Si n2 est un nombre pair, nous devons appliquer X pour obtenir le qubit initial. Et si n2 est un nombre impair, les deux opérations, X et Z doivent être appliquées.
– Les deux détecteurs mesurent zéro photon, indiquant une défaillance totale de la téléportation. Cela peut se produire avec une faible probabilité Pf ∼ e−α, parce que les états de base ne sont pas orthogonaux. La probabilité d’échec diminue très vite quand α augmante. Dans la figure (2.5), nous avons tracé la probabilité de réaliser avec succès, la téléportation Ps = 1 − Pf en fonction de α de qubit avec
µ = ν = 1/√2. 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 α Ps
Fig. 2.5 – La probabilité de success en function de α avec µ = ν = 1/√2.
2.5
Résumé
Pour concevoir un schéma sécurisé de la distribution de la clé quantique QKD, nous avons besoin de deux propriétés quantiques importantes, l’intrication et la non- orthogonalité. Ces propriétés fournissent des moyens utiles pour la transmission de l’information et la détection d’un espion.
Dans ce chapitre, nous avons présenté plusieurs communications quantiques sécurisés commençant par les variables discrètes aux variables continues. Les protocoles permettant d’échanger des informations secrètes mieux que dans la cryptographie classique. Dans ces protocoles, les photons sont utilisés comme des signaux pour porter et traiter l’information pendant la communication. Les signaux sont transmis dans les fibres optiques. Simple dé- tecteurs de photons sont généralement nécessaires dans certains protocoles pour faire des mesures. Lorsque la sécurité des canaux est établie, toute tentative d’écoute sera décou- verte avant la transmission d’un message privé. Par conséquent, la proposition et l’étude d’un protocole quantique représentent une base de la théorie quantique de l’information.
Chapitre 3
Distribution quantique de clés via les
états coherents
Le phénomène de l’intrication est une ressource fondamentale dans la distribution quantique de clés. Cette ressource quantique rend le traitement et la transmission de l’information diffèrent du cas classique. En effet, l’intrication est un type de corrélation quantique entre deux ou plusieurs systèmes quantiques en permettant d’assurer une information quantique.
Un support de l’information dans des canaux quantiques est très utilisé et appliqué dans la théorie quantique de l’information, il s’agit la notion d’états cohérents. Une des caractéristiques de ces états, est qu’ils sont très proche de celles classiques, pour cette raison ils sont appelés, les états quasi-classiques. Historiquement, ces états ont été introduits pour la première fois par Schrödinger en 1926, dans le cadre de l’oscillateur harmonique. Le but de Schrödinger est de trouver des états quantiques qui présentent un lien entre les formulations quantiques et classiques d’un système physique donné. Il a démontré aussi que ces états minimisent le principe d’incertitude de Heisenberg. Plus tard, après l’invention du Laser en 1963, les physiciens étaient intéressés par l’étude de ces états dans le cadre de l’optique quantique. En effet,
Glauber a exprimé que ces états sont des états propres de l’opérateur d’annihilation
bosonique [121]. Dans la pratique, les états cohérents sont faciles à générer et à mani- puler avec les composants optiques, comme la séparatrice de faisceau, en comparaison avec d’autres états quantiques. Par conséquent, une tendance est de les utiliser dans la théorie quantique de l’information, en particulière dans les communications quantiques. Dans ce chapitre, nous proposons un protocole de distribution de clé quantique dans lesquels Alice et Bob emploient les états de Greenberger-Horne-Zeilinger GHZ [9, 10]. Le protocole emploie les états cohérents tripartites intriqués, faciles à manipuler avec les composants optiques. Pour mesurer l’intrication, nous allons utiliser la concurrence [122, 68], puis analyser son comportement en fonction des paramètres qui définissent les états cohérents, ainsi que la condition dans laquelle le degré de l’intrication devient maximal. La sécurité du protocole est assurée par les corrélations GHZ et par la détection homodyne.
3.1
Concurrence et états cohérents
Notre étude est basée sur l’utilisation des états cohérents comme support de l’informa- tion. La clé quantique est codé en superposition des états cohérents |αi et | − αi, α étant réel. En général, ces états ne sont pas orthogonaux, tel que hα| − αi 6= 0. Néanmoins, l’enchevêtrement hα| − αi = exp(−2|α|2) décroît exponentiellement vers 0 avec l’augmen- tation de l’amplitude |α|. La superposition de ces deux états ou le "chat de Schrödinger" [46] est définie par :
|φi = Nα(|αi + eiϕ| − αi), (3.1)
ces états illustrent en effet le fameux paradoxe du chat de Schrödinger. Le Paradoxe repose sur un dispositif expérimental plaçant un chat dans une superposition d’états mort et vivant 1/2(mort + vivant). Nα est le facteur de normalisation en fonction de l’amplitude
|α| et la phase ϕ, tel que :
Nα =
1 p
2(1 + cos(ϕ)e−2|α|2
). (3.2)
En Choisissant des valeurs spécifiques de la phase ϕ (pour porter notre information), nous obtenons quatre superpositions d’états
|αi + | − αi → |0Li,
|αi − | − αi → |1Li,
|αi + i| − αi → |0Li,
|αi − i| − αi → |1Li, (3.3)
ce qui donne deux bases distinctes pour un qubit logique (codage du qubit).
