f (z) = O (1 − z)−α, alors [zn] f (z) = O nα−1 ; si f (z) = o (1 − z)−α, alors [zn] f (z) = o nα−1 .
Siα est un nombre complexe tel que α 6∈ {0, −1, −2, . . .} et si dans l’intersection entre le
∆-domaine de f (z) et un voisinage de 1, la fonction f (z) satisfait
f (z)∼ (1 − z)−α, alors [zn] f (z) ∼ n
α−1
Γ(α).
Cette section a énoncé les principes l’analyse de singularité. Lorsque les fonctions complexes sont plus régulières (pas de singularités), nous avons recours à une autre méthode pour l’analyse asymptotique des coefficients. Il s’agit de la méthode de col qui sera présentée en détail au Chapitre 5.
1.4 Lois limites
Grâce à la méthode symbolique et à l’analyse asymptotique, la combinatoire ana-lytique permet de comprendre les comportements limites des structures combinatoires avec paramètre. En connaissant le comportement limite de la fonction génératrice de probabilité, et en utilisant l’incontournable théorème central limite des probabilités, des théorèmes de convergence vers une limite gaussienne se déduisent.
Soit A une classe combinatoire munie d’une taille | · | et d’un paramètre χ. Sur chaqueAn, le paramètreχ induit une variable aléatoire, notée Xn,
P
Xn= k
= PAn{χ = k} .
Soit pn(u) la fonction génératrice de probabilité de Xn. Comprendre le comportement de cette fonction lorsque n tend vers l’infini permet de connaître la loi limite de Xn.
Fonction de répartition et convergence en loi. Pour une suite de variables aléatoires (Xn), on définit la suite de ses fonctions de répartition (Fn) par Fn(x) = P
Xn≤ x . Les fonctions de répartition caractérisent les lois des variables Xn. Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition. On dit que la suite (Xn) converge en loi vers X si pour tout réel x où F est continue,
lim
n→∞Fn(x) = F (x) .
On parle alors de convergence en loi ou convergence en distribution. Soit (ǫn) une suite réelle qui tend vers 0. Si de plus, on a pour tout x où F est continue,
Fn(x) − F(x) ≤ O ǫn
, on dit que la vitesse de convergence est enǫn.
20 CHAPITRE1 : Combinatoire analytique
Fonction caractéristique. La loi d’une variable aléatoire X est aussi entièrement dé-terminée par sa fonction caractéristiqueφ(t), définie par
φ(t) = E
ei t X .
La suite de variables aléatoires (Xn) a pour suite de fonctions caractéristiques (φn(t)), reliées aux fonctions génératrices de probabilité parφn(t) = pn(ei t).
Phénomène gaussien. La loi normale est la loi continue la plus fréquente en proba-bilités. Pour de très nombreuses structures combinatoires, les phénomènes limites sont gaussiens. Une variable aléatoire X suit une loi gaussienne centrée réduiteN (0, 1) si sa fonction de répartition est Φ, définie pour tout x réel par
Φ(x) =p1 2π
Z x
−∞
e−w2/2d w .
De plus, la fonction caractéristique d’une loi normale N (µ, ν2) de moyenne µ et de varianceν2 est
φ(t) = p(ei t) = ei tµ−12ν2t2
.
L’étude des fonctions pn(u) est la clé pour connaître les lois limites des variables aléatoires Xn. Les trois théorèmes énoncés ci-dessous donnent des résultats précis de convergence gaussienne sur la distribution, lorsque la fonction génératrice de probabi-lité pn(u) peut s’écrire comme une quasi-puissance. Ces théorèmes dus à H.-K. Hwang [Hwa94, Hwa96, Hwa98a, Hwa98b] sont rassemblés dans [FS09, Chap. IX].
La Figure 1.1 décrit le lien entre l’étude complexe de la fonction génératrice de probabilité et les propriétés limites de la distribution.
0 (right) (left) Moments Counting Large deviations Large deviations 1 Local limit Central limit
Loi Locale Limite
Moments Moments Formule exacte Grandes déviations (droite) Grandes déviations (gauche) Loi Limite Loi Limite
FIGURE 1.1 – Lieu d’étude de validité de pn(u) par rapport aux résultats limites. Dessin extrait de [FS09, Figure IX.9, p.649].
Nous avons déjà vu en Section 1.2 que les moments s’obtiennent en regardant le com-portement en u = 1.
