Sur la Figure 1.1, il faut étudier pn(u) pour u réel proche de 1, sur un segment réel centré en 1. Ce théorème (grandes déviations) permet de donner des estimations sur les queues de la distribution limite gaussienne, et il donne des majorations exponentiel-lement petites.
1.5 Théorème de Cauchy-Kowalevski
Nous verrons dans le Chapitre 2 que les séries génératrices codant les urnes de Pólya vérifient une équation aux dérivées partielles. Voici un théorème local d’existence et d’unicité de la solution à une telle équation, tiré de [Hör76, p.119].
Théorème 7 (Cauchy–Kowalevski). Soit une équation aux dérivées partielles d’ordre m,
X
α
cα(z) Dαu(z) = ψ(z) , (1.1)
où les exposants α sont des multi-indices, les fonctions cα sont des fonctions de la va-riablez = (z1, . . . , zn), et l’opérateur D vaut D = ∂ /∂ z1, . . . ,∂ /∂ zn
. Soit z0un point quelconque tel que sa n-ième coordonnée soit nulle. Supposons que les fonctions cα et ψ soient analytiques au voisinage de z0 et que le coefficient devant Dmn est différent de 0 lorsquez = z0. Alors pour toute fonction ϕ analytique au voisinage de z0, il existe une unique solution u de (1.1), analytique au voisinage dez0et satisfaisant les conditions aux bords,
Dnj(u − ϕ)(z) = 0 lorsque zn= 0 et j< m .
Conclusion
L’analyse complexe fournit de puissants théorèmes pour l’analyse asymptotique des séries génératrices issues d’objets combinatoires. Nous nous appuyons sur ces résultats dans toute la suite, mais il nous faut en premier lieu établir le lien entre les séries génératrices et les urnes de Pólya.
Chapitre 2
Urnes et combinatoire analytique
-Les fondamentaux
Résumé. Comment mettre la combinatoire analytique au service des urnes de Pó-lya ? Pour cela, introduisons la notion d’histoire d’une urne. Cet objet combinatoire per-met de coder le comportement d’urne urne de Pólya par une série génératrice triva-riée H(x, y, z). Nous détaillons les propriétés analytiques de cette fonction, et notam-ment l’outil fondanotam-mental pour notre étude, le théorème liant la série à un certain sys-tème différentiel, dit théorème d’isomorphisme. Ce chapitre reprend les résultats énoncés par P. Flajolet et al. dans [FDP06, FGP05].
2.1 Les histoires d’une urne
Jouer avec les séries génératrices nécessite un objet combinatoire codant la com-plexité du problème abordé. C’est ainsi qu’apparaissent les histoires.
Exemple 4. Prenons l’urne [0, 2, 1, 1] et la configuration initiale (1, 1). Nous débutons le
processus avec une boule noire
N
et une boule blancheB
. Cette configuration est codée par le motNB
. Supposons que la boule noire soit tirée ; elle est remise et deux boules blanches sont ajoutées. La nouvelle configuration est codée par le motNBBB
. Voici un exemple de suite de tirages possibles, où la boule tirée est soulignée et les boules ajoutées sont en gras,NB
−→N
BBB
−→NBB
NBB
−→NBBN
BBBB
−→NBBNBBBB
NB .Cette suite de mots, de longueur 4, partant de la configuration initiale (1, 1) et finissant dans la configuration (3, 7) est appelée histoire.
La séquence suivante est une autre histoire de longueur 4 entre les configurations (1, 1) et (3, 7),
NB
−→NB
NB−→N
BBBNB
−→N
BBBBBNB
−→NBBBBB
NBNB
.D’après la Figure 2.1, il y a exactement 8 histoires de longueur 2 pour l’urne [0, 2, 1, 1] partant de la configuration initiale (1, 1), dont une terminant en (1, 5), deux terminant en (3, 3) et cinq terminant en (2, 4).
