Utilisation de tests d’hypothèse pour l’estimation de VT

Le test de Kolmogorov-Smirnov (KS) à deux échantillons est particulièrement intéressant pour notre application. En effet, ce test nous offre un moyen de com- parer deux jeux de données et de décider si les données qui les composent sont

similaires ou non. Il est alors proposé de détourner quelque peu le test de sa fonc- tion première de comparaison de loi de distribution, pour l’utiliser sous forme d’un outil bas coût de similarité des données.

La méthode proposée est basée sur un ensemble de tests qui permet de compa- rer un jeu de données acquis lors d’une mesure, à un ensemble de jeux de données modèles pour déterminer quels sont les modèles les plus semblables à la mesure. La méthode proposée traite les données de chaque Multiprobe indépendam- ment les uns des autres et permet d’estimer la tension et la température { ˆV , ˆT }de chaque Multiprobe indépendamment, et donc de la zone du circuit qui l’entoure. Le principe, décrit par la Figure 3.6, est d’utiliser une base de modèles contenant plusieurs CDFs Msdont l’état {V, T } correspondant est connu, et les comparer à

la CDF Fm correspondant à la mesure. La base de modèles est obtenue lors d’une

phase de calibration qui consiste, idéalement, à stocker en mémoire des jeux de mesures du Multiprobe, ou leur CDF, pour plusieurs états {Vi, Tj}différents, avec

i ∈[1; p] et j ∈ [1; q]. Les différentes méthodes de calibration seront discutées à la section 3.5. Estimation VT ~ F { ˆV , ˆT_} Phase de M_{Vp,Tq} Mod`eles Calibration Phase d’Estimation Constructeur de CDF Comparateur de CDF Multiprobe Fm Ms M_{Vi,Tj} M_{V1,T1} M_{Vi,Tj} .. . ... · · · · · ·

Figure 3.6 – Principe de la méthode d’estimation proposée

Lors d’une phase d’estimation, la base de modèles disponible contient p × q CDFs, chacune liée à un état {V, T } particulier et connu. A chaque campagne de mesures d’un Multiprobe, le capteur retourne un jeu de données ~F contenant les fréquences Fk, avec k = {1, . . . , 7}, des 7 oscillateurs du Multiprobe. Ce vecteur

de mesures est mis en forme par le Constructeur de CDF afin d’obtenir la CDF Fm correspondante aux mesures. Le rôle du Comparateur de CDF est alors de

tester la similarité de Fm avec une des CDFs modèles Ms. En testant une à une

toutes les CDFs modèles Ms, s = {1, . . . , p×q}, avec la CDF de mesure Fm, il est

alors possible de déterminer quels sont les modèles les plus similaires à la mesure actuelle.

En pratique, pour obtenir une estimation exploitable et de bonne qualité, cha- cun des deux blocs composant la méthode Estimation VT (cf. Figure 3.6), effectue plusieurs étapes. La Figure 3.7 présente les différents éléments qui composent la

3.2. ESTIMATION DE LA TENSION ET DE LA TEMPÉRATURE À BASE DE TESTS

D’HYPOTHÈSE 59

chaîne de traitement du vecteur de mesure ~F du Multiprobe pour estimer { ˆV , ˆT }. Dans un premier temps, afin d’augmenter la puissance1 _{du test d’hypothèse, les}

données brutes Fksont combinées deux-à-deux pour créer un échantillon ~∆F com-

posé de davantage d’éléments. Ainsi, l’échantillon généré contient alors C2 7 = 21

éléments non-redondants au lieu de 7. Il est à noter que nous appliquerons une combinaison par somme deux-à-deux des fréquences. L’influence de ce choix sur les performances du test sera discutée à la section 3.3.2. La construction de la CDF Fm correspondant à l’échantillon ~∆F est donc composée de 21 éléments,

tout comme les modèles M{Vi,Tj} stockés dans la base.

de CDF Agr´egation

Estimation VT

Moyenne pond´er´ee

~

F ∆F~ Fm P~ { ˆV , ˆT}

Vers la base de mod`eles M<sub>{Vi</sub>,Tj} Ms Constructeur KS test Test d’hypoth`ese Combinaison des Fk2 `a 2 Calibration

Figure 3.7 – Les différents éléments de la chaîne de la méthode d’estimation

Le test d’hypothèse, par défaut le test de Kolmogorov-Smirnov à deux échan- tillons, retourne la p-value ps qui capture l’information contenue dans les échan-

tillons concernant la validité de l’hypothèse voulant que Ms et Fm soient issues

de la même loi de distribution. Dans notre cas, cette métrique nous donne une indication sur la probabilité que la mesure et le modèle testé correspondent au même état {V, T }. La comparaison de Fm avec les s modèles de la base permet

d’obtenir un vecteur ~P de p-Values, contenant le résultat ps correspondant à

chaque modèle Ms testé.

L’utilisation classique du test de KS nécessite de fixer un niveau de confiance αpermettant de définir à l’aide de la table, la valeur critique du test, i.e. le seuil c(α) à partir duquel l’hypothèse nulle est rejetée avec un niveau de confiance α si :

Ds> c(α). s

n1+ n2

n1.n2 (3.8)

Dans notre cas, on s’intéresse plutôt à la probabilité de similarité psde la mesure

avec le modèle testé. Le but est alors de sélectionner les modèles ayant obtenus les probabilités les plus élevées puisqu’elles correspondent aux états {V, T } qui sont probablement les plus proches de l’état de mesure. L’étape d’agrégation consiste donc à sélectionner un sous-ensemble S de modèles contenant les modèles les plus

1. Capacité du test à rejeter l’hypothèse nulle sachant que l’hypothèse nulle est fausse. C’est équivalent à limiter les faux-positifs.

similaires à la mesure. Les modèles conservés sont sélectionnés, tel que ps > α,

avec α = 100.(1 − T h)% de la plus grande p-Value, ps ∈ ~P, où T h ∈ [0; 1]

est un seuil de sélection. Par défaut T h est fixé à 0, 99 ce qui signifie que seuls 1% des modèles ayant obtenu les p-Values les plus importantes sont sélectionnés pour construire le sous-ensemble S. L’influence du choix de ce paramètre sur les résultats d’estimation sera présenté à la section 3.3.2. Par ce mode de sélection, on s’assure que l’ensemble S = {Ms | ps > α} n’est jamais vide. Cependant, on

ne garantit pas que les r éléments composants S ont des p-Values importantes, puisque la sélection est basée sur la plus grande p-Values de l’ensemble initial.

Afin de fournir une valeur numérique de l’estimation de la tension et de la température, le couple { ˆV , ˆT }est calculé par l’agrégation des r modèles de S. Par défaut nous calculerons la moyenne des états {Vi, Tj} liés aux modèles Ms ∈ S

pondérée par les p-Values ps correspondantes :            ˆ V = Pr l=1(psl·Vl) P p_sl , {Vl, Tl}= {Vi, Tj} | M{Vi,Tj}∈ S ˆ T = Pr l=1(psl·Tl) P_p sl (3.9)

Il est à noter que le mode de sélection des modèles qui composent S peut être appliqué en remplaçant la métrique p-Value par la statistique du test Ds, lors

de la sélection des modèles de S et lors du calcul de la moyenne pondérée. Ceci permet de réduire la charge de calcul nécessaire à l’exécution de chaque test en supprimant le calcul de la p-Value. Cependant l’exponentielle contenue dans le calcul de la p-Value permet d’amplifier les différences entre les p-Values des modèles.