P′ =⇒ map(P ) 6= map(P′). Si map est la fonction identité, nous avons :∀P′ ∈ P
t,t+1 : P 6=
P′=⇒ P 6= P′. Ainsi, par l’utilisation du corollaire 2.1, MOTI est résoluble.
Bien que la caractérisation de la résolubilité de MOTI pour une trajectoire globale donnée soit utile et nécessaire, et cela pour tous les systèmes pour lesquels il doit être décidé à chaque instant si MOTI est résoluble, il est également possible de définir un ensemble de cas pour lesquels MOTI est toujours résoluble, et ce, quelle que soit la trajectoire des objets. Cette seconde caractérisation généralise le théorème 2.3 pour toutes les trajectoires globales possibles du système.
Theorème 2.4 (P-résolubilité) Soit SG(S, M) un graphe des états défini pour un GCC de G, G(V, E), contenant les objets mouvants de O.∀P ∈ Pti,tj : MOTI est résoluble ssi∀S ∈ S, S
est infaillible.
Preuve – Supposons que ∀P ∈ Pti,tj, MOTI est résoluble. Alors, ∀P ∈ Pti,tj,∀t ∈ Jti, tj−1K :
Mt est infaillible (théorème 2.3) et donc ∀P ∈ Pti,tj,∀t ∈ Jti, tj−1K : St est infaillible (défini-
tion 2.6). Étant donné que chaque état du système peut apparaître comme l’état initial d’une trajectoire considérée, nous avons : ∀S ∈ S, ∃P ∈ Pti,tj : Sti = S. Ainsi, comme tous les états du système sont
infaillibles pour toutes les trajectoires possibles, il en découle que ∀S ∈ S, S est infaillible.
– Supposons maintenant que ∀S ∈ S, S est infaillible. De part la définition 2.6, nous avons ∀M ∈ M, M est infaillible. Donc, ∀P ∈ Pti,tj,∀t ∈ Jti, tj−1K, M est infaillible. Le théorème 2.3
permet de conclure que ∀P ∈ Pti,tj, MOTI est résoluble.
2.6 Une condition suffisante rendant MOTI P-résoluble (a priori)
Dans cette partie, nous montrons comment MOTI peut être résolu par l’ajout de contraintes sur les caractéristiques du système. Plus précisément, nous montrons comment le problème devient résoluble s’il est possible de supposer que les mouvements des objets soient « limités ». Comme il a été préalablement décrit, le graphe des états associé à un système peut contenir un ou plusieurs états faillibles, rendant alors MOTI insoluble. Une méthode simple, pour éviter la présence d’états faillibles dans un graphe des états, revient à éliminer tous les mouvements faillibles parmi l’ensemble des mouvements globaux possibles, permettant ainsi d’obtenir uni- quement des mouvements effectifs infaillibles. D’un point de vue pratique, cela revient à limiter les mouvements des objets dans l’environnement, à modifier l’environnement lui-même, ou à adjoindre des contraintes sur les déplacements. Par exemple, prenons le cas d’un bâtiment dans lequel des personnes peuvent se déplacer librement d’une pièce à l’autre en passant par des portes. Les restrictions peuvent être effectuées par un blocage temporaire de l’ouverture d’une porte. Dans notre modèle, cela revient à éliminer les arcs correspondants à ces mouvements dans le GCC donné, et ainsi, à modifier le graphe des états.
Fondamentalement, l’unique cause d’insolubilité de MOTI repose sur la présence de cycles dans le GCC représentant le système considéré. Lorsque deux objets, ou plus, se déplacent dans un cycle, il peut être impossible de déterminer leurs trajectoires par simple observation des vecteurs d’état. Sur la figure 2.5, l’observateur ne peut déterminer si tous les objets se sont déplacés dans le sens horaire ou si un seul objet s’est déplacé dans le sens trigonométrique.
ti ti+1
υ
pG
AG
B p' 1υ
2υ
n+1υ
n+2FIG. 2.5 – Confusion possible entre
les deux trajectoires.
FIG. 2.6 – Schématisation du GCC illustrant l’exis-
tence potentielle de chemins entre v1et vn+2.
Le problème peut être évité en limitant à k déplacements le nombre d’objets de O pouvant se mouvoir simultanément. Cette dernière valeur k dépend fortement de la topologie du GCC.