On suppose que, Alice et Bob partagent une séquence les états |Ψi définie par l’états cohérents tripartites GHZ, tel que :
|Ψi = Nα(|α, α, αi123+ | − α, −α, −αi123), (3.4) tel que, le facteur de normalisation Nα est défini par :
Nα =
1 p
2(1 + e−6|α|2
). (3.5)
Dans ce qui suit, nous allons donner une description détaillée sur la manière de construire ces états en utilisant un ensemble de séparateurs de faisceaux modifiés.
L’action d’un séparateur de faisceau est décrite par l’opérateur unitaire UBS =
eiθ(a†1a2+a†2a1), où a
i et a†i sont des opérateurs d’annihilation et de création bosoniques d’un système i ∈ {1, 2}, respectivement. lorsque deux états cohérents différents |αi ⊗ |βi entrent dans un séparateur de faisceau, le résultat obtenu est :
3.1. Concurrence et états cohérents 75
où θ est le coefficient de séparateur de faisceau. La réflectivité < et la transmissivité η du séparateur sont définies par :
< = cos2θ, η = sin2θ. (3.7)
Pour une valeur θ = π
4, l’état |αi ⊗ |βi devient :
UBS|αi1⊗ |βi2 = | α + iβ √ 2 i1 ⊗ | β + iα √ 2 i2. (3.8)
Ensuite, nous ajoutons un autre dispositif de déphasage décrit par l’opérateur unitaire
UP = e−iθa †a
, tel que :
UP|αi1 = |e−iθαi1. (3.9)
Le séparateur de faisceau modifié est caractérisé par l’opérateur unitaire UR, qui combine un séparateur de faisceau et deux déphaseurs :
UR= UPUBSUP. (3.10)
Maintenant, au lieu de l’état de la sortie dans Eq.(3.8), en utilisant un séparateur de faisceau modifié, le résultat est :
UR1,2|αi1⊗ |βi2 = | α + β √ 2 i1⊗ | α − β √ 2 i2, avec θ = π 2. (3.11)
L’état |Ψi (3.4) peut être généré par des dispositifs optiques décrit dans la figure 3.1
[123]. Le schéma contient trois ports d’entrée. Un état non-normalisé |√3αi + | −√3αi est envoyé vers le premier port tandis que les autres ports contiennent l’état du vide |0i. Deux séparateurs de faisceaux modifiés (UR1,2 et UR2,3) des coefficients des réflectivités
< = √1
3 et < = 1 √
2, respectivement. En général, il existe de nombreuses façons de générer la superposition de ces états, par exemples la dispersion d’interaction atome-champ à l’aide des cavités [124] ou séparateur de faisceau même [125].
Maintenant, l’émetteur peut générer les états cohérents intriqués (3.4) en utilisant le schéma précédent. Ainsi, le récepteur mesure les états en utilisant la détection homodyne, qui est décrite plus loin.
Le degré de corrélation entre les états est calculé par la concurrence. En réalité, la concurrence a été présentée comme un moyen de mesure de l’intrication entre les états bi- partites [122,68], néanmoins, il peut être étendu et adapté aux systèmes multipartites [45]. Dans le cas des états tripartites, ceci est réalisé en commençant d’abord par la construc- tion d’une base orthonormée {|0ix, |1ix}, avec x = A, B satisfaisant le théorème de Gram-
|√3αi + | −√3αi |0i |0i UR1,2 UR2,3 1 2 3 1 2 3
Fig. 3.1 – Implémentation des générateurs des états cohérents intriqués GHZ, avec les valeurs des réflectivités UR1,2 et UR2,3 sont < =
1 √ 3 et < = 1 √ 2, respectivement.
donnée par les états
|0iA = |αi1, (3.12)
|1iA = | − αip 1−1hα| − αi1|αi1 1 − (1hα| − αi1)2
, (3.13)
|0iB = |αi2|αi3, (3.14)
|1iB =
| − αi2| − αip 3−3hα|2hα| − αi2| − αi3|αi2|αi3 1 − (3hα|2hα| − αi2| − αi3)2
. (3.15)
L’état |Ψi (3.4) est développé dans les bases {|0iA,B, |1iA,B} comme suit :
|Ψi = x00|0iA|0iB+ x01|0iA|1iB+ x10|1iA|0iB+ x11|1iA|1iB), (3.16) avec x00 = Aα(1 − e−6|α| 2 ), (3.17) x01 = −Aαe−2|α| 2p 1 − e−8|α|2 , (3.18) x10 = −Aαe−4|α| 2p 1 − e−4|α|2 , (3.19) x11 = −Aα p 1 − e−4|α|2p 1 − e−8|α|2 , (3.20)
le coefficient de normalisation Aα est donné par
Aα = [2(1 + e−6|α|
2
)]−12. (3.21)
La concurrence C est définie par [122, 65]
C = 2|x00x11− x01x10|. (3.22)
La concurrence entre les sous-systèmes i d’une part et le sous-systèmes j et k (i 6= j 6=
k ∈ 1, 2, 3) d’autre part est donnée par Ci(jk) = p (1 − e−4|α|2 )(1 − e−8|α|2 ) 1 + e−6|α|2 , (3.23)
3.1. Concurrence et états cohérents 77 0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 C |α|
Fig. 3.2 – La représentation de la concurrence C, entre le système 1 et les systèmes 2, 3 dans l’état coherent tripartite intriqué.
