Vérification

Avant de terminer la conception, certains éléments doivent être vérifiés. Les codes imposent des limites de déplacement inter-étage, de rotation inélastique du lien, et de stabilité. Il faut également vérifier que la période utilisée pour le calcul des charges sismiques est bonne. Finalement, il faut vérifier les éléments du cadre pour les autres états limites ultimes et de service.

3.2.4.1 Vérification de la rigidité/déplacement et de la rotation inélastique du lien

La prochaine étape de la préconception est de vérifier les déplacements inter-étages par rapport aux limites imposées par le CNBC 2015. Les déplacements inter-étages élastiques calculés avec les efforts sismiques réduits doivent être multipliés par le facteur RdR0/IE afin de trouver une estimation réaliste des déplacements incluant les déplacements inélastiques. Un logiciel de calcul peut aisément calculer les déplacements inter-étages, mais ils ont été calculés manuellement par l’outil de calcul Excel. Le déplacement inter-étages total est calculé par l’addition du déplacement inter-étages en cisaillement et du déplacement inter-étages en flexion à chaque étage. Les déplacements inter-étages en cisaillement correspondent aux déplacements attribuables à la déformation de chaque élément du cadre. Les principaux modes de déformation sont : le cisaillement de la poutre et du lien (Δbs), la flexion de la poutre et du lien (Δbf), l’effort axial dans la poutre (Δba) et l’effort axial dans la diagonale (Δda). Si la connexion entre la poutre et la diagonale et rigide, on ajoute la déformation selon la flexion de la diagonale (Δdf). Les équations 3-7 à l’équation 3-12 montrent le calcul des déplacements inter-étages en cisaillement. Afin de ne pas alourdir la présentation, les termes des équations suivantes ne seront pas définis, voir la « Liste des sigles et abréviations » en page xxxi.

Pour les structures de type EBFM et EBFC-rot: ∆𝑏𝑠= 𝑉ℎ𝑠 2_𝑒2 𝐿2_{(𝐿−𝑒)𝐴𝑤𝑏𝐺𝑏}+ 𝑉ℎ𝑠2𝑒 𝐿2_{𝐴𝑤𝐿𝐺𝐿} (3-7) ∆_𝑏𝑓= 𝑉ℎ𝑠2𝑒2 12𝐸𝑏𝐼𝑥𝑏𝐿− 𝑉ℎ𝑠2𝑒3 12𝐸𝑏𝐼𝑥𝑏𝐿2+ 𝑉ℎ𝑠2𝑒3 12𝐸𝐿𝐼𝑥𝐿𝐿2 (3-8)

∆_𝑏𝑎= 𝑉𝑎

2𝐸𝐴𝑏 (3-9)

∆_𝑑𝑎= 𝑉(𝐿−𝑒)

4𝐸𝐴𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖)3 (3-10)

Formule particulière pour les contreventements excentriques résistant aux moments ∆𝑏𝑓= 𝑉ℎ𝑠 2_𝑒2 12𝐸𝑏𝐼𝑥𝑏𝐿(( 𝑘𝑏 𝑘𝑏+𝑘𝑑) 2 +𝑒_𝐿(1 − ( 𝑘𝑏 𝑘𝑏+𝑘𝑑) 2 )) (3-11) ∆𝑑𝑓= (_𝑘𝑘𝑑 𝑏+𝑘𝑑) 2 𝑉ℎ𝑠2𝑒2𝐿𝑑 6𝐸𝐼𝑥𝑑𝐿𝑏2 (3-12)

Pour trouver les rigidités associées à chaque déplacement, il suffit de diviser l’effort de cisaillement par le déplacement inter-étage. Il est possible de séparer les termes des équations de la poutre pour connaître comment le lien et la poutre à l’extérieur du lien contribuent au déplacement inter-étages total. Ceci s’avère utile pour les contreventements modulaires afin de savoir quel élément contribue le plus au déplacement inter-étages total. Le déplacement inter-étages de flexion doit être ajouté au déplacement inter-étages de cisaillement afin de trouver le déplacement inter-étages total du bâtiment. Le déplacement inter-étages n’est pas critique pour les bâtiments de faible hauteur, mais il gouverne un bon nombre de conceptions des bâtiments de 15 étages. Le déplacement inter-étages de flexion se calcule à l’aide des équations 3-13 à 3-19. ∆𝜃_𝑖 = 𝑃𝐸,𝑐𝑜𝑙,𝑖ℎ𝑖 𝐸𝐴𝑐𝐿𝑏 (3-13) 𝜃_𝑖 = 𝜃_𝑖−1+ ∆𝜃_𝑖 (3-14) ∆_{𝑐𝑠,𝑖}= −𝑃𝐸,𝑐𝑜𝑙,𝑖( 𝑒 𝐿)ℎ𝑥 𝐸𝐴𝑐 (3-15) 𝑢_{𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛,𝑖} = 𝑢_{𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛,𝑖−1}+ 𝜃_𝑖−1ℎ_𝑖+∆𝜃𝑖ℎ𝑖 2 + ∆𝑐𝑠,𝑖 (3-16)

Où CE,col,i est l’effort de compression dans la colonne à l’étage i sous l’effet des charges sismiques. Il se calcule comme suit :

𝑃_{𝐸,𝑐𝑜𝑙,𝑖} =𝑀𝑜𝑣𝑒𝑟,𝑖

𝐿 − 𝑃𝐸,𝑑𝑖𝑎𝑔,𝑖𝑆𝑖𝑛𝜃𝑖 (3-17)

𝑀𝑜𝑣𝑒𝑟,𝑖 = 𝑀𝑜𝑣𝑒𝑟,𝑖+1+𝑉𝑖₂ℎ𝑖 (3-18)

𝑃_{𝐸,𝑑𝑖𝑎𝑔,𝑖}= 𝑉𝑖

4𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 (3-19)

Où θ est l’angle entre la diagonale et la poutre. Le CNBC 2015 spécifie que le déplacement inter-étages ne doit pas être supérieur à 2,5% de la hauteur d’étage hs.

