§2.4.1 Le programme de géométrie de l’interaction trouve son origine et son nom dans un article intitulé Towards a geometry of interaction [Gir89b].
ax ax ax ⊗ & cut cut ax ax ax ⊗ &
FIGURE2.12 – Calcul de l’exécution (partie typée non utilisée)
Cependant, on peut faire remonter l’histoire de la géométrie de l’interaction presque jus-qu’aux origines de la logique linéaire. En effet, Girard [Gir87b] remarque, très peu de temps après l’introduction de la logique linéaire [Gir87a], que les switchings utilisés pour la correc-tion des réseaux de preuves font apparaître une dualité entre les tests et les preuves. Ainsi, les tests d’un tenseur ne sont rien d’autre que des & , tandis que les tests pour les & sont des tenseurs. Il lui vient alors l’idée de représenter les preuves et les tests par des permutations, d’une part la permutation associée aux axiomes d’un réseau, d’autre part les permutations définies par le critère de correction.
Critère de Correction des Longs-Voyages §2.4.2 DÉFINITION.
SoitR une structure de preuve. Un itinéraire dans R est la donnée, pour chaque sommet ⊗ et chaque sommet & d’une permutation — les indications du sommet — parmi les deux choix possibles présentés dans la Figure 2.13. On noteraV(R) l’ensemble des itinéraires de la structureR.
§2.4.3 DÉFINITION.
SoitR une structure de preuve. On considère le graphe GRobtenu en ajoutant àR les arêtes de directions opposées, c’est-à-dire pour toute arête e dansR, on ajoute l’arête e∗entre les mêmes sommets mais d’orientation inverse.
Étant donné un itinéraire v ∈ V(R) et une arête e de GR, on définit alors une suite d’arêtes de GR, appelée voyage d’origine e, comme la suite e0e1. . . en telle que e0= en= e, et où ei+1
est obtenu comme l’image de eipar l’indication correspondante de l’itinéraire v. Un voyage est long lorsqu’il contient toutes les arêtes de GR.
§2.4.4 REMARQUE. Si, étant donné un itinéraire v, un voyage d’origine e est long alors tous les voyages (en changeant l’origine) sont longs.
§2.4.5 THÉORÈME(GIRARD[GIR87A]).
SoitR une structure de preuve. Si pour tout v ∈ V(R) le voyage d’origine e dans R est long, alorsR est séquentialisable.
Orthogonalité
§2.4.6 En accord avec les remarques que l’on a faites sur les réseaux de preuve, on va représen-ter une preuve non typée (un ensemble de liens axiomes) comme une permutationσ sur les atomes. On peut alors remarquer que chaque itinéraire v comme défini dans le critère des longs voyages détermine une autre permutationτv sur ces mêmes atomes. Les Figures 2.14 et 2.15 montrent l’exemple d’une structure de preuve, d’un itinéraire sur celle-ci et les per-mutations induites.
2.4. PREUVES COMMEPERMUTATIONS 29
..
. ... ... ...
⊗ ⊗
R L R L
(a) Indications pour les sommets⊗
..
. ... ... ...
& &
R L R L
(b) Indications pour les sommets &
..
. ... ...
cut ... ...
ax
(c) Indications pour les conclusions, axiomes et coupures
ax ax ax ⊗ ⊗ & & • • • • • •
FIGURE2.14 – Exemple d’un itinéraire pour une structure de preuve ; les atomes sont repré-sentés sur les arêtes sortant des noeuds axiomes
• • • • • •
(a) Permutation engendrée par les axiomes
• • • • • •
(b) Permutation engendrée par l’itinéraire
2.4. PREUVES COMMEPERMUTATIONS 31
§2.4.7 Il est alors possible de reformuler le critère de correction. Ainsi, le fait que le voyage d’origine e défini par un itinéraire v ∈ V(R) est long correspond exactement au fait que le produit στv
des permutations induites par les axiomes et l’itinéraire v est cyclique. §2.4.8 DÉFINITION.
Soitσ et τ deux permutations sur un même ensemble de cardinal n. Elles sont dites othogo-nales — ce que l’on noteraσ ⊥ τ — lorsque στ est cyclique, c’est-à-dire lorsque (στ)n= Id et (στ)k6= Id pour 16k < n.
§2.4.9 DÉFINITION(PERMUTATIONS ENGENDRÉES).
SoitR une structure de preuve. On notera X l’ensemble des arêtes qui sortent d’un sommet axiome. L’ensemble des sommets axiomes définit une permutation sur X : un élément x ∈ X est envoyé sur l’élément y ∈ X tel qu’il existe un sommet axiome dans R dont les deux arêtes sortantes sont x et y.
Soit maintenant v ∈ V(R) un itinéraire dans R. Alors v définit également une permutation sur X : un élément x est envoyé sur le premier élément y de X dans le voyage d’origine x induit par v.
§2.4.10 On peut alors reformuler le Théorème §2.4.5 en utilisant la notion d’orthogonalité que nous venons de définir.
§2.4.11 THÉORÈME.
SoitR une structure de preuve, σR la permutation engendrée par les liens axiomes, et S = {τv| v ∈ V(R)}. Alors R est séquentialisable si et seulement si ∀v ∈ V(R), σ ⊥ τv.
§2.4.12 DÉFINITION.
Un véhicule est la donnée d’un ensemble non vide X et d’une permutationσ sur cet ensemble. §2.4.13 DÉFINITION.
