈Nsera appelé le nom de variable Xi, et on appellera un élément de Xiune variable de nom⁴ Xi. On suppose de plus que chaque nom de variable Xiest associé à une taille niet que pour chaque m ∈ N∗, il existe une infinité d’entiers i ∈ N tels que ni= m.

Pour i, j ∈ N on définit le lieu]Xi( j) de la variable Xi( j) comme l’ensemble {(i, m) | jni6m6( j + 1)ni− 1}

§7.3.7 DÉFINITION(FORMULES DE LOCMALL).

On définit inductivement les formules de la logique linéaire multiplicative additive localisée locMALL ainsi que leur lieu comme suit :

– Une variable X_i( j) de nom X_iest une formule dont le lieu est défini comme]X_i( j) ; – Si X_i( j) est une variable de nom X_i, alors (X_i( j))‹_{est une formule de lieu}]X_i( j). – Si A, B sont des formules de lieux X , Y tels que X ∩Y = ;, alors A ⊗B (resp. A ^& B, resp.

A & B, resp. A ⊕ B) est une formule de lieu X ∪ Y ; – Les constantes T]Γsont des formules de lieu]Γ; – Les constantes 0]Γsont des formules de lieu]Γ.

Si A est une formule, on écrira]A le lieu de A. On définit également les séquents `Γde locMLL lorsque les formules deΓont des lieux deux à deux disjoints⁵.

§7.3.8 DÉFINITION(FORMULES DEMALL_T,0).

Les formules de MALL_T,0sont définies par la grammaire suivante : F := Xi| X‹

i | F ⊗ F | F ^& F | F & F | F ⊕ F | 0 | T où les X_isont les noms de variables.

§7.3.9 REMARQUE. À toute formule de locMALL_T,0 correspond une unique formule de MALL_T,0 obtenue simplement en remplaçant les variables par leur nom, c’est-à-dire en appliquant la transformation X_i( j) 7→ Xi pour chaque variable localisée X_i( j). Inversement, il est possible de localiser une formule de MALL_T,0: si e est une énumération des occurrences des noms de variables dans A, on peut définir une formule de locMLAL_T,0 A^e.

4. Les noms de variables sont les variables au sens habituel, tandis que la notion de variable localisée se rap-proche de la notion usuelle d’occurrence.

7.3. VÉRITÉ ETADÉQUATION 147 Ax ( j 6= j0₎ ` Xi( j)‹<sub>, Xi( j</sub>0) ` A,∆ ` A‹<sub>,</sub>Γ Cut<sup>6</sup> `∆,Γ ` A,∆ ` B,Γ ⊗⁶ ` A ⊗ B,∆,Γ ` A, B,Γ & ` A <sup>&</sup> B,Γ ` Ai,Γ ⊕ⁱ ` A0⊕ A1,Γ <sup>` A,</sup> Γ ` B,Γ & ` A & B,Γ >]Γ

` >,Γ Pas de règle pour 0.

FIGURE7.2 – Calcul des séquents localisé locMALL

Ax ` X‹ i , Xi ` A,∆ ` A‹<sub>,</sub>Γ Cut `∆,Γ ` A,∆ ` B,Γ ⊗ ` A ⊗ B,∆,Γ <sup>` A, B,</sup> Γ & ` A <sup>&</sup> B,Γ ` Ai,Γ ⊕ⁱ ` A0⊕ A1,Γ `Γ, A `Γ, B & `Γ, A & B >

` >,Γ Pas de règle pour 0.

FIGURE7.3 – Calcul des séquents MALL_T,0

§7.3.10 DÉFINITION(PREUVES DE LOCMALL_T,0).

Une preuve de locMALL_T,0est une preuve obtenue à partir des règles de calcul des séquents de la figure 7.2, et telle que toute variable Xi( j) et toute négation de variable (Xi( j))‹_apparaît

dans au plus une règle sans prémisses (axiome ou >). §7.3.11 DÉFINITION(PREUVES DEMALL_T,0).

Une preuve de MALL_T,0est une preuve obtenue à partir des règles de calcul des séquents de la figure 7.3.

§7.3.12 REMARQUE. À toute preuve de locMALL_T,0correspond une preuve de MALL_T,0 en rempla-çant chaque variable par son nom. Inversement, étant donnée une énumération e des occur-rences de noms de variables dans les règles axiomes d’une preuve de MALL_T,0 π, on peut étendre cette énumération à l’ensemble de l’arbre de dérivation afin d’obtenir une preuve de locMALL_T,0πe.