Pour les contreventements excentriques, la norme d’acier spécifie une limite sur la rotation inélastique du lien. Pour toutes les conceptions présentées dans ce papier, la limite de rotation inélastique du lien est de 0,08 radian puisque le mode de plastification du lien est toujours en cisaillement. Le calcul de la rotation inélastique pour un contreventement excentrique en chevron symétrique se calcule avec l’équation 2-13. 3.2.4.2 Vérification de la limite sur le facteur U2

Une fois les déplacements latéraux trouvés, il est possible de recalculer une nouvelle valeur du facteur U2 et vérifier si elle concorde avec l’hypothèse du facteur U2 posée au départ. Le calcul de U2 se fait avec l’équation 2-19. Le nouveau facteur U2 modifie les efforts de cisaillement appliqués au contreventement excentrique. Il faut donc vérifier si les profilés choisis lors de la 1ere itération de la conception sont encore adéquats pour reprendre les nouveaux efforts de cisaillement. Dans le cas contraire, de nouvelles sections doivent être choisies pour les éléments du cadre et les déplacements inter-étages et le facteur U2 doivent être recalculés jusqu’à ce que la conception converge vers un cadre pouvant reprendre tous les efforts. Le facteur U2 ne doit jamais dépasser la valeur de 1,4. Si le facteur est plus élevé que cette valeur, le cadre est considéré instable et il doit être rigidifié.

La procédure itérative converge assez rapidement. Il était possible d’obtenir la réponse finale après 2 ou 3 itérations seulement.

3.2.4.3 Vérification de la période

Une fois les déplacements inter-étages trouvés, il est important de vérifier la période. L’outil de calcul Excel fait le calcul de la période fondamental (T1) par la méthode de Rayleigh donnée par l’équation 3-20. Dans cette équation, Wx est le poids de l’étage, δxe est le déplacement inter-étages élastique cumulatif, g est l’accélération gravitationnelle et Fx est la force latérale appliquée à l’étage. Cette étape est importante afin de vérifier si l’hypothèse de départ d’utiliser deux fois la période empirique du code était justifiée.

𝑇1= 2𝜋√∑ (𝑊𝑥𝛿𝑥𝑒 2 𝑛

𝑥=1 )

𝑔 ∑𝑛𝑥=1(𝐹𝑥𝛿𝑥𝑒) (3-20)

3.2.4.4 Vérification des conceptions pour les autres états limites.

Afin de déterminer si les conceptions sont adéquates, il faut s’assurer qu’elles respectent les efforts causés par les différentes combinaisons de charges prescrites dans le code et recopiées à la section 3.2.1.

Le bâtiment doit rester en régime élastique sous les charges combinées de gravité et de vent. Advenant le cas où les liens sont inadéquats pour reprendre les efforts causés par les états limites ultimes de vent ou de gravité en régime élastique, de plus grosses sections de lien doivent être choisies. Les autres éléments de

cadres sont soumis aux efforts par capacité accrus de cette plus importante section et doivent être grossis à leur tour.

Pour les charges de vent, le CNBC 2015 prescrit des charges de vent q(1/50) de 0,45 kPa pour Vancouver et de 0,42 kPa pour Montréal. Le calcul des charges de vent et des charges de neige sont faits selon les sections 2.2.1.3 et 2.2.1.4.

Le dernier critère à vérifier pour s’assurer d’une conception adéquate est la limite sur les déplacements inter-étages de vent en service. Avec les équations 3-7 à 3-12, il est possible de trouver la rigidité de chaque élément du cadre. Il suffit de diviser l’effort de cisaillement sismique de l’étage par le déplacement de l’étage pour trouver la rigidité de l’étage. Ensuite, il est possible de trouver le déplacement d’étage causé par le vent de l’équation :

∆𝑐𝑖𝑠𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡,𝑤=_𝐾𝐼𝑤∗𝑉𝑤

é𝑡𝑎𝑔𝑒 (3-21)

où Δcisaillement,w est le déplacement inter-étages de cisaillement du cadre du au vent, Iw est le coefficient de risque associé à l’état limite de service pour les charges de vent (Iw = 0,75), Vw est l’effort de cisaillement d’étage du vent et Kétage est la rigidité au cisaillement du cadre.

Le calcul des déplacements inter-étages dus à la flexion du cadre se calcule avec les mêmes équations que pour la conception sismique en prenant les charges du vent plutôt que les charges sismiques. Une fois les déplacements inter-étages de vent trouvé, il faut les multiplier par un facteur U2, recalculé pour les charges et les déplacements inter-étages de vent, et s’assurer qu’ils soient plus petits que la limite du code.

La limite sur les déplacements inter-étages de vents domine la conception à Montréal pour les étages supérieurs des bâtiments de 15 étages. Elle domine la conception de tous les étages lorsque la période du bâtiment est plus élevée que 2 secondes pour le calcul des déplacements inter-étages sismiques. Les déplacements inter-étages sismiques sont réduits et moins contraignants et la limite sur les déplacements inter-étages de vents domine la conception.