3.3.1 Facteurs . . . 53 3.3.2 Algèbre d’un Groupe et Produits Croisés . . . 57 3.3.3 Représentation Standard . . . 60 3.3.4 Sous Algèbres Commutatives Maximales . . . 61 3.3.5 Invariant de Pukansky . . . 62
§3.1 Ce chapitre est une introduction aux algèbres d’opérateurs principalement axé sur les ré-sultats qui nous seront utiles dans la suite de cette thèse (particulièrement dans la partie concernant les algèbres de von Neumann). Le lecteur souhaitant approfondir le sujet trou-vera plus de détails sur la théorie des algèbres stellaires dans l’excellent ouvrage de Murphy [Mur90] ; concernant la théorie des algèbres de von Neumann, l’ouvrage en deux volumes de Kadison et Ringrose [KR97a, KR97b] est parfaitement adapté, même si la série plus récente et complète de Takesaki [Tak01, Tak03a, Tak03b] reste la référence à ce sujet.
Dans l’ensemble de ce chapitre, tous les espaces vectoriels considérés seront des espaces vectoriels complexes. De même, toutes les algèbres seront supposées séparables.
3.1 Espaces de Hilbert et Opérateurs
Espaces de Banach
§3.1.1 DÉFINITION(ESPACE VECTORIEL TOPOLOGIQUE).
Un espace vectoriel topologique est la donnée d’un espace vectoriel V et d’une topologieO sur V telle que :
1. Tout point de V est un fermé ;
2. Les opérations d’espace vectoriel (somme et multiplication par un scalaire) sont conti-nues.
§3.1.2 DÉFINITION(NORME).
Une norme sur un espace vectoriel V est une fonction k·k : V → R>0satisfaisant, pour tous x, y ∈ V et λ ∈ C :
1. kx + yk6kxk + kyk ; 2. kλxk = |λ|kxk ; 3. kxk = 0 ⇔ x = 0.
Si k·k ne satisfait pas le point 3 (mais seulement l’implication x = 0 ⇒ kxk = 0 qui est une conséquence du point 2), on dira que k·k est une semi-norme.
Une norme sur un espace vectoriel induit une distance par dk·k(x, y) = kx − yk, et définit une topologie sur V , à savoir la topologie engendrée par les boules ouvertes définies grâce à la distance dk·k.
§3.1.3 DÉFINITION(SUITE DECAUCHY).
Soit (X, d) un espace métrique (d est une distance). Une suite {xn}n∈N est dite de Cauchy lorsqu’elle vérifie :
∀² ∈ R>0, ∃N ∈ N,∀p ∈ N,∀q ∈ N,((p>N) ∧ (q>N)) ⇒ d(xp, xq) < ² §3.1.4 DÉFINITION(ESPACECOMPLET).
Un espace métrique (X, d) est complet lorsque toute suite de Cauchy est convergente dans X . §3.1.5 DÉFINITION(ESPACE DEBANACH).
Un espace vectoriel normé (X, k·k) tel que l’espace métrique (X , dk·k) est complet est un espace de Banach.
§3.1.6 REMARQUE. Un espace de Banach est un espace vectoriel topologique, si l’on considère la topologie induite par la distance dk·k.
§3.1.7 Ci-dessous, quelques exemples d’espaces de Banach :
1. SiΩest un espace topologique, alorsCb(Ω) = {f :Ω→ C | f continue et bornée} muni de la norme kf k∞= inf{M ∈ R>0| ∀ω ∈Ω, |f (ω)|6M} est un espace de Banach.
2. SiΩest un espace de Hausdorff localement compact, alors on définit : C0(Ω) = {f :Ω→ C | f continue et nulle à l’infini}
3.1. ESPACES DEHILBERT ETOPÉRATEURS 35
où l’on dit que f est nulle à l’infini lorsque pour tout² > 0, l’ensemble {ω ∈Ω| | f (ω)| > ²} est compact. AlorsC0(Ω), muni de la norme k·k∞est un espace de Banach.
3. Si (Ω,B,µ) est un espace mesuré, alors L∞(Ω,B,µ), l’algèbre des fonctions mesurables essentiellement bornées, munie de la norme du supremum essentiel kf k∞est un espace de Banach.
4. Si X est un espace de Banach, alorsL (X) (l’ensemble des opérateurs de X dans X, voir la Section 3.1.3) muni de la norme opérateur est un espace de Banach.
