[c, d] →
I
[A,B]um caminho de classe C1e F :I
[A,B]→ IR uma função contínua. Então, Fé integrável com respeito a λ e I λF(X)dS = Z d c F(λ(x))|λ ′(x)|dx;Z d c F(λ(x))|λ ′(x)|dx. Prova: Omitida
O teorema 11 é o resultado que realmente será usado para justificar formalmente a inversa da transformada-
Z
no capítulo 5.2.8 Conclusão
Este capítulo trabalhou uma fundamentação básica de matemática intervalar para su- porte de algumas ferramentas de processamento de sinais digitais. Começou com um apanhado histórico sobre a matemática intervalar e depois com discussão filosófica so- bre a natureza do intervalo que pode comportar-se ora como um número ora como um conjunto. Apresentou as operações da aritmética de Moore. Propôs uma métrica que preserva as incertezas, satisfaz a propriedade da inclusão monotônica. A métrica pro- posta neste capítulo abrem um leque de possibilidades que dá margem é vários trabalhos de investigação científica tais como: Que topologia teremos com essa métrica? Qual a noção de continuidade segundo esta métrica? Como seria o algoritmo K-meas com uma métrica essencialmente intervalar?
Embora só se tenha focado as propriedades da métrica essencialmente intervalar de interesse imediato na fundamentação matemática de processamento digital de sinais in- tervalares. Outros conceitos como circunferência intervalar, módulo (valor absoluto) in- tervalar, máquinas de vetor de suporte intervalar tornarão possíveis. No caso da SVM intervalar foi um trabalho desenvolvido na base de sistemas inteligentes da UFRN por Takahashi et. al. [Takahashi et al. 2008].
Para atender o propósito do trabalho foi apresentado o conceito de sequência inter- valar com definições voltadas para processamento de sinais. E finalmente apresentamos as integrais intervalares, que possibilitaram uma versão da convolução contínua intervalar e as integrais de lina intervalar de Callejas-Bedregal e Bedregal [Callejas-Bedregal & Bedregal 2005] que possibilitaram a construção do método formal de prova da existên- cia da transformada-
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inversa. Com estes conceitos este trabalho não só contribui para a matemática intervalar e processamento de sinais como para todas as áreas do conhec- imento que lidam com incertezas e as modelam por intervalos. O valor absoluta apre- sentado neste trabalho também contribui para quem trabalha na conversão de softwares que lidam com números reais para uma versão intervalar. Onde o valor absoluto gera problema quando mapeia uma grandeza intervalar em uma grandeza real.Capítulo 3
Números complexos intervalares
Os números complexos são uma extensão dos números reais. Eles são usados na análise de sinais, para manipular e representar duas grandezas numa única variável. Em alguns modelos que não possuem soluções reais, os números complexos encurtam algu- mas operações em processamento de sinais. Podemos citar algumas técnicas importantes na manipulação de sinais que usam números complexos, como transformada de Fourier, transformada de Laplace e transformada-
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. Esta última é de maior interesse em nosso trabalho, pois focaremos nosso trabalho em sistemas intervalares discretos.Pelo exposto acima, e para fundamentar o uso da aritmética intervalar em processa- mento de sinais, neste capítulo apresentamos os números complexos intervalares, com a perspectiva de usá-lo em processamento digital de sinais.
Um maior aprofundamento na teoria de números complexos intervalares pode ser en- contrado nos seguintes trabalhos [Boche 1966, Arndt 2007, Candau et al. 2006, Neher 2007, Petkovíc & Petkovíc 1998, Lyra 2003]. Vale ressaltar que no trabalho de Boche [Boche 1966] é apontado uma incompatibilidade entre a forma polar e a forma retangular de intervalos complexos. Neste capítulo, propomos uma solução para esta incompatibili- dade.
Apresentaremos nas primeiras seções as noções básicas de números complexos inter- valares, onde contribuiremos com alguns conceitos, a fim de melhorar a modelagem de sistemas com números complexos. O nosso objetivo é dar mais coerência e consistência à teoria na representação de modelos ruidosos(imprecisos).
Mais precisamente, neste capítulo, faremos as seguintes contribuições.
1. Uma versão intervalar para o módulo de um número complexo que preserve in- certezas. Usaremos esta propriedade para analisar convergências de sistemas apli- cando a transformada-
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, tema do capítulo 5.2. Uma representação polar para números complexos intervalares que seja compatível com a representação retangular intervalar.
3. Uma representação na identidade de Euler que seja uma extensão da forma polar.
4. Uma distância intervalar entre complexos que satisfaça a propriedade da inclusão monotônica.
3.0.1 Forma retangular dos números complexos intervalares
Definição 41 (Número complexo intervalar ) Chamaremos número complexo intervalar toda número expressão, Z, da forma A + BI, com A e B ∈ IR e I = [i,i], onde i representa √
−1, A representa a parte real e B a parte imaginária do número complexo intervalar. Denotamos por IC o conjunto dos complexos intervalares.
