Urnes de Pólya et système différentiel

Grâce à cette propriété d’équiprobabilité, l’étude combinatoire des histoires des urnes équilibrées est équivalente à l’étude classique probabiliste. Le lien est donné par la relation suivante, P A_n= i, B_n= j = ” xⁱy^jzⁿ— H(x, y, z) [zn] H(1, 1, z) ^.

Urnes non additives. Si la balance de l’urne est nulle, alors le nombre d’histoire est

H_n= sn

0, et la série génératrice associée est

H(1, 1, z) =X

n≥0

s₀^nz

n

n!= e^s0n.

Si la balance est négative, on retire des boules à chaque tirage. Le processus étant tenable, il s’arrête dans une configuration où au moins l’une des deux couleurs a com-plètement disparue. Dans ce cas, l’histoire la plus longue est de longueur s₀/|σ|. La série

génératrice est un polynôme,

H(1, 1, z) = (1 +|σ|z)^s0/|σ| .

Proposition 3 (Domaine d’analyticité de H(x, y, z)). Soit [a, b, c, d] une urne

équili-brée de balance positive σ > 0. Alors, pour tout R ≥ 1, la série génératrice des his-toires H(x, y, z; a₀, b₀) est analytique dans le domaine

|x| ≤ R, | y| ≤ R, |z| < ¹

σRσ.

Démonstration. Pour|x| ≤ R, | y| ≤ R, le terme en [zⁿ] dans H(x, y, z) est majoré par       X i, j H_{n,i, j}xⁱy^{j 1} n!      ^< R^s0+nσ n! ^Hn= O€ R^nσσⁿn^s0/n−1Š .

2.2 Urnes de Pólya et système différentiel

Cette section renferme le résultat principal sur le traitement analytique des urnes de Pólya. Il s’agit du théorème, dit basic isomorphism [FDP06], qui relie chaque urne à un système différentiel exprimant la série génératrice H(x, y, z). Ce théorème est le point de départ des travaux présentés dans ce manuscrit.

Théorème 8 (Flajolet, Dumas, Puyhaubert, 2006). Soit [a, b, c, d] une urne équilibrée

de condition initiale (a₀, b₀). Soient x et y deux nombres complexes tels que x y 6= 0. Pour

tout z assez proche de l’origine, la série génératrice des histoires s’exprime par

30 CHAPITRE2 : Urnes et combinatoire analytique

où les fonctions X (t) et Y (t) sont les solutions du problème de Cauchy suivant

˙ X = X^a+1Y^b, ˙ Y = X^cY^d+1, X (0) = x , Y (0) = y . (2.4)

Les notations ˙X et ˙Y indiquent la différentiation par rapport à la variable t.

Convolution multiplicative. L’équation (2.3) peut se voir comme le produit indépen-dant des histoires de chaque boule de la configuration initiale prise séparément. En ef-fet, en commençant avec uniquement une boule noire, nous obtenons H(x, y, z; 1, 0) =

X (z) ; en commençant avec une blanche nous obtenons H(x, y, z; 0, 1) = Y (z). Ainsi,

l’équation (2.3) se récrit

H(x, y, z; a₀, b₀) = H(x, y, z; 1, 0)^a0H(x, y, z; 0, 1)^b0.

Cela permet d’étudier uniquement les fonctions X (z) ou Y (z), sans perte de généra-lité. Cette propriété et ce système différentiel interviennent dans un contexte différent (plongement en temps continu du processus de branchement lié à l’urne) dans [CPS11], mais le lien reste à ce jour mystérieux.

2.2.1 Preuve du théorème d’isomorphisme

Le système différentiel apparaît après quelques manipulations symboliques de la série génératrice des histoires. Tout repose sur la description symbolique du processus d’urne : bien que la série génératrice des histoires ne se déduise pas directement de la dite méthode symbolique [FS09, Chap. I et II], la construction repose sur la même doctrine.

Combinatoire classique. Considérons une urne contenant n boules noires. Il s’agit d’un produit étiqueté de n atomes, codé par le monôme xⁿ. L’opération x∂_x[xⁿ] = nxⁿ se voit combinatoirement,

x∂_x[x x · · · x] =^€x x· · · x^Š+€

x x· · · x^Š+ . . . +€

x x· · · x^Š.

Supposons que l’urne contienne i boules noires et j boules blanches après n tirages. Le monôme codant cette configuration est xⁱ y^j. Détaillons les possibilités pour le (n + 1)-ième tirage. Nous avons i façons de tirer une boule noire et dans ce cas, nous ajoutons a noires et b blanches ; nous avons j façons de tirer une boule blanche et dans ce cas, nous ajoutons c noires et d blanches. Cette étape de tirage transforme le monôme xⁱy^j en polynôme i x^i+ay^j+b+ j xi+cy^j+d.