Adéquation forte

§7.3.13 DÉFINITION(INTERPRÉTATIONS).

On définit une base d’interprétation comme une fonctionΦqui associe à chaque nom de va-riable Xiun comportement de support {0, . . . , ni− 1}.

§7.3.14 DÉFINITION(INTERPRÉTATION DES FORMULES DE LOCMALL_T,0).

SoitΦune base d’interprétation. On définit l’interprétation IΦ^{(F) selon} Φd’une formule F inductivement :

– Si F = Xi( j), alors IΦ(F) est la délocalisation (i.e. un comportement) deΦ(X_i) suivant la bijection x 7→ (i, jni+ x) ;

– Si F = (Xi( j))‹_{, on définit le comportement IΦ(F) = (IΦ(Xi( j)))}‹_;

– Si F = T]Γ(resp. F = 0]Γ), on définit IΦ(F) comme le comportement T]Γ(resp. 0]Γ) ;

6. Il est nécessaire que (]A∪]∆)∩(]B∪]Γ)= ;pour appliquer la règle⊗et que]∆∩]Γ= ;pour appliquer les règles de coupure et de mix. De même, on demande que (]A)∩(]B)= ;pour appliquer la règle &.

– Si F = A ⊗ B, on définit le comportement IΦ(F) = IΦ(A) ⊗ IΦ(B) ; – Si F = A ^& B, on définit le comportement IΦ(F) = IΦ(A) ^& IΦ(B) ; – Si F = A ⊕ B, on définit le comportement IΦ(F) = IΦ(A) ⊕ IΦ(B) ; – Si F = A & B, on définit le comportement IΦ(F) = IΦ(A) & IΦ(B).

De plus, un séquent `Γsera interprété comme le ^& des formules deΓ, que l’on écrira

&

Γ. §7.3.15 DÉFINITION(INTERPRÉTATION DES PREUVES DE LOCMALL_T,0).

SoitΦune base d’interprétation. On définit l’interprétation d’une preuve IΦ(π) — un projet additif — inductivement :

– siπ consiste uniquement en une règle axiome introduisant ` (Xi( j))‹_{, Xi( j}0), on définit IΦ(π) comme le projet additifFaxobtenu par la bijection (i, jn_i+ x) 7→ (i, j⁰n_i+ x) ; – siπ consiste uniquement en une règle T_]Γ, on définit IΦ(π) = (0,(]Γ, ;)) ;

– siπ est obtenue à partir de π0par une règle ^& , alors IΦ(π) = IΦ(π0) ;

– siπ est obtenue à partir de π1etπ2par une règle ⊗, on définit IΦ(π) = IΦ(π1) ⊗ IΦ(π0) ; – siπ est obtenue à partir de π0par une règle ⊕ⁱintroduisant une formule de lieu V , on

définit IΦ(π) = IΦ(π0) ⊗0V;

– siπ de conclusion `Γ, A0& A1est obtenue à partir deπ0etπ1de conclusions respectives `Γ, A₀et `Γ, A₁par une règle &, on définit :

ψi : x 7→ (x, i) (i = 0,1) ˜

ψi = ((ψi)_]Γ)⁻¹ (i = 0,1) ˙

ψi = ((ψi)_]Ai)⁻¹ (i = 0,1) L’interprétation deπ est alors définie comme :

IΦ⁽π) =Distr^ψ˜0, ˜ψ1 ˙

ψ0, ˙ψ1::(ψ0(IΦ⁽π0)) ⊗0]A1+ ψ1(IΦ⁽π1)) ⊗0]A0)

– si π est obtenue à partir de π1 et π2 par une règle de coupure, on définit IΦ(π) = IΦ(π1) :: IΦ(π2).

§7.3.16 La figure 7.4 représente les étapes de la formation de l’interprétation de la règle &. §7.3.17 LEMME.

Soit A, B, C des comportements. Alors (A(B) ⊕ C ⊂ A((B ⊕ C).

