3.4 Analyse de la sécurité
3.4.2 Utilisation de l’information mutuelle
Cette section porte sur la sécurité du protocole par l’aspect de la théorie de l’infor- mation. En effet, l’information mutuelle est une bonne mesure pour tester la variation du gain d’information entre l’émetteur et le récepteur. Prenons un détecteur parfait avec une efficacité maximale et sans perte du canal. Nous considérons le scénario où Eve fait une attaque par séparateur de faisceau, d’où :
UBSA|αx±iB|0iE → |
√
ηαx±iB|
√
<αx±iE (3.41)
UBSA|αy±iB|0iE → |
√
ηαy±iB|
√
<αy±iE, (3.42)
(3.43)
avec η = 1 − < est le coefficient de transmission de la BSA. Les matrices des densités, ρB x± et ρB
y± (Bob), et ρEx± et ρEy± (Eve), après le séparateur de faisceaux sont calculés comme suit : ρB x± = T rE(UBSA|αx±iBBhαx±|0iEEh0|) = 1 2{| √ ηαiBBh √ ηα| + | −√ηαiBBh− √ ηα| ± e−2(1−η)|α|2(|√ηαiBBh−√ηα| + | −√ηαiBBh√ηα|)}, (3.44)
et
ρB
y± = T rE(UBSA|αy±iBBhαy±|0iEEh0|)
= 1 2{| √ ηαiBBh √ ηα| − | −√ηαiBBh− √ ηα| i± e−2(1−η)|α|2 (|√ηαiBBh− √ ηα| + | −√ηαiBBh √ ηα|)}, (3.45)
le même pour Eve
ρE x± = T rB(UBSA|αx±iEEhαx±|0iBBh0|) = 1 2{| √ <αiEEh √ <α| + | −√<αiEEh− √ <α| ± e−2η|α|2 (|√<αiEEh− √ <α| + | −√<αiEEh √ <α|)}, (3.46) et ρE
y± = T rB(UBSA|αy±iEEhαy±|0iBBh0|)
= 1 2{| √ <αiEEh √ <α| + | −√<αiEEh− √ <α| i± e−2η|α|2 (|√<αiEEh− √ <α| + | −√<αiEEh √ <α|)}. (3.47)
Alors, Eve introduit un taux d’erreur qE dans la communication quantique, qui est donnée par
qE = 1 − |h
√
ηα|√ηαi|2
2 . (3.48)
Ainsi, le taux d’erreur de Bob est donné par
qB = 1 − |h
√
<α|√<αi|2
2 . (3.49)
Enfin, Alice et Bob doivent évaluer cette erreur qE où l’information mutuelle I
AE = 1 −
H(qE), avec H(q) est l’entropie de Shannon. Dans Fig.3.4, nous comparons l’information de Bob IAB = 1 − H(qB) avec le gain d’information IAE.
Fig.3.4 montre que, le taux d’information ∆I sur la clé. Avec ∆I = IAB− IBE est un paramètre important pour vérifier la sécurité de tous les protocoles. Alors, Alice et Bob doivent augmenter ce taux afin d’assurer l’information. Autrement, Eve peut apprendre les informations sur la clé secrète avec l’information mutuelle IAB dans le cas de η < 15, d’où, le coefficient de réflexion de 1 − η doit être suffisamment grand pour obtenir une information importante sur la clé. Cette augmentation de l’information est impossible pour Eve, car elle introduit des erreurs importantes dans la communication quantique, ainsi que de créer décorrélation entre les états cohérents GHZ. Aussi, ces erreurs avertissent Alice et Bob d’abandonner la transmission des clés secrètes, et essaie de distribuer des clés à nouveau.
3.5. Résumé 85 0,3 0,00,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,25 0,8 0,9 1,0 x 0,5 0,5 0,75 s 1,0 1,0 1,5 2,0 IAB IAE α η
Fig. 3.4 – Information mutuelle de Eve IAE et l’information mutuelle de Bob en fonction
des états cohérents et le coefficient de transmission η.
3.5
Résumé
Dans cette étude, nous avons établi un protocole de distribution quantique de clés en utilisant les états cohérents GHZ. La concurrence nous a permis de visualiser la variation ou la quantification sur le degré d’intrication des états cohérents tripartites en fonction de l’amplitude |α|. La génération des ces états avec une grande amplitude a permis d’obtenir des états intriqués maximum pour partager la clé entre l’émetteur et le récepteur. Dans ce protocole, Bob fait ses mesures sur le troisième mode pour obtenir la clé tandis qu’Alice lui fait la mesure sur le premier puis le second pour obtenir la clé. De cette façon, le protocole n’utilise pas la réconciliation des bases, alors cette méthode augmente l’efficacité de transmission à 100%, comparativement aux autres protocoles. La mise en œuvre de ce protocole est simple et moins chère en utilisant les composants optiques.
La sécurité contre les attaques de dédoublement de faisceau d’un tel protocole a également été discutée. L’attaque d’un espion va augmenter le taux d’erreur binaire entre les parties de la communication, qui sera ainsi découvert en utilisant la détection homodyne.
L’information quantique est l’une des réalisations les plus importantes de ce siècle, où le problème du traitement des informations confidentielles peut être surmonté. Il y a différentes façons de communiquer des information quantiques, y compris : la cryptogra- phie quantique, qui est une autre technique de distribution quantique de clés entre deux utilisateurs pour communiquer en toute sécurité [89, 13], le codage quantique ou dense
code, où l’information est codée dans un état différent et envoyé au récepteur qui décode
les informations [23, 11], et la téléportation quantique, où l’information est envoyée à distance d’une manière directe [14, 20, 21,22], qui est l’objectif du prochain chapitre.