Un type est un ensemble non vide de véhicules égal à son bi-orthogonal. Deux véhicules (X,σ) et (Y ,τ) orthogonaux satisfaisant nécessairement X = Y , on note XA l’ensemble tel que (Y,σ) ∈ A ⇒ Y = XA.
§2.4.14 DÉFINITION.
Soit (X,σ) et (Y ,τ) deux véhicules tels que X ∩ Y = ;. On définit : (X,σ) ⊗ (Y ,τ) = (X ∪ Y ,σ ∪ τ)
§2.4.15 Nous allons maintenant définir l’exécution, qui représentera l’élimination des coupures. On souhaite, étant donné deux véhicules (X,σ) et (X ∪ Y ,τ), définir la permutation σtτ sur Y telle que :
x = σtτ(y) ⇔ ∃k ∈ N, x = τ(στ)k( y)
Cette permutation représente l’ensemble des chemins qui alternent entre la permutationτ et la permutationσ, et correspond intuitivement à l’élimination simultanée de plusieurs cou-pures ax − ax. Il reste cependant à vérifier qu’il s’agit bien d’une permutation. La première chose à remarquer est qu’il s’agit bien d’une fonction, et qu’elle est injective : puisqueτ et σ sont injectives il n’existe, pour chaque y ∈ Y , qu’au plus un entier k et un élément x ∈ Y tel que x = τ(στ)k( y). Il reste maintenant à montrer qu’elle est surjective. Pour cela, on suppose qu’il existe y ∈ Y tel il n’existe pas d’entier k et d’élément x ∈ Y tels que x = τ(στ)k( y). On peut alors remarquer que les éléments de la suite (τ(στ)k( y))k∈Nsont nécessairement deux à deux distincts puisqueτ et σ sont bijectives. Ces éléments étant dans X, un ensemble de cardinal fini, on tombe sur une contradiction.
§2.4.16 Afin de définir formellement la permutationσtτ, on considèrera les restrictions des permu-tationsτ(στ)k à l’ensemble Y , c’est-à-dire les injections partielles (τ(στ)k)Y. Ces injections partielles sont de domaines (resp. codomaines) deux à deux disjoints, et on peut alors définir σtτ comme l’union de ces fonctions.
(X,σ)t(X ∪ Y ,τ) = (Y ,[
k>0
(τ(στ)k)Y) = (Y ,σtτ)
§2.4.18 PROPOSITION.
Soit (X ,σ),(Y ,τ),(X ∪ Y ,ρ) des véhicules. Alors :
ρ ⊥ σ ∪ τ ⇔ (ρtσ ⊥ τ) ∧ (ρσ acyclique) §2.4.19 DÉFINITION.
Soit A, B deux types tels que XA∩ XB= ;. On définit :
A(B = {(XA∪ XB,ρ) | ∀(XA,σ) ∈ A,ρσ acyclique et (XB,ρtσ) ∈ B} §2.4.20 PROPOSITION.
Soit A, B deux types tels que XA∩ XB= ;.
(A(B⊥)⊥= {(XA,σ) ⊗ (XB,τ) | (XA,σ) ∈ A,(XB,τ) ∈ B}⊥⊥
§2.4.21 La proposition précédente nous assure que l’on a bien défini un«modèle»de la logique li-néaire multiplicative (sans unités). Afin de représenter un fragment plus important de la logique linéaire, il est cependant nécessaire de changer de cadre. Ainsi, le traitement des ad-ditifs nécessite de considérer des injections partielles plutôt que des permutations. De plus, il est nécessaire de travailler avec des espaces de dimension infinie pour traiter les expo-nentielles. Girard, dans les premières versions de la géométrie de l’interaction, a donc choisi de travailler avec des injections partielles d’un ensemble dénombrable. Il choisit cependant de considérer celles-ci comme des isométries partielles4dans l’algèbreL (H) des opérateurs continus sur un espace de HilbertH de dimension dénombrable. Si les premières construc-tions ne font qu’utiliser des noconstruc-tions de bases de la théorie des algèbres d’opérateurs pour représenter ces injections partielles sur N, la géométrie de l’interaction dans le facteur hy-perfini [Gir11a] fait usage de notions plus avancées de cette théorie. Nous avons donc choisi de présenter les premières versions de la GdI avec des opérateurs en lieu des injections par-tielles5afin de garder une présentation homogène de ces diverses constructions. Nous allons donc faire un rappel de notions de la théorie des algèbres d’opérateurs qui nous seront utiles pour présenter les constructions de Girard dans le Chapitre 4, et nous présenterons également certains résultats que nous utiliserons dans cette thèse (principalement dans les Chapitres 10 et 11).
4. Nous verrons plus tard qu’il s’agit d’un sous-ensemble des isométries partielles : les isométries partielles ap-partenant au groupoïde normalisant d’une sous-algèbre diagonale deL(H) définie par une base deH.
5. Une présentation des premières constructions en terme d’injections partielles peut être trouvée dans la thèse d’Étienne Duchesne [Duc09].
CHAPITRE 3
A
LGÈBRES D
’O
PÉRATEURS
Table des matières
3.1 Espaces de Hilbert et Opérateurs . . . . 34
3.1.1 Espaces de Banach . . . 34 3.1.2 Quelques propriétés . . . 36 3.1.3 Opérateurs . . . 39