Démonstration. Il est équivalent de montrer l’inclusion A ⊗ (B‹_{& C}‹_{) ⊂ (A ⊗ B}‹_{) & C}‹_{. En}

utilisant la définition de &, on a :

A ⊗ (B‹_{& C}‹_{) = A ⊗ ((B↑} C)‹_{∩ (C↑} B)‹₎ = {a⊗d|a∈ A,d∈ ((B↑C)‹_{∩ (C↑} B)‹_)}‹‹ (A ⊗ B‹_{) & C}‹ _{= (((A ⊗ B}‹₎‹_)↑ C)‹_{∩ (C↑} A,B)‹ = ((A(B)↑C)‹_{∩ (C↑} A,B)‹ = ((A(B)↑C∪ C↑A,B)‹

Il suffit alors de montrer que tout projet additif de la formea⊗d, oùaest un élément de A et

d∈ ((B↑C)‹_{∩ (C↑B)}‹_{), est orthogonal à tout projet additif dans E = (A(B)↑C∪ C↑A,B. Soite}

un projet additif dans E. Alors :

1. Soite∈ C↑A,B, c’est-à-diree=c⊗0_VA∪VB. Alors ¿a⊗d,eÀ = ¿d,c⊗0_VBÀ. Or, puisque

d∈ (C↑B)‹_{), on a ¿d,c⊗0}

VBÀ 6= 0, ∞. Donce‹ a⊗d.

2. Soite∈ (A(B)↑C, c’est-à-diree=f⊗0_VC pourf∈ A(B. On a alors ¿e,a⊗dÀ = ¿f⊗0_VC,a⊗dÀ

= ¿f, (a⊗d) ::0_VCÀ = ¿f,a⊗ (d::0_VCÀ = ¿f::a,d::0_VCÀ = ¿(f::a) ⊗0_VC,dÀ

7.3. VÉRITÉ ETADÉQUATION 149

Or, commef::a∈ B, (f::a) ⊗0_VC∈ B↑C. Ordest par définition dans (B↑C)‹_{. Finalement,}

e‹ a⊗d. ,

§7.3.18 PROPOSITION(ADÉQUATION FORTE LOCALISÉE).

SoitΦune base d’interprétation. Si π est une preuve de conclusion `∆, alors IΦ(π) est un projet additif gagnant dans le comportementIΦ(`∆).

Démonstration. On montre le résultat par induction sur la dernière règle deπ. Par définition, l’interprétation de la règle axiome introduisant ` (Xi( j))‹_{, Xi( j}0) est un projet additif gagnant dans IΦ^(Xi( j))(IΦ^(Xi( j0)) qui est égale à IΦ^((Xi( j))‹ ^& _{Xi( j}0)). Ensuite :

– siπ est la règle T_]Γ, alors IΦ⁽π) = (0,0]Γ^{) est gagnant et dans T}]Γ^;

– les cas correspondant aux connecteurs additifs sont traités de manière similaire à ce qui a été fait dans la démonstration de la Proposition §6.3.19 ;

– si la dernière règle est une règle ⊕ — on supposera sans perte de généralité qu’il s’agit d’une règle ⊕¹: .. .^π0 `Γ, A<sub>1</sub> ⊕<sup>1</sup> `Γ, A1⊕ A2 Alors IΦ(π) = IΦ(π0) ⊗0_V, et IΦ(`Γ, A₁⊕ A2) = (

&

Γ) ^& (A₁⊕ A2). On utilise le fait que (A(B) ⊕ C ⊂ A((B ⊕ C) (voir Lemme §7.3.17) pour montrer que l’on a l’inclusion IΦ(`Γ, A1) ⊕ I<sup>Φ</sup>(A2) ⊂ IΦ(`Γ, A1⊕ A2). Or, comme IΦ(π0) est un projet additif gagnant dans IΦ(`Γ, A1), IΦ(π) est un projet additif gagnant dans I<sub>Φ</sub>(`Γ, A1) ⊕ I^Φ(A2), et par conséquent c’est un projet additif gagnant dans IΦ(`Γ, A1⊕ A2) ;

– si la dernière règle est une règle & : .. .^π0 `Γ, A<sub>0</sub> .. .<sup>π</sup>1 `Γ, A₁ & `Γ, A₀& A₁

Dans ce cas, en utilisant les notations de la Définition §7.3.15, on a : IΦ(π) =Distr^ψ˜0, ˜ψ1

˙

ψ0, ˙ψ1::(ψ0(IΦ(π0)) ⊗0]A1+ ψ1(IΦ(π1)) ⊗0]A0)