§3.1.8 DÉFINITION(FORME SESQUILINÉAIRE).
Soit V un espace vectoriel. Une forme sesquilinéaire est une application 〈·,·〉 : V × V → C vérifiant :
1. ∀x, y ∈ V ,∀α ∈ C,〈αx, z〉 = α〈x, y〉 ; 2. ∀x, y, z ∈ V ,〈x + y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉 ; 3. ∀x, y ∈ V ,〈x, y〉 = 〈y, x〉 ;
On dit qu’une forme sesquilinéaire est positive si : 4. ∀x ∈ V ,〈x, x〉>0.
On dit qu’une forme sesquilinéaire est définie positive si : 5. ∀x ∈ V , x 6= 0 ⇒ 〈x, x〉 > 0.
On nommera produit scalaire une forme sesquilinéaire définie positive. §3.1.9 DÉFINITION(FORME SESQUILINÉAIRE PARTIELLE).
Soit V un espace vectoriel. Une forme sesquilinéaire partielle est une application 〈·,·〉 : V ×V → C ∪ {∞} vérifiant les propriétés d’une forme sesquilinéaire.
§3.1.10 REMARQUE. Un produit scalaire sur un espace vectoriel V induit une norme définie par : kxk = 〈x, x〉12
§3.1.11 DÉFINITION(ESPACE DEHILBERT).
Un espace de Hilbert est un espace vectorielH muni d’un produit scalaire 〈·,·〉 tel que (H,k·k) — où k·k est la norme induite par 〈·,·〉 — soit un espace de Banach.
§3.1.12 Soit S un ensemble. L’ensemble V des fonctions S → C, muni de la somme de fonctions point par point, et de la multiplication point par point par un scalaire, forme un espace vectoriel. En notant ¯g la conjuguée point par point de g, on peut définir une forme sesquilinéaire partielle sur V ainsi :
〈 f , g〉 =X
s∈S
f (s) ¯g(s)
On note alors l2(S) le sous-espace vectoriel de V défini par l2(S) = {f ∈ V | 〈f , f 〉 < ∞}. On peut alors montrer que l2(S) muni de la forme sesquilinéaire de V (restreinte à l2(S)) est un espace de Hilbert. En particulier, 〈·,·〉 définit le produit scalaire sur l2(S).
§3.1.13 La construction précédente se généralise au cas continu. Soit (X,M , m) un espace mesuré, i.e. M est une tribu sur X — l’ensemble des sous-ensembles mesurables de X — et m : M → R est une mesure. On définit L0(X,M , m) l’ensemble des fonctions mesurables de (X,M , m) dans C. Cet ensemble forme un espace vectoriel lorsqu’on le munit des opérations de somme et multiplication par un scalaire définies point par point, et il est possible de définir une forme sesquilinéaire partielle :
〈 f , g〉 = Z
X
f (x) ¯g(x)dm(x)
On définit alors l’ensemble L2(X,M , m) des fonctions mesurables à carré sommable : L2(X,M , m) = {f ∈ L0(X,M , m) | 〈f , f 〉 < ∞}
Contrairement au cas discret, l’espace vectoriel L2(X,M , m) muni de la forme sesquilinéaire 〈 f , g〉 =RXf (x) ¯g(x)dm(x) n’est pas en général un espace de Hilbert, mais seulement un espace
pré-Hilbertien : il peut exister des fonctions f ∈ L2(X,M , m) non nulles telles que 〈f , f 〉 = 0. Si l’on prend pour X la droite réelle munie de la tribu des boréliens et la mesure de Lebesgue, la fonction caractéristique des nombres rationnels est un exemple d’une telle fonction. Il faut donc commencer par séparer l’espace L2(X,M , m), c’est-à-dire le quotienter par le noyau de la norme f 7→ (R
X| f (x)|2dm(x))12, l’ensemble des fonctions nulles presque partout. §3.1.14 DÉFINITION(SOMME DIRECTE).
SoitH,K deux espaces de Hilbert. La somme directe H ⊕ K est définie comme l’espace vectoriel dont l’ensemble de base est {h ⊕ k | h ∈ H, k ∈ K} et la somme et le produit sont définis par α(h ⊕ k) = (αh) ⊕ (αk) et h1⊕ k1+ h2⊕ k2= (h1+ h2) ⊕ (k1+ k2), muni du produit scalaire :
〈h1⊕ k1, h2⊕ k2〉 = 〈h1, h2〉 + 〈k1, k2〉
On peut montrer que l’on a bien défini un produit scalaire et queH ⊕ K est complet pour la norme induite.
