La téléportation quantique consiste à envoyer un état quantique inconnu d’un lieu vers un autre, sans transporter la matière. Ceci est dû au théorème de non-clonage qu’empêche de copier l’état d’un système inconnu. Autrement dit, la téléportation
2.4. Téléportation quantique 67
est un processus de reproduction d’un état quantique inconnu par l’utilisation d’une communication classique et des états intriqués EPR [8].
Classiquement, on utilise deux personnages Alice et Bob qui transmettent des données entre eux. Alice veut transférer l’information d’un état quantique inconnu |ψiA0 de la particule A0 à Bob :
|ψiA0 = a|0iA0+ b|1iA0 (2.52)
Alice et Bob peuvent exploiter l’intrication pour la réalisation de ce processus de l’informa- tion quantique. Le principe consiste à utiliser une paire auxiliaire de particules intriquées
|φ+i
AB, partagées entre Alice et Bob (figure 2.4). Ces particules A et B se trouvent dans l’état intriqué : Alice Bob I, Z X, iY |φ±i A0A |ψ±i A0A |φiAB Source |φiA0 Canal classique Canal quantique
Fig. 2.4 – Schéma de la teleportaion quantique.
|φ+i AB =
1
√
2(|0iA⊗ |0iB+ |1iA⊗ |1iB) ”paire EPR”. (2.53) L’état quantique de départ des trois particules A0AB est :
|ψiA0⊗|φ+iAB = √1
2(a|0iA0⊗(|0iA⊗|0iB+|1iA⊗|1iB)+b|1iA0⊗(|0iA⊗|0iB+|1iA⊗|1i). (2.54) En utilisant les états de Bell, l’état 2.54 devient :
|ψiA0 ⊗ |φ+iAB = 1 2√2
h
(|0iA0 ⊗ |0iA+ |1iA0 ⊗ |1iA) ⊗ (a|0iB+ b|1iB) + (|0iA0⊗ |0iA− |1iA0 ⊗ |1iA) ⊗ (a|0iB− b|1iB) + (|0iA0⊗ |1iA+ |1iA0 ⊗ |0iA) ⊗ (a|1iB+ b|0iB) + (|0iA0⊗ |1iA− |1iA0 ⊗ |0iA) ⊗ (a|1iB− b|0iB) i
Cet état peut être exprimé en fonction des matrices de Pauli :
|ψiA0⊗|φ+iAB = 1 2 h
|φ+iA0A⊗|ψiB+|φ−iA0A⊗Z|ψiB+|ψ+iA0A⊗X|ψiB+|ψ−iA0A⊗iY |ψiB i (2.56) On peut constater que si Alice effectue une mesure sur les deux qubits A0 et A dans la base de Bell décrite par les projecteurs |φ±i
A0Ahφ±| , |ψ±iA0Ahψ±|, chaque résultat de mesure se produirait avec une probabilité 1/4, le système des trois particules sera dans l’un des quatre états :
|φ+iA0A⊗ |ψiB, |φ−iA0A⊗ Z|ψiB, |ψ+iA0A⊗ X|ψiB, |ψ−iA0A⊗ iY |ψiB (2.57) Alice mesure les qubits A0 et A sur l’un des quatre états de Bell, comme résultat l’état du qubit B se lit sur chacune des lignes de l’équation (2.55). L’état |ψiB de la particule de Bob sera l’état inconnu original d’Alice multiplié par l’un des quatre opérateurs I, Z, X et iY unitaires selon le résultat obtenu par Alice. Selon le résultat obtenu, Alice informe Bob via un canal classique, il peut alors appliquer l’opérateur unitaire pour récupérer l’état original d’Alice.
2.4.1
Efficacité et fidélité
La réalisation d’une expérience de la téléportation quantique est mesurée en terme de certaines caractéristiques, à savoir l’efficacité et la fidélité. L’efficacité ε concerne le taux de succès d’un processus. Dans le protocole de Bennett, une efficacité de 100%, où ε = 1 est atteinte lorsque tous les quatre états de Bell de particules ab peuvent être déterminés de manière unique par Alice. Toutefois, si seulement une ou deux de ces états sont distincts, la téléportation sera toujours possible, mais avec un rendement de 25% ou 50% respectivement. Il ya également d’autres facteurs qui déterminent le succès de la téléportation, tels que le degré d’intrication entre la paire EPR, des pertes au sein de la propagation et de la détection, etc.