Par définition, les interprétations IΦ⁽πi) sont des projets additifs gagnants dans les com-portements IΦ(`Γ, A<sub>i</sub>). On en déduit que les projets additifsψi(IΦ<sup>(</sup>πi)) sont gagnants et dans les comportementsψi(IΦ(`Γ, A_i)) (il est évident que les délocalisations préservent le gain). Étant donné que A + B ⊂ A & B lorsque A,B sont des comportements non vides, on en déduit⁷que

ψ0(IΦ(π0)) ⊗0]A1+ ψ1(IΦ(π1)) ⊗0]A0

est un projet additif gagnant dans

ψ0(IΦ(`Γ, A0)) &ψ1(IΦ(`Γ, A1))

Étant donné que la délocalisation d’un projet additif gagnant est un projet additif ga-gnant et que le projet additif implémentant la distributivité est la somme de deux dé-localisations, IΦ(π) est un projet additif gagnant. De plus, il est dans l’interpretation IΦ(`Γ, A<sub>0</sub>& A<sub>1</sub>) de `Γ, A₀& A₁par la Proposition §7.1.41.

– siπ est obtenue par une coupure entre π1etπ2, de conclusions respectives ` A,Γ1 et ` A‹_,Γ2, alors le Théorème §7.3.5 nous assure⁸que IΦ(π1) :: IΦ(π2) est un projet additif gagnant dans

&

Γ.

7. En effet, par hypothèse d’induction, les interprétation des séquents`Γ, A0et`Γ, A1sont non vides. 8. On passe ici sur un détail technique. Il faut pour utiliser le Théorème §7.3.5 dans le cas où une formule T]Γ

apparait dans un des séquents coupés que l’on est dans le cas où la mise produite par la coupure est nulle. Ceci est cependant immédiat puisque le graphe de l’interprétation de la règle d’introduction de T]Γest vide et ne peut donc produire de cycles.

]A₀ ]Γ ]A₁ IΦ⁽π1) IΦ⁽π2) (a) Interprétations deπ0etπ1 ψ0(]A0) ψ0(]Γ) ψ1(]A1) ψ1(]Γ) ψ0(IΦ(π1)) ψ1(IΦ(π2))

(b) Délocalisations des interprétations

ψ0(]A₀) ψ0(]Γ) ψ1(]A₁) ψ1(]Γ) ψ0(]A₀) ψ0(]Γ) ψ1(]A₁) ψ1(]Γ) ψ⁰ (IΦ (π⁰ )) ⊗ 0]A 1 ψ¹ (IΦ (π 1 )) ⊗ 0]A⁰ (I ) ψ0(IΦ(π0)) ⁰]A1 ψ1(IΦ(π1)) 0]A2

(c) Sommation des deux délocalisations

]A0 ]Γ ]A1 ]A₁ ]Γ ]A₀ ]A₀ ]Γ ]A₁ ]A1 ]Γ ]A0 IΦ (π 0 )⊗ 0]A 1 0]A 0 ∪ ]A 1 ]Γ IΦ (π 1 )⊗ 0]A 0 0]A 0 ∪ ]A 1 ]Γ (I ) (d) Interprétation deπ

FIGURE7.4 – Interprétation de la règle & (de conclusion `Γ, A0& A1) entre deux preuvesπ0

,

§7.3.19 En suivant les remarques §6.3.12 et §6.3.15, on peut également choisir des énumérations des occurences de variables afin de_«localiser_»les formules A et les preuvesπ de MALLT,0: on obtient des formules A^eet des preuvesπede locMALL_T,0. Le théorème suivant est alors une simple conséquence du précédent.

§7.3.20 THÉORÈME(ADÉQUATION FORTE POURMALL_T,0).

SoitΦune base d’interprétation,π une preuve de MALLT,0de conclusion `Γ, ete une énumé-ration des occurrences de variables dans les axiomes deπ. Alors IΦ(πe) est un projet additif gagnant dansIΦ(`Γe).