§3.1.15 PROPOSITION.
SoitH1,H2, . . . des espaces de Hilbert, et
H = {{hi}∞i=1| ∀i, hi∈ Hi, ∞ X n=1 khik2< ∞} On définit, pourh = {hi}∞ i=1, g = {gi}∞ i=1dansH : 〈h, g〉 = ∞ X n=1 〈hn, gn〉
AlorsH est un espace vectoriel sur lequel 〈·,·〉 définit un produit scalaire et H est complet par rapport à la norme induite. Cet espace de Hilbert est la somme directe des espacesH1,H2, . . . et on le noteraH = L∞
i=1Hi.
§3.1.16 SoitH,K deux espaces de Hilbert. On considère l’espace vectoriel engendré par les tenseurs simples x ⊗ y pour x ∈ H, y ∈ K. Cet espace vectoriel peut alors être quotienté par les relations (x+x0)⊗(y+ y0) ' x⊗ y+x0⊗ y+x⊗ y0+x0⊗ y0et (λx)⊗ y ' x⊗(λy) ' λ(x⊗ y) pour x, x0∈ H, y, y0∈ K etλ ∈ C. On note H ¯ K cet espace vectoriel, et on définit un produit scalaire en étendant la forme définie sur les tenseurs simples par 〈x ⊗ y, x0⊗ y0〉 = 〈x, x0〉〈y, y0〉. Ce produit scalaire définit une norme, et donc une distance, par rapport à laquelle on peut compléterH ¯ K. §3.1.17 DÉFINITION.
SoitH,K des espaces de Hilbert. Le résultat de la complétion de H ¯ K est appelé le produit tensoriel deH et K et sera noté H ⊗ K.
Quelques propriétés
§3.1.18 PROPOSITION(INÉGALITÉ DESCHWARTZ).
SoitH un espace de Hilbert, et x, y deux vecteurs de H. Alors : |〈x, y〉|26kxkkyk
De plus, l’égalité est satisfaite si et seulement six, y sont linéairement dépendants. Démonstration. On calcule kx + λyk2pourλ ∈ C :
kx + λyk2 = 〈x + λy, x + λy〉
= 〈x, x〉 + λ〈y, x〉 + ¯λ〈x, y〉 + λ2〈y, y〉 = 〈x, x〉 + λ〈x, y〉 + ¯λ〈x, y〉 + |λ|2〈y, y〉 On suppose 〈x, y〉 = ρeiθet l’on poseλ = ae−iθpour a ∈ R. Alors :
3.1. ESPACES DEHILBERT ETOPÉRATEURS 37
Comme kx + λyk>0, on en déduit que le discriminant 4ρ2
− 4kxk2kyk2 est nécessairement positif ou nul, d’où kxk2kyk2>|〈x, y〉|2.
Le cas d’égalité kxk2kyk2= |〈x, y〉|2correspond au cas où le discriminant est égal à 0, c’est-à-dire le cas où il existe une valeur de λ pour laquelle kx + λyk2
= 0, c’est-à-dire telle que
x = −λy. ,
§3.1.19 PROPOSITION(THÉORÈME DEPYTHAGORE).
Soitx1, . . . , xndes vecteurs deux à deux orthogonaux d’un espace de Hilbert. Alors :
k n X i=1 xik2= n X i=1 kxik2
Démonstration. On montre le cas binaire. Par les propriétés du produit scalaire, on obtient kx + yk2= kxk2+ 2Re(〈x, y〉) + kyk2(cette égalité est parfois appelée l’identité de polarisation). Si x, y sont orthogonaux, 〈x, y〉 = 0 d’où kx + yk2= kxk2+ kyk2.
Le cas général se prouve par une simple induction. ,
§3.1.20 PROPOSITION(IDENTITÉ DU PARALLÉLOGRAMME). Soitx, y deux vecteurs d’un espace de Hilbert. On a :
kx + yk2+ kx − yk2= 2(kxk2+ kyk2)
Démonstration. On obtient les deux égalités suivantes par les propriétés du produit scalaire : kx + yk2 = kxk2+ 2Re(〈x, y〉) + kyk2
kx − yk2 = kxk2− 2Re(〈x, y〉) + kyk2
Il suffit maintenant de les additionner. ,
§3.1.21 PROPOSITION.