26 CHAPITRE2 : Urnes et combinatoire analytique
NB
NBBB
NBBBBB
(1, 5)NBNBBB
(2, 4)NBBNBB
(2, 4)NBBBNB
(2, 4)NBNB
NBBBNB
(2, 4)NBNBNB
(3, 3)NBNBBB
(2, 4)NBNBNB
(3, 3)FIGURE2.1 – Arborescence de tous les tirages possibles de l’urne [0, 2, 1, 1], à partir de la configuration initiale (1, 1) suivie de deux tirages. Cela donne l’ensemble des histoires possibles de longueur 2, une histoire étant un chemin depuis la racine de cet arbre jusqu’à une feuille. Une version plus compacte de cet arbre est donné en Figure 2.1
Notations. La matrice de règles d’une urne de Pólya est
a b c d
, avec a, d∈ Z, b, c∈ N ,
et se note également [a, b, c, d]. La configuration initiale est (a0, b0) : au départ, l’urne contient a0 boules noires et b0 boules blanches.
Équilibre. La plupart des urnes traitées par la combinatoire analytique sont équili-brées, c’est-à-dire que les sommes des lignes de la matrice sont égales, a + b = c + d. Cette constante, appelée balance de l’urne, est notéeσ. C’est le nombre total de boules
ajoutées à chaque instant. Le cas des urnes non équilibrées est abordé dans le Cha-pitre 10.
Définition 10. Soit [a, b, c, d] une urne équilibrée de balance σ. Si σ < 0, les urnes sont
dites soustractives (ou diminuantes). Siσ > 0, les urnes sont dites additives. Si de plus, les coefficients sont strictement positifs, a, b, c, d > 0, nous parlerons d’urnes strictement
additives. Enfin, siσ = 0, les urnes sont dites à balance nulle.
Tenabilité. Notons que pour les urnes additives, les coefficients de la matrice ne sont pas nécessairement positifs. En effet, dans la définition des urnes de Pólya, les coeffi-cients diagonaux peuvent être négatifs, ce qui signifie que l’on retire des boules dans l’urne. Lorsque certains coefficients de la matrice sont négatifs, il faut s’assurer que le processus ne se bloque pas au fur et à mesure des tirages. Si lors d’un tirage, il y a plus de boules à retirer que de boules effectivement présentes, les règles de remplacement ne s’appliquent plus. Par exemple, pour une matrice de règles [−2, 3, 0, 1] et une configu-ration (1, 1), il est possible de tirer une boule noire, mais il est impossible d’appliquer la
2.1 Les histoires d’une urne 27
règle “retirer deux boules noires”. Des conditions dites de tenabilité permettent d’éviter ce phénomène.
1 1
2 3
2 1
(a) arbre des histoires
H(x, y, z) = xy + !x2 y2+ xy3 " z + !2x3 y3+ 5x2 y4+ xy5" z2 2 + . . .
(b) série génératrice des histoires
FIGURE 2.2 – À gauche : configurations possibles de l’urne [0, 2, 1, 1], partant de l’état initial (1, 1), après deux tirages. Sur chaque flèche est indiquée la couleur de la boule tirée ainsi que le nombre de façons d’effectuer cette transition. Cela donne une repré-sentation des histoires plus condensée que la Figure 2.1. Le nombre d’histoires partant de l’état initial et arrivant dans une des feuilles est obtenu en multipliant les poids sur les flèches rencontrées sur le chemin reliant les deux configurations. À droite : premiers termes de la série génératrice des histoires, où x marque les boules noires, y marque les boules blanches et z marque la longueur de l’histoire.
Définition 11 (Tenabilité). Soit une urne [a, b, c, d] de configuration initiale (a0, b0). Ce
processus est dit tenable si les deux conditions suivantes sont vérifiées : – si a< −1, alors les entiers a0 et c sont divisibles par−a,
– si d< −1, alors les entiers b0 et b sont divisibles par−d.