Dans le scénario idéal, quand la téléportation est réussie, l’état inconnu de Alice est le même que celui de Bob. Nous entendons par là que toutes les informations disponibles sur le système quantique initial, qui réagit d’une manière ou d’autre dans une situa- tion expérimentale donnée, seront transférées d’une partie à l’autre. Cependant, dans des conditions moins idéales, comme dans toute expérience, l’état d’entrée et l’état de sortie seront différent. Même si l’état d’entrée est particulièrement pure |φi, il est probable que le résultat soit représenté par un opérateur densité d’états mixtes ρout. Pour quantifier la qualité de ce transfert, il est naturel de choisir la valeur de recouvrement entre l’état de sortie et l’état d’entrée que l’on appelle la fidélité F de la téléportation, telle que :
F =in hφ|ρout|φiin. (2.58)
2.4. Téléportation quantique 69
F =
½
1 ⇐⇒ ρout = |φiinhφ|,
0 ⇐⇒ Les deux états sont orthogonaux. (2.59) La fidélité est comprise entre 0 et 1, cette dernière valeur correspond à une téléportation parfaite de l’état d’Alice.
Par un canal classique, il est possible d’atteindre une fidélité de 1/2. Pour une limite
F > 1/2, il faut nécessairement utiliser de l’intrication quantique qui correspond à une
communication quantique [119, 120]. Le critère F > 1/2 apparaît alors comme une autre condition nécessaire pour que l’état de modes AB soit non-séparable.
Par la définition de la fidélité, on peut supposer que ρ est de dimension 2, nous avons seulement besoin d’examiner si ρ est un état pur, puisque φ est séparable, tel que
|φi = (α0|0i + α1|1i) ⊗ (β0|0i + β1|1i) (2.60)
F = hφ+|ρ|φ+i (2.61) = 1 2|α0β0+ α1β1| 2 = 1 2(|α0| 2|β 0|2+ |α1|2|β1|2+ α0β0α1∗β1∗+ α0∗β0∗α1β1) ≤ 1 2(|α0| 2|β 0|2+ |α1|2|β1|2+ |α0β1∗| + |α1β0∗) ≤ 1 2(|α0| 2+ |α 1|2)(|β0|2+ |β1|2) = 1 2 (2.62)
Remarque : Si F = 2/3 c’est le régime de téléportation quantique. La première té- léportation quantique à variables continues à été réalisée en 1998 [17] avec une fidélité
F = 0.58.
2.4.2
Téléportation via les états cohérents
Le qubit dans un état cohérent d’un ordinateur est codé par|0iL = |αi (2.63)
|1iL = | − αi (2.64)
où α est supposé être réel. Le recouvrement de ces états est défini par :
hα| − αi|2 = e−4α2
. (2.65)
Ces qubits ne sont pas exactement orthogonaux. Un qubit correctement normalisé est donné par :
avec
Nα =
1 p
1 + e−2α(µν ∗ +µ ∗ ν), (2.67)
est un facteur de normalisation, et µ et ν sont des nombres complexes, |µ|2+ |ν|2 = 1. On suppose que Alice souhaite téléporter un état |ψi à Bob en utilisant les états intriqués de Bell, tel que :
|Bellαi = NB(|αi|αi + | − αi| − αi) (2.68) où NB est un facteur de normalisation donné par
NB =
1
√
2 + 2e−2α. (2.69)
L’état total avant le séparateur de faisceau est donné (en ignorant les facteurs de norma- lisation) par
(µ|αi + ν| − αi)(|αi|αi + | − αi| − αi) (2.70) qui peut être réécrit comme :
µ|α, −α, −αi + ν| − α, α, αi + ν| − α, −α, −αi + µ|α, α, αi (2.71) Comme indiqué dans le schéma de la téléportation, l’un des deux modes de l’état de Bell est mélangé avec le qubit |ψi dans le séparateur de faisceau 50/50 (modes 1 et 2). Nous pouvons utiliser l’équation (2.46), avec =4 pour obtenir l’état des trois modes, après le séparateur de faisceau
|Tαi = µ(|0i1|
√
2αi2|αi3) + µ(| −
√
2αi1|0i2| − αi3) +ν(|0i1| −
√
2αi2| − αi3) + ν(|
√
2αi1|0i2|αi3). (2.72) L’étape prochaine est une mesure du nombre de photons à des modes 1 et 2. Par l’équation (2.72), nous voyons que |0i arrive au mode 1 et | ±√2αi au mode 2, ou vice-versa. Les situations suivantes peuvent être trouvées
– n1 photons sont mesurés et n2 = 0. Dans ce cas, nous obtenons
1hn1|2h0|Tαi ∝ (−1)n1µ|αi3+ ν| − αi3 (2.73) Par cette expression, nous voyons que :
Si n1 est un nombre pair, le qubit n’a pas besoin d’être corrigé.
D’autre part, si n1 est un nombre impair, nous devons appliquer l’opérateur Z au qubit.
– n2 photons sont mesurés et n1 = 0. Cela donne
1h0|2hn2|Tαi ∝ µ| − αi3+ (−1)n2ν|αi3 (2.74) et nous obtenons les deux cas :