SoitH un espace de Hilbert, K un sous-ensemble convexe fermé de H, et h ∈ H. Alors il existe un unique pointk0∈ K tel que
kh − k0k = dk·k(h, k0) = inf{kh − kk | k ∈ K}
Démonstration. En considérant K − h = {k − h | k ∈ K}, on peut supposer que h = 0.
Soit d = dk·k(0, K ) = inf{kkk | k ∈ K}. Par définition, il existe une suite {kn}d’éléments de K telle que kn→ d. Par l’identité du parallélogramme, on a :
kkn− k2 mk2=12(kknk2+ kkmk2) − kkn+ km 2 k2 Puisque K est convexe, (1/2)(kn+ km) ∈ K, d’où k(kn+ km)/2k2>d2.
Soit ² > 0. On choisit N tel que pour n>N, kknk2< d2+ ²2/4. Alors pour m, n tels que n>N, m>N, on a : kkn− km 2 k2<2d 2 +12²2 2 − d2=1 4²2
D’où kkn− kmk < ² et donc (kn) est une suite de Cauchy. PuisqueH est complet et que K est fermé, il existe k0tel que kkn− k0k → 0. Comme d6kk0k = kk0− kn+ knk6kk0− knk + kknk et que cette dernière expression tend vers d, on obtient kk0k = d.
Pour montrer l’unicité, on suppose l’existence d’un deuxième point h0∈ K tel que kh0k = d. Par convexité de K , l0= (k0+ h0)/2 ∈ K. D’où d6kl0k6(kk0k + kk0k)/26d, c’est-à-dire d = kl0k. Par l’identité du parallélogramme, on obtient :
d2= kl0k2= d2− k(k0− h0)/2k2
§3.1.22 PROPOSITION.
SoitH un espace de Hilbert, M un sous-espace vectoriel fermé de H, h ∈ H et f0l’unique élément deM tel que kh − f0k = dk·k(h, M). Alors h − f0∈ M⊥. Inversement, si f0∈ M est tel que h − f0∈ M⊥, alors kh − f0k = dk·k(h, M).
Démonstration. Soit f ∈ M. Alors f0+ f ∈ M et donc :
kh − f0k26kh − ( f0+ f )k2= k(h − f0) − f k2= kh − f0k2− 2Re〈h − f0, f 〉 + kf k2
D’où 2Re(〈h − f0, f 〉)6k f k2pour tout f ∈ M. Supposons que 〈h − f0, f 〉 = ρeiθet utilisons cette inégalité avec ft= teiθf . On obtient donc 2tρ6t2k f k2, et, en faisant tendre t vers 0, on en déduit que r = 0, c’est-à-dire que h − f0⊥ f .
Inversement, supposons que f0∈ M tel que h − f0∈ M⊥. Si f ∈ M, on a alors h − f0⊥ f0− f et donc
kh − f k2= k(h − f0) + (f0− f )k2= kh − f0k2+ k f0− f k2>kh − f0k2
Finalement, kh − f0k = dk·k(h, M). ,
§3.1.23 THÉORÈME.
SoitH un espace de Hilbert et M un sous-espace vectoriel fermé de H. Pour tout h ∈ H, on note P h l’unique point de M tel que h − Ph ∈ M⊥. Alors :
1. P est une application linéaire surH ; 2. kPhk6khk pour tout h ∈ H ;
3. P2= P ;
4. ker P = M⊥et im(P) = M.
Démonstration. On rappelle que pour tout h ∈ H, h − Ph ∈ M⊥et kh − Phk = dk·k(h, M). 1. Soit h1, h2∈ H et α ∈ C. Si f ∈ M, alors 〈(h1+ αh2) − (Ph1+ αP h2), f 〉 = 〈h1− P h1, f 〉 +
α〈h2− P h2, f 〉 = 0. Par l’unicité énoncée dans la proposition précédente, on a : P(h1+ αh2) = Ph1+ αP h2
2. Soit h ∈ H. Alors h = (h − Ph)+ Ph, avec Ph ∈ M et h − Ph ∈ M⊥. D’où khk2= kh − P hk2+ kP hk2>kP hk2.
3. Soit f ∈ M. Alors P f = f . Pour tout h dans H, Ph ∈ M, et par conséquent P2(h) = P(Ph) = P h.
4. Si P h = 0, alors h = h − Ph ∈ M⊥. Inversement, si h ∈ M⊥, alors 0 est le seul vecteur de M tel que h − 0 = h ∈ M⊥et donc P h = 0. Le fait que im(P) = M est clair.