1.4 Lois limites 21
Théorème 4 (Quasi-Puissances). Soit Xnune variable aléatoire discrète à valeur dansN,
et soit pn(u) sa fonction génératrice de probabilité. Soient (βn) et (κn) deux suites tendant
vers l’infini. Supposons que la fonction pn(u) se comporte, uniformément pour un voisinage
complexe de u = 1, comme
pn(u) = A(u) · B(u)βn
1 + O 1 κn ,
où les fonctions A(u) et B(u) sont analytiques en u = 1, avec A(1) = B(1) = 1. Supposons de plus que B(u) vérifie la condition de variabilité
v(B) = B′′(1) + B′(1) − B′(1)26= 0 .
Sous toutes ces conditions, la moyenne et la variance de Xn vérifient µn= E(Xn) = βnB′(1) + A′(1) + O κ−1n , νn2= V(Xn) = βnv(B) + v(A) + O κ−1n .
La distribution de Xn après normalisation est asymptotiquement gaussienne, avec une vi-tesse de convergence en O κ−1n + βn−1/2 , sup x∈R P Xn− E(Xn) p V(Xn) ≤ x −Φ(x) ≤ O 1 κn+ 1 p βn ,
où Φ(x) est la fonction de distribution de la loi normale standard,
Φ(x) =p1 2π
Z x
−∞
e−w2/2d w .
Sur la Figure 1.1, il faut regarder pn(u) pour u dans un petit voisinage complexe autour de 1 (partie grisée). Ce théorème de Quasi-Puissances donne la convergence en loi vers une loi gaussienne de la suite de variables aléatoires (Xn), avec précision de la vitesse de convergence.
Définition 8 (Loi locale limite). Une suite de distributions de probabilité discrètes, pn,k= P
Xn= k
, avec une moyenneµn et une varianceνn2 vérifie une loi locale limite de type
gaussien si pour une suite (ǫn) tendant vers 0,
sup x∈R νnpn,⌊µn+xνn⌋−p1 2πe −x2/2 ≤ ǫn.
22 CHAPITRE1 : Combinatoire analytique
Théorème 5 (Quasi-Puissances, Loi Locale Limite). Soit Xn une suite de variables aléa-toires discrètes à valeur dansN, de fonctions génératrices de probabilité pn(u). Supposons
que pn(u) vérifie les hypothèses du théorème des Quasi-Puissances, et en particulier,
pn(u) = A(u) · B(u)βn
1 + O 1 κn ,
valable uniformément dans un voisinage complexe de 1, noté Ω. Supposons de plus qu’il existe une borne uniforme de type
|pn(u)| < K−βn,
pour un K> 1 et pour tout u dans l’intersection du cercle unité et du complémentaire C\Ω. Sous ces hypothèses, la distribution des Xn vérifie une loi locale limite de type gaussien, avec une vitesse de convergence de l’ordre de O
βn−1/2+ κ−1n
.
Sur la Figure 1.1, il faut étudier pn(u) pour |u| = 1, sur le cercle unité, et obtenir une majoration uniforme sur ce cercle en dehors du petit voisinage complexe de 1. Ce théorème (local limite) assure une convergence locale, non pas des fonctions de répartitions, mais directement de la distribution de probabilité discrète vers la fonction de densité de la loi gaussienne p1
2πe−x2/2.
Définition 9 (Grandes déviations). Soit βnune suite tendant vers l’infini. Une suite Xnde variables aléatoires, de moyenneEn∼ µβn, satisfait une propriété de grandes déviations relative à l’intervalle [x0, x1] contenant µ, s’il existe une fonction W (x) telle que W (x) > 0
pour t6= µ, et pour n suffisamment grand,
∀x, x0< x < µ, 1 βnlogP
Xn≤ xβn
= −W (x) + o(1) (queue gauche),
∀x, µ < x < x1, 1
βn logP
Xn≥ xβn
= −W (t) + o(1) (queue droite) .
W(x) est la fonction de taux, etβnest le facteur d’échelle.
Théorème 6 (Quasi-Puissances, Grandes déviations). Soit Xnune suite de variables aléa-toires discrètes à valeur dansN, de fonction génératrice de probabilité pn(u). Supposons
que pn(u) vérifie les hypothèses du théorème des Quasi-Puissances. En particulier, il existe
des fonctions A(u) et B(u) analytiques sur un intervalle [u0, u1] avec 0 < u0 < 1 < u1, telles que l’on ait uniformément,
pn(u) = A(u) · B(u)βn
1 + O(κ−1n ) .
Alors la suite Xnvérifie une propriété de grandes déviations, relative à l’intervalle [x0, x1],
où x0= u0B′(u0)/B(u0) et x1= u1B′(u1)/B(u1). Le facteur d’échelle est βnet la fonction de taux W (x) est donnée par
W (x) = − min u∈[u0,u1]log B(u) ux .