il est clair que le résultat dépend du paramètre |α|. En outre, le sous-système 1 n’est pas maximal intriqué avec les sous-systèmes 2 et 3. C-à-d. l’état (3.4) n’est pas un état maximal intriqué (Maximal entangled state M ES). En effet, pour les états intriqués maximal, la concurrence doit prendre la valeur de 1 ebit (entanglement bit), au contraire elle prend la valeur 0 pour les états séparables (non-intriqués). Cependant, l’augmentation de l’amplitude |α| améliore l’intrication et s’approche ainsi de la valeur maximale (voir figure.3.2).
À partir de la Fig.3.2, le concurrence se rapproche rapidement de 1 ebit. Pour α = 2 (et plus), on a presque un MES, ce qui correspond à ∼ 10−4. Le nombre moyen de photons dans un tel état cohérent est d’environ 4 photons (< n >= |α|2). Pour α = 3, nous pouvons aboutir à une meilleur intrication et le nombre moyen de photons est encore faible ∼ 10. Dans ce cas, l’état |Ψi s’écrit de la manière suivante :
|Ψi = √1
2(|α, α, αi123+ | − α, −α, −αi123). (3.24) Soient Xα et Yα deux bases définies en fonction des états cohérents, telles que :
Xα = {|αx+i, |αx−i}, Yα = {|αy+i, |αy−i}. (3.25)
Plus précisément, les états de ces bases sont donnés par :
|αx±i = 1 √ 2(|αi ± | − αi), |αy±i = 1 √ 2(|αi ± i| − αi). (3.26)
Enfin, l’état cohérent intriqué |Ψi peut être réécrit en termes des deux états de base de
Xα et Yα de quatre manières différentes :
|Ψi = 1
2[(|αx+i1|αx+i2+ |αx−i1|αx−i2)|αx+i3
+ (|αx+i1|αx−i2+ |αx−i1|αx+i2)|αx−i3], (3.27)
|Ψi = 1
2[(|αy+i1|αy−i2+ |αy−i1|αy+i2)|αx+i3
+ (|αy+i1|αy+i2+ |αy−i1|αy−i2)|αx−i3], (3.28)
|Ψi = 1
2[(|αy+i1|αx−i2+ |αy−i1|αx−i2)|αy+i3
+ (|αy+i1|αx+i2+ |αy−i1|αx−i2)|αy−i3], (3.29)
ou encore
|Ψi = 1
2[(|αx+i1|αy−i2+ |αx−i1|αy+i2)|αy+i3
+ (|αx+i1|αy+i2+ |αx−i1|αy−i2)|αy−i3]. (3.30)
Les décompositions ci-dessus démontrent la corrélation entre les trois particules dans chaque écriture. Supposons par exemple que la première particule est dans l’état |αx+i
et la seconde particule dans l’état |αy+i, alors la troisième particule doit être sûrement
dans l’état |αy−i. Selon les équations (3.27) ∼ (3.30), nous allons résumer tous ces états possibles dans le tableau suivant3.1.
Particle 3 |αx+i |αx−i |αy+i |αy−i Particle 1 |αx+i |αx+i |αx+i |αx+i Particle 2 |αx+i |αx−i |αy−i |αy+i Particle 1 |αx−i |αx−i |αx−i |αx−i Particle 2 |αx−i |αx+i |αy+i |αy−i Particle 1 |αy+i |αy+i |αy+i |αy+i Particle 2 |αy−i |αy+i |αx−i |αx−i Particle 1 |αy−i |αy−i |αy−i |αy−i Particle 2 |αy+i |αy−i |αx+i |αx−i
Tab. 3.1 – Correlation entre les états cohérents GHZ.
Le tableau décrit les propriétés de corrélation des états cohérents tripartites intriqués (3.4). La première ligne du tableau contient quatre états possibles da le particul 3, tandis que les autres lignes donnent les états des particules 1 et 2 selon la manière dont l’état
|Ψi est écrit dans les équations (3.27) ∼ (3.30). Cependant, la mesure de l’état des deux premières particules permet de prévoir l’état de la troisième particule de façon unique. En effet, ce tableau est une brique du protocole que nous utilisons par la suite pour la distribution quantique de clés.