,
§3.1.24 DÉFINITION.
Si H est un espace de Hilbert et M est un sous-espace vectoriel fermé de H, l’application linéaire définie dans le théorème précédent est appelée la projection orthogonale deH sur M. §3.1.25 DÉFINITION(BASE DEHILBERT).
SoitH un espace de Hilbert, et B = {βi}i∈I une famille de vecteurs deH. Alors B est une base de Hilbert si :
1. B est une famille orthonormale :
∀i, j ∈ I2, 〈βi,βj〉 = δi, j
oùδ est la fonction de Kronecker ; 2. B est génératrice :
∀η ∈ H, ∃{λi}i∈I∈ CI,X
i∈I
3.1. ESPACES DEHILBERT ETOPÉRATEURS 39
§3.1.26 PROPOSITION.
SoitH un espace de Hilbert. Si E est un ensemble de vecteurs unitaires deux à deux orthogo-naux, alors il existe une base de HilbertB de H contenant E.
Démonstration. Voir par exemple le livre de Conway [Con90]. ,
§3.1.27 PROPOSITION.
SoitH un espace de Hilbert, et B = {βi}i∈I une base de Hilbert. Alors pour toutη ∈ H : η =X
i∈I
〈η, βi〉βi
Démonstration. Voir par exemple le livre de Conway [Con90]. ,
§3.1.28 PROPOSITION.
SoitH un espace de Hilbert, et B1,B2 deux bases de Hilbert. AlorsB1 et B2 ont la même cardinalité.
Démonstration. Voir par exemple le livre de Conway [Con90]. ,
§3.1.29 DÉFINITION(CONVERGENCEFORTE).
SoitH un espace de Hilbert. Une suite généralisée {ξλ}λ∈Λconverge fortement vers 0 lorsque la suite généralisée {kξλk}λ∈Λconverge vers 0.
§3.1.30 DÉFINITION(CONVERGENCEFAIBLE).
SoitH un espace de Hilbert. Une suite généralisée {ξλ}λ∈Λconverge faiblement vers 0 lorsque
pour toutη ∈ H, la suite généralisée {〈ξλ,η〉}λ∈Λconverge vers 0.
§3.1.31 PROPOSITION.
SoitH un espace de Hilbert. La topologie forte est plus forte que la topologie faible. Si H est de dimension infinie, alors il existe une suite convergent vers 0 faiblement mais pas fortement. Démonstration. Il est clair que si une suite converge fortement vers 0, alors elle converge faiblement vers 0 : par l’inégalité de Schwartz, on a |〈ξλ,η〉|6(kξλkkηk)12.
SoitB une base Hilbertienne de H. Comme H est de dimension infinie, le cardinal de B est supérieur ou égal à celui de N. On peut alors considérer une injection de N dansB défi-nissant une suiteβ0,β1, . . . ,βn, . . . . Cette suite converge faiblement vers 0 mais ne converge pas fortement vers 0 puisque la norme de chaqueβiest égale à 1. ,
Opérateurs
§3.1.32 PROPOSITION.SoitH,K deux espaces de Hilbert et F : H → K une application linéaire. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. F est continue ; 2. F est continue en 0 ; 3. F est continue en un point ;
4. F est bornée : il existe une constante c>0 telle que kFηk6ckηk pour tout η ∈ H.
Une application linéaire A :H → K satisfaisant ces conditions est appelée un opérateur, et nous noterons kAk = inf{C ∈ R>0| ∀η ∈ H, kAηk6Ckηk}. Nous noterons L (H,K) l’ensemble des opérateurs deH dans K, et nous abrègerons L (H,H) en L (H).
Démonstration. Voir par exemple le livre de Conway [Con90]. ,
§3.1.33 PROPOSITION.
SoitH,K,L des espaces de Hilbert, A,B ∈ L (H,K), C ∈ L (K,L) et α ∈ C. Alors : 1. kA + Bk6kAk + kBk ;
2. kαAk = |α|kAk ; 3. kC Ak6kCkkAk.