Chapitre 4
Téléportation quantique via les états
cohérents
Il y a différentes façons de communiquer des information quantiques. Parmi lesquels, on peut citer la téléportation quantique, où l’information est envoyée à distance d’une manière directe [14, 20,21,22], le codage quantique ou "dense coding", où l’information est codée dans un état différent et envoyé au récepteur qui décode les informations [23, 11], et la cryptographie quantique, qui est une autre technique de distribution quantique de clés entre deux utilisateurs pour communiquer en toute sécurité [89, 13].
La réalisation des opérations précédentes a besoin de paires intriquées, qui repré- sentent des canaux quantiques entre l’émetteur et le récepteur, ainsi des opérations locales
LOCC et la communication classique (local operations and classical communication)
[133, 72, 134]. Les paires intriquées sont des ressource cruciale dans les communications quantiques, en particulier la préparation des états intriqués maximum est une tâche très importante. Il y a eu plusieurs tentatives effectuées pour générer des chaînes intriquées de différents types (voir les références récentes [135, 26,20, 28]).
L’un des plus prometteurs des types d’états intriqués, sont les états cohérents (coherent state CS), qui sont largement utilisés dans le cadre de l’information quantique. Par exemple, Zhou et Yang [136] ont utilisé les CS pour transférer l’intrication entre l’état atomique et l’état de cavité de deux modes. Par ailleurs, CS a été utilisé pour effectuer une téléportation optimale [137] et mettre en oeuvre le schéma de téléportation probabiliste, dans laquelle la quantité d’information classique envoyée par Alice est limitée à un bit [138]. Enk et Hirota [139], ont étudié un autre type de CS produite à partir des états "Chat de Schrödinger" en utilisant un séparateur de faisceau 50/50. Cette catégorie de CS peut être utilisée pour téléporter un qubit en utilisant un protocole simple qui permet d’atteindre cet objectif avec une probabilité de succès de 50%. Toutefois, Wang a proposé un schéma simple de téléportation à la fois bipartis et multipartis en utilisant uniquement la linéarité des dispositifs optiques, tels que les séparateurs de faisceaux et les déphaseurs ; dans les deux modes le nombre de photons est mesuré [135]. En réalité, il est possible de générer des états intriqués maximalement (Maximally
Entangled States). Cependant, garder ces états isolés est une tâche difficile. Par consé-
des interactions indésirables avec l’environnement. De grands efforts ont été entrepris afin d’étudier la possibilité d’effectuer des tâches de l’information quantique à l’aide de ces états partiellement intriqués. Dans ce contexte, Enk [45] a étudié la décohérence d’états cohérents intriqués multidimensionnelles dus aux pertes, par absorption des photons.
Dans ce chapitre, un schéma simple de téléportation quantique est présenté pour étu- dier la possibilité de transférer à distance un état cohérent inconnu en employant un état cohérent intriqué (maximum et partiel) multipartite [140]. Une technique théorique est présentée pour produire les états cohérents maximums intriqués, ainsi qu’une générali- sation du protocole de téléportation. La fidélité de l’état téléporté augmente de manière significative avec l’augmentation du nombre des modes dans le cas d’un canal de moins bruit, tandis qu’elle montre un comportement inverse dans le cas de fort bruit. Ce cha- pitre est organisé comme suit : En sec. 1, un schéma de téléportation quantique pour téléporter un état cohérent intriqué tripartis en utilisant un canal quantique composé de quatre particules de l’état cohérent. Ce canal intriqué est une généralisation de la forme utilisée dans Ref. [135]. La généralisation de ce protocole de téléportation est le sujet de sec. 2. L’exécution de la téléportation quantique par l’intermédiaire d’état partiellement intriqué est décrite en sec. 3. Dans la section 4, un réseau quantique (QN) est construit à travers des états cohérents maximum intriqués. La possibilité d’utiliser ce réseau pour réaliser la communication quantique entre plusieurs participants est étudiée. Enfin, sec. 5 est consacrée à une discussion des résultats obtenus.
4.1
Schéma de téléportation de l’état tripartite
En général, les états cohérents intriqués ont été proposés comme de potentiels canaux quantiques pour téléporter des états quantiques inconnus. Ces états cohérents peuvent être écrits en fonction de l’état de Fock [141,142] (état du nombre de photons) |ni,
| ± αi = e−|α|22 ∞ X n=0 (±α)n √ n! |ni. (4.1)
Une forme de l’état cohérent intriqué de deux modes peut être réécrite comme suit,
|αi12= (|α, αi + | − α, −αi)/N12, (4.2) où N12 =
p
2 − exp(−2|α|2) et hα| − αi = exp(−2|α|2) [135, 45]. L’état intriqué (4.2) a été utilisé par Enk et Hirota pour téléporter un état de chat de Schrödinger [45]. Après, Wang a utilisé un état cohérent intriqué tripartite de la forme,
|φi± α = Nα±(| √ 2α, α, αi123± | √ 2α, α, αi123), (4.3) où N± α = [2(1 ± e−8|α| 2
)]−12 est le facteur de normalisation, pour téléporter deux qubits des états cohérents intriqués [135].
4.1. Schéma de téléportation de l’état tripartite 89
Dans le protocole présenté, une autre classe d’états cohérents intriqués composé de quatre qubits définie comme un canal quantique pour téléporter un état cohérent intriqué tripartite sera introduit. Pour le canal intriqué multipartite, les résultats obtenus seront généralisés en théorie pour produire une famille des états cohérents intriqués maximale- ment de mode m. Cette famille peut être utilisée pour téléporter une famille de m − 1 modes d’ECS (Entangled Coherent State) en utilisant un schéma généralisé.