Dans ce cas, nous pouvons garantir que MOTI est résoluble quelque soit la trajectoire P , respectant à tout instant la condition d’au plus k déplacements simultanés. L’ensemble de toutes ces trajectoires est une fraction de P, dénoté Pkdans la suite.
Theorème 2.5 Soient k ≤ |O| le nombre maximum d’objets se déplaçant simultanément, ℓ > 1 un entier et un GCC ne contenant pas de cycle de longueur 1 < l < ℓ.
∀P ∈ Pk: MOTI est P -résoluble ssi ℓ 2
> k.
Preuve – Prouvons de prime abord la première implication : k < ℓ 2
⇒ ∀P ∈ Pk, P ne
contient aucun mouvement faillible. Pour cela, une preuve par induction est conduite sur le nombre n < k d’objets se déplaçant simultanément à chaque instant. Par la suite, étant donnés S et S′deux
vecteurs d’états, diff (S, S′) représente le nombre de sommets sur G dont l’état a changé entre S et S′.
Remarquons que diff (S, S′) est toujours un nombre pair, attendu que pour chaque mouvement d’un
objet ou d’une chaîne d’objets, deux sommets changent d’état dans l’état suivant.
Étape initiale (n = 1) : Considérons l’algorithme de construction du graphe des états SG proposé au paragraphe 2.5.2. À la première phase itérative de cet algorithme, les arcs étiquetés par les mouvements isolés sont adjoints au graphe, initialement sans arc. Ces arcs relient tous les couples possibles de vecteurs d’états tels que diff (S, S′) = 2 et qu’il existe un arc sur G reliant les deux sommets ayant
inversé leurs états. Pour chacun de ces couples (S, S′), un unique arc est ajouté car au plus un objet
a effectué le mouvement associé aux sommets changeant d’état entre S et S′ (cf. la définition d’un
mouvement isolé). Ainsi, pour un système sur lequel un seul objet ne se déplace à la fois (i.e. n = 1), le graphe des états résultant ne contient aucun mouvement faillible.
Hypothèse d’induction : Supposons que si n < k objets se déplacent simultanément, aucune trajec- toire P ∈ Pnpossible ne contient un mouvement faillible.
Étape d’induction (pour n + 1) : À présent, considérons le cas où n + 1 objets peuvent se déplacer simultanément. Il doit être prouvé que, à partir de l’hypothèse ci-dessus, aucun mouvement faillible n’est adjoint à SG. Plus précisément, ∀S, S′ ∈ SG tels que 2 ≤ diff (S, S′)≤ 2(n + 1), si un arc
2.6. Une condition suffisante rendant MOTI P-résoluble (a priori) 43
arcs entre ces deux états, étiquetés par au plus n + 1 mouvements simultanés.
Au préalable, considérons le cas où diff (S, S′) = 2. Supposons que les deux sommets changeant
d’état entre S et S′sont étiquetés respectivement v
1et vn+2. Un arc étiqueté par n + 1 mouvements
peut être ajouté à SG entre S et S′seulement si le chemin p = v
1, v2, . . . , vn+1, vn+2existe dans G
et que ∀v ∈ {v1, . . . , vn+1}, S[v] = 1. Dans ce cas, montrons que le seul mouvement possible menant
l’état du système de S à S′ est celui où chaque objet situé en v
i, avec i ∈ J1, n + 1K, se déplace sur
vi+1. Supposons, sans perdre en généralité, qu’il existe un autre mouvement possible qui n’implique
pas les objets localisés sur les sommets v2, . . . , vn+1.
La figure 2.6 représente ce dernier cas, où l’objet situé en v1doit se déplacer sur un sous-graphe
GAde G et un objet situé sur un sous-graphe GBdoit se déplacer en vn+2. Si le seul chemin reliant
les sommets de GA avec les sommets de GB est p (i.e. il n’existe pas de lien p′ comme représenté
en figure 2.6), alors |{v ∈ GA : S′[v] = 1}| > |{v ∈ GA : S[v] = 1}| (et respectivement,
|{v ∈ GB : S′[v] = 1}| < |{v ∈ GB: S[v] = 1}|). Ceci implique que ∃v ∈ GA∪GB : S[v]6= S′[v],
et donc, diff (S, S′) > 2, lequel est impossible au vu de nos hypothèses initiales. À l’opposé, si il
existe un chemin p′ 6= p permettant de connecter G
A à GB, alors p fait partie d’un cycle c ⊂ G.