Démonstration. Soit x ∈ H. Alors, par l’inégalité triangulaire satisfaite par la norme sur K, k(A + B)xk = kAx + Bxk6kAxk + kBxk, ce qui permet de déduire le premier point. De plus, kλxk = |λ|kxk, ce qui permet de montrer le second point. On déduit alors le dernier point de
l’inégalité kC Axk6kCkkAxk6kCkkAkkxk. ,
§3.1.34 THÉORÈME.
SoitH,K des espaces de Hilbert, et A ∈ L (H,K). Alors il existe un unique opérateur A∗∈ L (K, H) tel que :
〈Aη, ξ〉K= 〈η, A∗ξ〉H
Démonstration. Voir par exemple le livre de Murphy [Mur90] pour une preuve détaillée. La preuve classique est basée sur le théorème de représentation de Riesz qui énonce que pour toute forme linéaireρ sur un espace de HilbertH, il existe un élément ξρ∈ H tel que ρ(η) = 〈η, ξρ〉. On obtient alors le résultat en appliquant le théorème de représentation de Riesz à la
formeη 7→ 〈Aη,ξ〉. ,
§3.1.35 REMARQUE. On a bien entendu kAk = kA∗k. §3.1.36 PROPOSITION.
SoitH un espace de Hilbert, A,B ∈ L (H) et α ∈ C. Alors : 1. (A + αB)∗= A∗+ ¯αB∗;
2. (AB)∗= B∗A∗; 3. A∗∗= A ;
4. SiA est inversible, alors A∗est inversible et (A∗)−1= (A−1)∗.
Démonstration. Voir par exemple le livre de Murphy [Mur90]. ,
§3.1.37 PROPOSITION.
SiH est un espace de Hilbert et A ∈ L (H), alors kA∗Ak2= kA∗k2.
Démonstration. Voir par exemple le livre de Murphy [Mur90]. ,
§3.1.38 PROPOSITION.
SoitE un idempotent non nul sur un espace de HilbertH. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. E est une projection : ker P = im(P)⊥;
2. E est la projection orthogonale deH sur im(E) ; 3. kEk = 1 ;
4. E est hermitien : E = E∗; 5. E est normal : EE∗= E∗E ; 6. 〈Eh, h〉>0 pour tout h ∈ H.
Démonstration. Voir le livre de Conway [Con90]. ,
§3.1.39 Les topologies faibles et fortes sur l’espace de HilbertH induisent deux topologies sur L (H). Ces topologies sont définies comme les topologies de convergence point par point lorsqueH est muni de l’une de ses deux topologies. Bien entendu, la norme surL (H) définit également une topologie. On caractérise ces topologies par la notion de convergence associée.
§3.1.40 DÉFINITION.
SurL (H), on définit :
3.2. ALGÈBRES STELLAIRES 41
– la topologie forte opérateur : An→ A fortement lorsque ∀ξ ∈ H, Anξ− Aξ tend fortement vers 0 (dansH) ;
– la topologie faible opérateur : An→ A faiblement lorsque ∀ξ ∈ H, Anξ − Aξ tend faible-ment vers 0 (dansH) ;
§3.1.41 On peut montrer queL (H) est l’espace dual d’un espace noté L (H)∗contenant les opérateurs à trace (de manière générale, on verra — Proposition §3.3.20 — que toute algèbre de von Neu-mann possède un prédual). Le lecteur intéressé pourra consulter le livre de Murphy [Mur90] ou bien de Takesaki [Tak01] qui traitent de ce sujet. On énonce ici ce résultat uniquement afin de définir la topologieσ-faible. On rappelle que si A est un espace vectoriel topologique et A∗est le dual de A — l’ensemble des formes linéaires continues de A dans C, on définit la topologie faible∗sur A comme la topologie de convergence point par point1.
§3.1.42 DÉFINITION.
SoitH un espace de Hilbert. La topologie σ-faible sur L (H) est définie comme la topologie faible∗induite par le prédualL (H)∗deL (H).
§3.1.43 REMARQUE. SiH est un espace de Hilbert de dimension infinie dénombrable, L (H) se plonge dansL (H ⊗ H) par le morphisme x 7→ x ⊗ 1. Il est alors possible de montrer que la restriction de la topologie faible opérateur deL (H ⊗ H) est la topologie σ-faible sur L (H).