Dans toute notre étude, les urnes seront supposées équilibrées et tenables.
Mots. La configuration initiale de l’urne est représentée par le mot W0=
N
a0B
b0. Pour simuler un tirage dans l’urne, nous procédons comme suit. Nous marquons la lettre correspondant à la boule piochée. Si la lettre estN
, elle est remplacée parNN
aB
b, si la lettre estB
, elle est remplacée parBN
cB
d. Cela permet de passer d’un mot Wn à un mot Wn+1.Définition 12 (Histoires). Une histoire de longueur n commençant dans la
configura-tion (a0, b0) et finissant dans la configuration (i, j) est une suite de mots W0, W1, W2, . . . , Wn
codant les configurations successives de l’urne. Nous notons Hn,i, j(a0, b0) le nombre
d’his-toires de longueur n, débutant en (a0, b0) et finissant en (i, j).
Pour l’Exemple 4, nous avons H2,1,5(1, 1) = 1, H2,2,4(1, 1) = 5 et H2,3,3(1, 1) = 2. À partir de ces objets combinatoires, nous décrivons l’objet principal d’étude de cette thèse : la série génératrice. Les boules dans l’urne sont distinguables : en effet,
28 CHAPITRE2 : Urnes et combinatoire analytique
en représentant la configuration par un mot, il est sous-entendu que chaque boule est étiquetée par un entier déterminant sa place dans le mot. Nous sommes en présence d’une structure étiquetée, donc la série génératrice est exponentielle.
Définition 13 (Série génératrice des histoires). Pour une urne [a, b, c, d] et une
configu-ration initiale (a0, b0), nous notons H(x, y, z; a0, b0) la série génératrice des histoires de
l’urne, H(x, y, z; a0, b0) =X n≥0 X i≥0 j≥0 Hn,i, j(a0, b0) xi yj z n n!. (2.1)
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur la configuration initiale, nous noterons simplement Hn,i, j et H(x, y, z).
Balance et équiprobabilité. Cette approche combinatoire repose sur un principe fon-damental : toutes les histoires de longueur n sont équiprobables. En notant Hnle nombre d’histoires de longueur n, nous voulons que chaque histoire de longueur n se réalise avec probabilité exactement 1/Hn. Pour satisfaire ce principe, la combinatoire analy-tique traite des urnes de Pólya équilibrées, où la balance estσ = a+ b = c+d. Notons An
(resp. Bn) le nombre de boules noires (resp. blanches) après n tirages dans l’urne. Nous notons sn= An+ Bn le nombre total de boules dans l’urne après n étapes. En étudiant les urnes équilibrées, le nombre total de boules dans l’urne est déterministe,
sn= s0+ nσ = a0+ b0+ nσ .
Ainsi, le nombre total d’histoires, noté Hn de longueur n est aussi déterministe. Quels que soient les tirages effectués durant les k premiers tirages, le nombre de boules dans l’urne est sk, ainsi les possibilités de branchement vers de nouvelles histoires sont au nombre de sk, et ce choix est uniforme. Pour toute urne équilibrée de balance stricte-ment positive,σ > 0, nous avons
Hn= s0(s0+ σ)(s0+ 2σ) . . . (s0+ (n − 1)σ) = σnΓ n + s0/σ Γ s0/σ = n!σn n + s 0/σ − 1 n .
La série génératrice exponentielle associée est
H(1, 1, z) =X n≥0 Hnz n n! = 1 (1 − σz)s0/σ .
Par l’analyse de singularité (Section 1.3, p.17), l’asymptotique des coefficients Hn s’en déduit immédiatement1, Hn= n! σn n s0/σ−1 Γ s0/σ 1 +s0(s0− σ) 2σ2n + O 1 n2 . (2.2)
1. Bien sûr, il est aussi possible de procéder directement par développement en série entière sur cet exemple élémentaire.