Os números complexos, como na definição 41, herdam da matemática intervalar ca- racterísticas de conjuntos, pois um número complexo intervalar pode ser interpretado como o conjunto de todos os números complexos contidos no retângulo determinado por ele, como mostra a figura 3.1.
Desse ponto de vista, um número complexo intervalar Z do tipo Z = A + BI, onde A e Bsejam intervalos não degenerados, é representado por um retângulo no plano complexo, o qual contém todos o números complexos z = a + bi, com a ∈ A e b ∈ B, como mostra a figura 3.1. x y i A A B B
Figura 3.1: Representação gráfica de um número complexo intervalar na forma retangular Definição 42 Seja ≤ uma ordem em C, tal que, a + bi ≤ c + di se e somente se a ≤ c e
b ≤ d.
Definição 43 Seja z1e z2∈ C tal que z1≤ z2. Então [z1; z2] = {z ∈ C : z1≤ z ≤ z2} é um
intervalo de complexos.
Seja I(C) o conjunto de todos os intervalos de complexos.
Existe uma correspondência bi-unívoca entre IC e I(C), tal que ∀ A + BI ∈ IC, [A + Bi; A + Bi] ∈ I(C) e ∀ [a + bi;c + di] ∈ I(C) temos que [a;c] + [b;d]I ∈ IC.
Assim, de agora em diante, um complexo intervalar, dependendo da nossa conveniên- cia, pode ser visto com um elemento de IC, ou como um elemento de I(C).
Definição 44 (Relação de pertinência) Dados Z = A + BI e z = a + bi tal que Z ∈ IC e
z ∈ C, dizemos que z ∈ Z se a ∈ A e b ∈ B.
Definição 45 (Relação de inclusão) Dados Z1e Z2∈ IC, dizemos que Z1⊆ Z2se ∀ z ∈
41 ✻ ✲ x y i A1 A2A1 A2 B1 B1 B2 B2
Figura 3.2: Representação gráfica da união de dois números complexos
Neste trabalho, quando usarmos a notação z ⊆ Z estaremos nos referindo a [z;z] ⊆ Z.
Definição 46 (Relação de união ) Dados Z1 e Z2∈ IC, chamamos união de Z1 com Z2
ao conjunto formado por todos os números complexos que pertencem a Z1 ou Z2, o qual
representamos por
Z1∪ Z2= {z : z ∈ Z1ou z ∈ Z2}.
Podemos observar que a relação de união, vista como uma operação, não é fechada sobre o conjunto IC, no sentido de que nem toda união de complexos intervalares é um complexo intervalar. Isso pode ser visto na figura 3.2, que mostra que nem todas a uniões são convexas. Para suprir a falta desta operação definimos a união hull que é fechada sobre IC.
Definição 47 (União hull) Dados os números complexos intervalares Z1e Z2∈ IC. Cha-
maremos de União hull o menor complexo intervalar que contenha Z1∪Z2, denotado por
Z1∪HZ2.
A união hull dos conjuntos mostrados na figura 3.2 pode ser vista na figura 3.3.
Definição 48 (Relação de Intersecção ) Dados Z1e Z2∈ IC, chamamos intersecção de
Z1 com Z2 ao conjunto formado por todos os números complexos que pertencem a Z1 e
Z2, simultaneamente, cuja representação é
Z1∩ Z2= {z : z ∈ Z1e z ∈ Z2}.
A relação de interseção não é fechada sobre o conjunto IC, no sentido de que nem toda intersecção de complexos intervalares é um complexo intervalar. Isto acontece por causa da interseção disjunta, onde o conjunto vazio aparece como objeto da relação e
/0 ∈ IC.
Podemos ver um exemplo de intersecção de números complexos intervalares na figura 3.4.
✻ ✲ x y i A1 A2A1 A2 B1 B1 B2 B2
Figura 3.3: Representação gráfica da união hull dos dois números complexos mostrados na figura 3.2. ✻ ✲ x y i A1A2 A1 A2 B1 B1 B2 B2
Figura 3.4: Representação Gráfica da intersecção não vazia de dois números complexos intervalares
Proposição 20 O número
In= [in, in], como na definição 41, tem as seguintes propriedades:
Ix= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ [1, 1], para x mod4 = 0; [i, i], para x mod4 = 1; [ − 1,−1], para x mod 4 = 2; [ − i,−i], para x mod4 = 3; para x ∈ Z+.
Prova:
Direta das propriedades de i ∈ C
Para facilitar a elaboração de algoritmos sobre complexos, dividiremos o plano com- plexo em 9 regiões os quais chamaremos primeiro(p)/(Z2) , segundo(s)/(Z4), terceiro(t)/(Z6)
3.1. ARITMÉTICA INTERVALAR COMPLEXA 43