3.2 Algèbres stellaires
Algèbres stellaires commutatives
Algèbres de Banach§3.2.1 DÉFINITION(ALGÈBRE DEBANACH).
Une algèbre de Banach A est une algèbre associative sur le corps des complexes C qui est un espace normé complet et qui satisfait kabk6kakkbk pour tous a, b ∈ A (cette condition garantit la continuité du produit).
§3.2.2 REMARQUE. Si une algèbre de Banach A contient une unité 1 (on dira que A est unitale), on peut supposer que k1k = 1. En effet, si ce n’est pas le cas, la norme opérateur des fonctions b 7→ ab définit une norme équivalente pour laquelle l’unité a pour norme 1.
§3.2.3 PROPOSITION(ADJONCTION D’UNITÉ- ALGÈBRES DEBANACH).
Étant donné une algèbre de Banach non-unitaleA, on peut lui adjoindre une unité en définis-sant l’algèbre A+= A × C avec la multiplication (a, λ)(b, µ) = (ab + λb + µa, λµ). L’algèbre A+ est alors une algèbre de Banach lorsqu’elle est munie de la norme
k(a, λ)k = kak + |λ|
Démonstration. La fonction (a,λ) 7→ kak|λ| définit bien une norme. De plus, si (an,λn) est une suite de Cauchy, alors anetλn sont toutes deux de Cauchy. On déduit alors de la complétude de A et de C que A+est complète pour cette norme, donc A+est une algèbre de Banach. ,
§3.2.4 PROPOSITION.
L’ensemble des inversiblesA×d’une algèbre de Banach unitaleA est ouvert. Démonstration. On considère la série
cb=
∞
X
k=0
bk
1. Une autre manière de définir la topologie faible∗utilise le plongement de A dans son bi-dual A∗∗: chaque élément a∈A définit donc une forme linéaire sur A∗notéeθa, et la topologie faible∗est la plus faible topologie sur A∗telle que lesθasoient continus.
Cette série converge pour kbk < 1, et dans ce cas, cb(1 − b) = (1 − b)cb= 1. Si x ∈ A×, alors tout y ∈ A tel que kx − yk < 1/kx−1k vérifie k1 − x−1yk < 1, et est par conséquent inversible. Donc la boule ouverte de rayon 1/kx−1k ne contient que des inversibles. ,
§3.2.5 COROLLAIRE.
Un idéal propre d’une algèbre de Banach unitale ne peut être dense.
Démonstration. Si un idéal est dense, il contient un inversible, et ne peut donc être propre.
,
§3.2.6 DÉFINITION.
Soit A une algèbre de Banach unitale et a ∈ A. On définit le spectre de a, noté SpecA(a), comme l’ensemble {λ ∈ C | λ.1A− a non-inversible}.
§3.2.7 PROPOSITION.
SoitA une algèbre de Banach unitale, et a, b ∈ A. Alors : SpecA(ab) ∪ {0} = SpecA(ba) ∪ {0}
Démonstration. On montre que 1 − ab est inversible si et seulement si 1 − ba est inversible. Pour cela, on suppose 1 − ab inversible et on pose c = (1 − ab)−1. On vérifie alors que 1 + bca
est l’inverse de 1 − ba. ,
§3.2.8 PROPOSITION.
SoitA une algèbre de Banach unitale et a ∈ A tel que SpecA(a) 6= ;. Pour tout polynôme com-plexep, on a :
SpecA(p(a)) = p(SpecA(a)) Démonstration. Soitµ ∈ C. Il existe λ0,λ1, . . . ,λn∈ C tels que :
p(λ) − µ = λ0(λ − λ1). . . (λ − λn)
Alors p(a)−µ = λ0(a −λ1). . . (a −λn), et on en déduit que p(a)−µ est inversible si et seulement si a − λ1, . . . , a − λn le sont. Finalement,µ ∈ SpecA(p(a)) si et seulement siµ = p(λ) pour un
λ ∈ SpecA(a). ,
§3.2.9 PROPOSITION.
SoitA une algèbre de Banach unitale. Alors pour tout a ∈ A, SpecA(a) 6= ;.