CHAPITRE 8

E

XPONENTIELLES

Table des matières

8.1 Changement de tranches et contraction . . . 154 8.2 Graphages . . . 158 8.2.1 Définitions . . . 158 8.2.2 Chemins et Cycles . . . 161 8.2.3 Découpages, Cycles et Exécution . . . 164 8.2.4 Raffinements . . . 166 8.2.5 Mesure des circuits . . . 169 8.2.6 Graphages épais et tranchés . . . 172 8.3 Géométrie de l’interaction . . . 173 8.3.1 Quantification des circuits . . . 173 8.3.2 Conduites Pérennes et Co-Pérennes . . . 176 8.3.3 Second Ordre . . . 179 8.3.4 Une construction des exponentielles . . . 180

8.4 Adéquation . . . 186

8.5 Contraction, Conduites polarisées et ELL_pol . . . 191

8.5.1 Définition et propriétés . . . 191 8.5.2 Conduites Polarisées . . . 194

1₁ 2₁ 3₁ 4₁ 5₁ 6₁ 7₁ 8₁ 9₁

12 22 32 42 52 62 42 52 62

FIGURE8.1 – Le graphe d’un projet de contraction

8.1 Changement de tranches et contraction

§8.1.1 Dans cette section, nous allons expliquer comment le fait d’avoir des arêtes entre différentes tranches permet d’interpréter la contraction. Pour cela, nous travaillerons uniquement avec des graphes épais tranchés. Le principe de la contraction par changement de tranche est très simple, et le graphe qui implémentera cette transformation sera essentiellement le graphe de la contraction additive (i.e. le graphe qui implémente la distributivité — Proposition §7.1.41 — restreint aux lieux des contextes) auquel on ajoute des changements de tranches.

Le graphe que l’on obtient est donc la superposition de deuxFax, mais où l’un des deux change de tranche.

§8.1.2 DÉFINITION(CONTRACTION).

Soitφ : VA→ W1etψ : VA→ W2deux bijections avec V^A∩ W1= V^A∩ W2= W1∩ W2= ;. On définit alors le projetCtr^φ_ψ= (0, Ctr^φ_ψ), où le graphe Ctr^φ_ψest défini par :

V^Ctrφψ = V^A∪ W1∪ W2 D^Ctrφψ = {1, 2} E^Ctrφψ = V^A× {1, 2} × {i, o} s^Ctrφψ =                  (v, 1, o) 7→ (φ(v),1) (v, 1, i) 7→ (v, 1) (v, 2, o) 7→ (ψ(v),1) (v, 2, i) 7→ (v, 2) t^Ctrφψ =                  (v, 1, o) 7→ (v, 1) (v, 1, i) 7→ (φ(v),1) (v, 2, o) 7→ (v, 2) (v, 2, i) 7→ (ψ(v),1) ωCtr^φ_ψ ≡ 1

§8.1.3 La figure 8.1 illustre le graphe du projetCtr^ψ_φ, avec les fonctionsφ : {1,2,3} → {4,5,6}, x 7→ x+3 etψ : {1,2,3} → {7,8,9}, x 7→ 10 − x.

§8.1.4 PROPOSITION.

Soita= (0, A) un projet dans un comportement A, tel que D^A∼= {1}. Soit φ, ψ deux délocalisa-tionsV^A→ W1,V^A→ W2de codomaines disjoints. AlorsCtr^ψ_φ::a∈ φ(A) ⊗ ψ(A).

Démonstration. On notera Ctr le graphe Ctr^ψ_φ pour simplifier les notations. On calcule tout d’abord A :·:Ctr. On a A^‡{1,2}= (V^A× {1, 2}, E^A× {1, 2}, s^A× Id{1,2}, t^A× Id{1,2},ωA

8.1. CHANGEMENT DE TRANCHES ET CONTRACTION 155

1₁ 2₁ 3₁ 4₁ 5₁ 6₁

12 22 32 42 52 62

(a) Le graphe du dessinCtrφ ψ 1 2 A 1₁ 1₂ 2₁ 2₂ B

(b) Les graphes A et B des dessinsa et b

FIGURE8.2 – Les graphes des projetsCtr^φ_ψ,aetb.

la projection : E^A× {1, 2} → E^A, (x, i) 7→ x. D’un autre côté, le graphe Ctr^†D A est un variant du graphe Ctr puisque D^A∼_{= {1}. Voici donc à quoi ressemble le branchement de Ctr}†_{D A} avec A^‡{1,2}:

V^A× {2} ^W1× {2} W₂× {2}

V^A× {1} W₁× {1} w₂× {1} φ

ψ

Le résultat de l’exécution est donc un graphe à deux tranches, c’est-à-dire de dialecte D^A× {1, 2} ∼= {1, 2}, qui contient le graphe φ(A) ∪ ψ(A) dans la tranche 1 et qui contient le graphe vide dans la tranche 2.