La longueur de ce cycle c est, par hypothèse, au moins ℓ. Afin d’assurer que diff (S, S′) = 2, sur S,
il doit y avoir un objet situé sur tous les sommets de c excepté vn+2. De plus, tous les objets de ces
sommets, à l’exception de ceux localisés sur v2, . . . , vn+1, doivent se déplacer (sinon diff (S, S′) > 2).
Auquel cas, cela signifie que m (≥ ℓ − n) objets doivent bouger simultanément. Or, étant donné que ℓ
2 > k ≥ n + 1, nous avons m > 2(n + 1) − n > n + 1, i.e. tout autre arc connectant S à S′dans
SG doit être étiqueté par plus de n + 1 mouvements.
Présentement, considérons le cas où diff (S, S′) = 2(x + 1) avec x ≤ n. Ici, il y a n + 1 objets
distincts se déplaçant sur x+1 chemins distincts. Chacun de ces derniers est caractérisé par la présence d’un objet sur chacun des sommets le composant, excepté le dernier (à l’instar de p sur la figure 2.6). Un raisonnement identique au cas précédent peut être mené séparément sur chacun des x + 1 chemins, compte tenu qu’ils contiennent respectivement moins de n objets.
– En second lieu, prouvons la seconde implication de ce théorème par contradiction : ∀P ∈ Pk,
MOTI est P -résoluble ⇒ ℓ
2 > k. Supposons que k ≥ ℓ 2
. Notons c le plus petit cycle du GCC G, constitué par les sommets v1, . . . , vℓ. Dès lors, sans perdre en généralité, considérons un vecteur d’état
S tel que∀i ∈ {2·k−1|k ∈ [1,ℓ
2]} : S[vi] = 1 et∀i ∈ {2·k|k ∈ [1,
ℓ
2]} : S[vi] = 0. Considérons
également le vecteur d’état S′identique à S mais où ∀i ∈ {2 · k − 1|k ∈ [1, ℓ
2]} : S[vi] = 0 et∀i ∈
{2 · k|k ∈ [1,ℓ
2]} : S[vi] = 1 (cf. illustration en figure 2.7). Remarquons que si ℓ est impaire alors
S′[v
ℓ] reste inchangé et égal à 1. Ainsi, dans ce cas, l’état de tous les sommets – excepté le dernier dans
le cas où ℓ est impair – indéxés de v1à vℓsont inversés. Ces deux vecteurs d’états sont assurément dans
SG, en raison de l’hypothèse k ≥ ℓ
2
. Considérons alors les deux mouvements globaux suivants : M ={[vi, vi+1 mod ℓ}i∈{2·k−1|k∈[1,⌊ℓ
2⌋]}et M
′ ={[v
i, vi−1 mod ℓ}i∈{2·k−1|k∈[1,⌈ℓ
2⌉]}. Chacun de
ces mouvements relie S à S′ dans SG et est étiqueté par un ensemble de mouvements simultanés de
cardinal inférieur ou égal à k. Par ce fait, il existe des mouvements faillibles dans SG. Ceci contredit l’hypothèse initiale selon laquelle ∀P ∈ Pk, MOTI est P -résoluble.
D’un point de vue pratique, deux méthodes sont envisageables pour garantir a priori les conditions du théorème 2.5 dans tous les cas. La première consiste à choisir le GCC selon une topologie caractérisée par des cycles de longueur strictement supérieure à 2·x. En conséquence, MOTI est P-résoluble pour tout système caractérisé par un graphe acyclique, comme le justifie le théorème 2.6 ci-après. Une seconde méthode nécessite de limiter le nombre d’objets pouvant se déplacer simultanément dans le système (e.g. naïvement, un moyen simple consiste à ne pas autoriser plus de ℓ
t t + 1 Cas pair t Cas impair t + 1 p p υ2 υℓ υ1 υ3 υℓ-1
FIG. 2.7 – Illustration de la faillibilité des cycles dans le GCC.
Theorème 2.6 MOTI est P-résoluble pour n’importe quel système caractérisé par un GCC G(V, E) acyclique.
Preuve – En considérant G comme un graphe ayant un plus petit cycle de longueur infinie, le théorème 2.5 permet de conclure que MOTI est P-résoluble tant qu’un nombre fini d’objets se déplacent simultanément dans le système. Étant donné que O est supposé fini, la P-résolubilité est
toujours garantie.