Démonstration. On commence par montrer que si SpecA(a) = ;, la fonction λ 7→ (a − λ)−1est différentiable et bornée sur C. Siτ ∈ A∗= L (A, C), alors λ 7→ τ((a − λ)−1) est une fonction entière, donc constante par le Théorème de Liouville. On en déduit queτ((a − 1)−1) = τ(a−1), c’est-à-direτ((a − 1)−1− a−1) = 0. Ceci étant vrai pour tout τ ∈ A∗, on a (a − 1)−1− a−1= 0,
c’est-à-dire a = a − 1, ce qui est contradictoire. ,
§3.2.10 PROPOSITION.
SoitA une algèbre de Banach unitale, et a ∈ A. Alors SpecA(a) est fermé et borné.
Démonstration. La fonctionλ 7→ λ1A− a est continue et l’ensemble des inversibles d’une al-gèbre de Banach est un ouvert. Donc le complémentaire de SpecA(a) est un ouvert puisqu’il est l’image réciproque d’un ouvert par une fonction continue. On en déduit que SpecA(a) est fermé.
Choisissonsλ > kak. Alors λ − a est inversible si et seulement si 1 − a/λ est inversible. Or b =P
i>0(a/λ)iest l’inverse de 1 − a/λ. Donc SpecA(a) est borné. ,
§3.2.11 PROPOSITION.
SoitA une algèbre de Banach unitale. Si tout élément non nul de A est inversible, alors A = C. Démonstration. Soit a ∈ A. Par la proposition précédente, SpecA(a) 6= ;. Soit λ ∈ SpecA(a), par définitionλ − a est non inversible, donc égal à 0, et on en déduit que λ = a. ,
3.2. ALGÈBRES STELLAIRES 43
§3.2.12 DÉFINITION.
Soit A une algèbre de Banach unitale et a ∈ A. On définit le rayon spectral de a par : rad(a) = sup
λ∈SpecA(a)|λ| §3.2.13 THÉORÈME.
SoitA une algèbre de Banach unitale, et a ∈ A. Alors rad(a) = limn→∞kank1n. Démonstration. Premièrement, siλ ∈ SpecA(a), alorsλn
∈ SpecA(an) par la proposition §3.2.8. Donc |λn|6kank, et on obtient rad(a)6infn>1kankn16lim infkank1n.
Soit maintenant∆= {λ ∈ C | |λ| < 1/rad(a)}. Si λ ∈∆, alors 1−λa est inversible. Soit τ ∈ A∗, et f :λ 7→ τ((1 − λa)−1). On montre que cette fonction est analytique sur ∆, et donc f (λ) = P
n>0λnλn. Si |λ| < 1/kak, alors kλak < 1 et donc (1 − λa)−1=P
n>0λnan. On a donc λn= τ(an), etτ(an)λn tend vers 0, ce qui permet d’affirmer queτ(an)λn est bornée. Comme nous n’avons pas fait d’hypothèses surτ, on en déduit que anλnest bornée, donc il existe M tel que kanλnk6M quelque soit n. D’où kank1n 6M1n/|λ|. On a donc limsupkank1n61/|λ|.
Comme rad(a)6|λ−1| implique lim supkank1n6|λ−1|, on a lim supkank1n6rad(a).
Finalement, comme lim supkank1n 6rad(a)6lim infkankn1, on a limn→∞kank1n = rad(a).
, Algèbres stellaires
§3.2.14 Le but de cette section est d’introduire uniquement les notions d’algèbres stellaires néces-saires pour la suite, et ne constitue donc pas un cours sur les algèbres stellaires. Une bonne référence pour en savoir plus sur les algèbres stellaires est le livre de G. Murphy, C∗-algebras and operator theory [Mur90].
§3.2.15 DÉFINITION(ALGÈBRE DEBANACH INVOLUTIVE).
Une algèbre de Banach involutive est une algèbre de Banach munie d’une involution (·)∗: A → A vérifiant, pour a, b ∈ A,λ ∈ C :
a∗∗= a, (a + b)∗= a∗+ b∗, (ab)∗= b∗a∗, (λa)∗= ¯λa∗ ka∗k = kak §3.2.16 DÉFINITION(ALGÈBRE STELLAIRE).
Une algèbre stellaire (ou C∗-algèbre) est une algèbre de Banach involutive satisfaisant pour tout a ∈ A l’égalité
ka∗ak = kak2
§3.2.17 Si l’algèbre A de départ est une algèbre stellaire, on souhaiterait que l’algèbre unitarisée A+soit également une algèbre stellaire. Si l’involution définie sur A+est celle à laquelle on