Estimation en temps continu : modèles d’inter-rencontre

Il n’est pas possible de déduire la durée moyenne de convergence d’un protocole à partir de son étude en temps discret. En effet, en considérant un environnement en temps continu, une DSP donnée ne reflète pas la fréquence des interactions, uniquement la probabilité d’advenir à un état de la population donné. Cette fréquence est dénommé fréquence d’inter-rencontre dans la suite.

Ainsi, pour une DSP donnée, le nombre d’étapes nécessaires pour atteindre la distribution stationnaire reste identique, quelle que soit la distribution des durées de rencontre et d’inter- rencontre considérée. Cependant, étant donnée une distribution de ces dernières, à partir de la DSP, il est possible d’échantillonner les dates des rencontres et la durée de celles-ci pour chaque couple d’agents de la population. En utilisant cet échantillonnage, il est possible d’estimer une date de convergence du protocole dans le domaine continu par simulation stochastique.

Dans ces simulations, nous considérons un graphe d’interaction complet et une unicité des DSP sur la population. Pour générer les échantillonnages de temps d’inter-rencontre, trois des distributions les plus communes dans la littérature [CHC+_{07, CLF07] sont utilisées : Ex-}

ponentiel, Pareto et LogNormal. Ces distributions possèdent respectivement les fonctions de repartition λ_{· e}−λx , k· x k m xk+1 et 1 xσ√2πe −(ln(x)−µ)2_{2σ2 ,} de paramètres respectifs λ > 0, xm > 0, k > 0, σ > 0 et−∞ < µ < ∞.

Afin de mesurer séparément les durées de rencontre et d’inter-rencontre, chaque simulation a été effectuée d’une part avec des rencontres simples (i.e. une unique interaction à chaque ren- contre d’un couple donné) et d’autre part, avec des rencontres diffuses (i.e. une interaction par seconde pendant toute la durée de la rencontre). Pour chacune des simulations, les paramètres des distributions ont été fixés de manière à pouvoir les comparer les unes avec les autres : la durée moyenne d’inter-rencontre est de 15 minutes et dans le cas de rencontres diffuses, la durée de celles-ci est tirée uniformément entre 1 et 100 secondes.

Deux jeux de simulation ont été effectués pour différentes tailles de population : un pour la primitive ou et un autre pour majorité. Les figures 5.10 et 5.11 présentent les données obtenues sur ces deux jeux dans le cas de rencontres simples, tandis que les figures 5.12 et 5.13 présentent celles dans le cas de rencontres diffuses. Chaque jeu de simulation contient une estimation par MCMC du temps de convergence dans le domaine continu, pour les trois distributions d’inter- rencontre sus-citées sur les DSP « Uniforme », « Normal - Plat » et « Normal - 2 amis ».

L’observation de ces diagrammes permet de conclure trivialement sur le fort impact des distributions d’inter-rencontres sur le temps de convergence d’un protocole pour un nombre d’agents spécifique. De même, il parait évident que sur ces exemples, la durée des rencontres influe très peu sur la vitesse de convergence (cf. l’allure des diagrammes 5.10 et 5.12, de même que celle des diagrammes 5.11 et 5.13).

Nous pouvons cependant relever deux singularités sur ces quatre diagrammes. Alors que la taille de la population influe peu sur le temps de convergence pour les distributions d’inter- rencontre Pareto et LogNormal, celui-ci a une forte influence sur la distribution exponentielle. Le temps d’exécution quasi-constant avec les deux premières distributions peut s’expliquer par la multiplication des interactions parallèles lorsque la population grandit. D’un autre côté, la troisième distribution influe, en gain et en perte, sur la vitesse de convergence pour des tailles importantes de population. Cette remarque révèle la seconde particularité observable de ces diagrammes. Celle-ci porte également sur la distribution exponentielle. Tandis que le temps de convergence diminue avec l’augmentation de la population pour des DSP « Uniforme » et « Normal - Plat », celui-ci croît fortement dans le cas d’une DSP « Normal - 2 amis » sur un grand graphe. Cela provient du déséquilibre des probabilités de rencontres induit par la DSP considérée. En revanche, la raison pour laquelle cette disproportion n’influe pas dans le cadre d’une distribution Pareto d’inter-rencontre reste une question ouverte.

À la suite de cet ensemble d’observations représentatives, que la simulation se déroule dans le domaine discret ou continue, il persiste néanmoins que, pour une configuration de graphe donnée, une DSP uniforme permet toujours d’obtenir le meilleur temps de convergence. Inspirée de cette conjecture, nous proposons de formaliser et de démontrer ce résultat quelle que soit la configuration considérée et pour tous les protocoles, qu’ils soient de population ou de communauté.

5.3. Impact des modèles de mobilité sur la vitesse de convergence 107 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100 50 20 10 6 4

Temps de convergence moyen

Nombre d'agents dans la population Uniforme - Exponentiel

Uniforme - Pareto Uniforme - LogNormal Normal Plat - Exponentiel Normal Plat - Pareto Normal 2 amis - Exponentiel Normal 2 amis - Pareto

FIG. 5.10 – Temps de convergence de la pri-

mitive ou en fonction du nombre d’agents avec des rencontres simples.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 100 50 20 10 6 4

Temps de convergence moyen

Nombre d'agents dans la population Uniforme - Exponentiel

Uniforme - Pareto Uniforme - LogNormal Normal Plat - Exponentiel Normal Plat - Pareto Normal 2 amis - Exponentiel Normal 2 amis - Pareto

FIG. 5.11 – Temps de convergence de la primi-

tive majorité en fonction du nombre d’agents avec des rencontres simples.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 20 10 6 4

Temps de convergence moyen

Nombre d'agents dans la population Uniforme - Exponentiel

Uniforme - Pareto Uniforme - LogNormal Normal Plat - Exponentiel Normal Plat - Pareto Normal 2 amis - Exponentiel Normal 2 amis - Pareto

FIG. 5.12 – Temps de convergence de la pri-

mitive ou en fonction du nombre d’agents avec des rencontres diffuses uniformes.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 20 10 6 4

Temps de convergence moyen

Nombre d'agents dans la population Uniforme - Exponentiel

Uniforme - Pareto Uniforme - LogNormal Normal Plat - Exponentiel Normal Plat - Pareto Normal 2 amis - Exponentiel Normal 2 amis - Pareto

FIG. 5.13 – Temps de convergence de la majo-

ritéen fonction du nombre d’agents avec des rencontres diffuses uniformes.