On en déduit que Ctr^ψ_φ::a est universellement équivalent (Définition §5.3.43) au projet

1

2φ(a) ⊗ ψ(a) +¹₂0par la Proposition §5.3.47. Commeφ(a) ⊗ ψ(a) ∈ φ(A) ⊗ ψ(A), alors le projet

1

2(φ(a) ⊗ ψ(a)) est un élément deφ(A) ⊗ ψ(A) par le lemme d’homothétie §7.1.17. De plus, A est un comportement, et par conséquentφ(A) ⊗ ψ(A) est un comportement et on en déduit que

1

2φ(a) ⊗ ψ(a) +¹₂0est dansφ(A) ⊗ ψ(A). ,

§8.1.5 Les figures 8.3, 8.4 et 8.5 illustrent le branchement et l’exécution d’une contraction avec deux graphes : l’un — A — n’ayant qu’une tranche, et l’autre — B — ayant deux tranches (les graphes sont ceux présentés Figure 8.2). On voit ici que l’hypothèse que D^A≡ {1} dans la Pro-position précédente est nécessaire, et que les changements de tranches permettent seulement d’implémenter la contraction des graphes n’ayant qu’une tranche.

1₁ 2₁ 3₁ 4₁ 5₁ 6₁ 1₂ 2₂ 3₂ 4₂ 5₂ 6₂ A A (a) Branchement de Ctrφ ψ^{et A} 11,1 21,1 31,1 41,1 51,1 61,1 1_2,1 2_2,1 3_2,1 4_2,1 5_2,1 6_2,1 1_1,2 2_1,2 3_1,2 4_1,2 5_1,2 6_1,2 1_2,2 2_2,2 3_2,2 4_2,2 5_2,2 6_2,2 (b) Branchement de Ctrφ ψ^{et B}

FIGURE8.3 – Branchements de Ctr^φ_ψavec les deux graphes A et B

3₁ 4₁ 5₁ 6₁

3₂ 4₂ 5₂ 6₂

(a) Résultat de l’exécution de Ctrφ ψ^{et A}

3₁ 4₁ 5₁ 6₁

(b) Le graphe deφ(a)⊗ ψ(a)

8.1. CHANGEMENT DE TRANCHES ET CONTRACTION 157

31 41 51 61

3₂ 4₂ 5₂ 6₂

3₃ 4₃ 5₃ 6₃

3₄ 4₄ 5₄ 6₄

(a) Résultat de l’exécution de Ctrφ ψ^{et B} 31 41 51 61 3₂ 4₂ 5₂ 6₂ 3₃ 4₃ 5₃ 6₃ 3₄ 4₄ 5₄ 6₄ (b) Graphe du projetφ(b)⊗ ψ(b)

§8.1.7 PROPOSITION.

SiE est un ensemble non vide de projets de même support V^E, F est une conduite non vide etf

est tel que ∀e∈ E,f::e∈ F, alorsf∈ E‹‹_(F.

§8.1.8 Cette proposition nous assure que si A est une conduite telle qu’il existe un ensemble E de projets n’ayant qu’une seule tranche avec A = E‹‹_{, alors un projet de contractionCtr}ψ φ

appartient à la conduite A(φ(A) ⊗ ψ(A).

Nous trouvons donc ici une raison géométrique à l’introduction des exponentielles. En effet, afin d’utiliser la contraction, nous devons nous assurer d’avoir uniquement des graphes à une tranche. Nous allons donc définir, pour tout comportement A, un comportement !A engendré par des projets n’ayant qu’une tranche.

§8.1.9 Il faut remarquer qu’une conduite !A engendrée par un ensemble de projets sans tranches ne peut être un comportement : les projets (a, ;) sont dans l’orthogonal de !A. Il faudra donc introduire les conduites pérennes comme les conduites engendrées par un ensemble de pro-jets sans tranches et de mise nulle. Dualement, nous introduirons les conduites co-pérennes comme les conduites orthogonales à des conduites pérennes.

Dans un premier temps, il faudra définir une manière d’associer à un projet sans mise un projet sans mise et sans tranches. On introduit pour cela les graphes mesurés, qui sont une généralisation des graphes orientés pondérés : un graphe mesuré sur un ensemble mesurable (X,B, m) est un graphe orienté pondéré dont les sommets sont des ensembles mesurables, et dont les arêtes sont des transformations préservant la mesure.

Dans le document Logique dans le Facteur Hyperfini: Géométrie de l'Interaction et Complexité (Page 146-159)