2.2 Urnes de Pólya et système différentiel 31

Combinatoire symbolique. Les opérations faites sur l’urne (piocher avec remise, ajout de boules) se codent de manière symbolique. Piocher une boule avec remise est exac-tement l’opération de pointage (Déf. 4, p.15). Ajouter une boule (noire ou blanche) se traduit symboliquement par la multiplication monomiale (par x ou y). Nous associons ainsi à l’urne [a, b, c, d] son opérateurD qui simule un tirage,

D = x^ay^bΘ_x+ x^cy^dΘ_y, (2.5) où Θ_u = u∂_u. Ainsi la simulation d’un tirage à partir de la configuration (i, j) s’obtient par l’application de l’opérateur sur le monôme codant la configuration,

D[xⁱy^j] = i x^i+ay^j+b+ j x^i+cy^j+d. (2.6) Pour simuler n tirages à partir de la configuration initiale (a₀, b₀), il suffit d’itérer l’opé-rateurD. Nous obtenons :

D^n”x^a0y^b0— =X

i, j

H_{n,i, j}xⁱy^j.

La série génératrice des histoires s’écrit symboliquement grâce à cet opérateur,

H(x, y, z; a₀, b₀) =X n≥0 D^n”x^a0y^b0— zn n! = e^zD” x^a0y^b0— . (2.7)

Oublions momentanément ces considérations combinatoires et regardons le pro-blème de Cauchy suivant,

˙

X = X^a+1Y^b, ˙

Y = X^cY^d+1.

Soient X (t) et Y (t) des solutions de ce système différentiel. Observons l’effet de la différentiation en t sur le produit X (t)ⁱY (t)^j,

∂_t€

XⁱY^jŠ

= i Xⁱ⁻¹X Y^{˙ j} + j XⁱY^j−1Y^˙

= i X^i+aY^j+b + j X^i+cY^{j+d .}

L’effet est le même que l’opérateurD dans (2.6). Nous avons l’isomorphisme d’opéra-teurs, ∂_t€ XⁱY^jŠ = D^”xⁱy^j— _x→X y→Y . En appliquant cette identité à l’expression (2.7), nous obtenons,

H(X (t), Y (t), z; a₀, b₀) =X n≥0 D^n”x^a0y^b0— x→X (t) y→Y (t) zⁿ n! ⁼ X n≥0 ∂_tⁿ€ X (t)^a0Y (t)^b0Š zn n! = X (t + z)^a0Y (t + z)^b0, la dernière égalité étant l’application de la formule classique de Taylor.

Choisissons comme conditions initiales pour le système différentiel X (0) = x, et

Y (0) = y, avec x et y deux complexes tels que x y 6= 0. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l’existence et l’unicité locales du problème de Cauchy, ce qui permet de conclure la preuve du théorème d’isomorphisme en posant t = 0.

32 CHAPITRE2 : Urnes et combinatoire analytique

2.2.2 Équation aux dérivées partielles

La vision symbolique de la section précédente permet de retrouver le premier ré-sultat sur la série génératrice des histoires, énoncé dans [FGP05]. Dans cet article, les auteurs montrent que la série H(x, y, z) est solution d’une équation aux dérivées par-tielles. Celle-ci se retrouve grâce à l’expression (2.7). Symboliquement, si H = e^zD, alors

∂_zH =DH. Ainsi la fonction H(x, y, z) vérifie l’équation aux dérivées partielles,

∂_zH = x^a+1y^b∂_xH + x^cy^d+1∂_yH . (2.8)

Du trivarié au bivarié. Dans la série H(x, y, z), les coefficients non nuls xⁱy^jzⁿ ont une propriété d’homogénéité grâce à la condition d’équilibre. En effet, la balance étant

σ, nous avons la relation i + j = a₀+ b₀+ nσ = s₀+ nσ. Des trois variables x, y, z, l’une d’elles est redondante. Nous choisissons d’oublier la variable y, sans perte de généralité, en posant y = 1. Ce lien sur les exposants se traduit sur les opérateurs∂_x,∂_y et∂_z, de la façon suivante,

x∂_x+ y∂_y = a₀+ b₀

+ σz∂_z.

Notons H(x, z) = H(x, 1, z). Cette série génératrice bivariée vérifie l’équation aux déri-vées partielles,

(1 − σz x^c) ∂_zH(x, z) +€

x^c+1− x^a+1Š∂_xH(x, z)− s0x^cH(x, z) = 0 . (2.9)

2.2.3 Une intégrale première

Proposition 4. Soit [a, b, c, d] une urne équilibrée de balance σ = a + b = c + d. Soient

X (t) et Y (t) les solutions du système différentiel

˙

X = X^a+1Y^b, ˙

Y = X^cY^d+1,

avec les conditions initiales X (0) = x et Y (0) = y telles que x y6= 0. Alors, pour t dans un

voisinage de 0, une intégrale première du système est

X (t)^p− Y (t)^p= x^p− y^p, (2.10)

où p = c−a = b−d, par condition d’équilibre. L’entier p est appelé indice de dissimilarité.

Démonstration. Il suffit de vérifier que∂_t(X (t)^p− Y (t)^p) = 0.

Dans le cas particulier où p = 0, l’équation (2.10) devient triviale. Nous avons dans ce cas a = c et b = d. Ainsi le système différentiel permet de déduire la relation Y ˙X = X ˙Y . En intégrant cette équation par des logarithmes, puis en appliquant la fonction

exponentielle, nous trouvons, avec X (0) = x et Y (0) = y,

X (z) = ^x y^{Y (z) .}